工业产品材料力学设计-第3章-扭转-PPT精选

2019/10/19 C M U C(M AM G C P M ID )l1G T 1 l1 PI D M U DT1l1 G T2P l2IT33l73
（3）卡氏第一定理应用
MB ① MC
MA
②
③ MD
若已知 A，C，D, 求MA,MC,MD
Ip

d 4 32
dW微段
Td
2
dW微段
T2 2GIP
dx
U
ldW微段
l T2 02GPI
dx
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3.5.2 能量法在扭转问题中的应用 例题1
例： 直径为d的传动轴如图所示，主动轮A输入功率
PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，
P以D下=2表0k达W式，轴(的x)转速,M n=A ,30A 0X r/,B miC n，,B 剪D 切B 弹性模假量设B为端G固，定 试写出
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7、能量法的应用
（1）变形能计算
＝０ B
MB ① MC
Ip

d 4 32
B
C
l1
MA
②
③ MD
l2
A l3
D
U l T2(x) dx
0 2GIP
Ul1 T12 d xl2 T22 d xl3 T32 d x
02GPI 02GPI 02GPI
U T 1 2 l1 T 2 2 l2 T 3 2 l3 ( M A M C M D ) 2 l1 ( M A M D ) 2 l2 M D 2 l3
2 G P I
2 G P I
（2）余能定理与卡氏第二定理应用 绝对位移
Di

U * Fi
线弹性材料
U D i Fi
A M U A ( M A M C M G D ) l P 1 ( M IA M D ) l1 T 1 l1 G T P 2 l2I
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3.3.4 应力-应变-位移与扭矩的关系


d
dx
G

G
Gd
dx

k
T A d A A G 2d d d x A G d d A x 2 d A
令Ip

2dA
A
d
T
是一个只决定于 dx GI P
横截面的形状和

T WP
T
d/2 ρ O

max
其中：
Wp

Ip r
T
抗扭截面模量
D/2
d/2 O

max
实心圆
空心圆
Ip
20193/d1204/19
Wp

d 3
16
Ip3 2 D 4d4
D 4(14)
32
Wp
D3
16
(14)
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3.4 扭转试验及扭转力学性能
3.4.1 扭 转 试 验
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3.2.2 内力 用截面法研究横截面上的内力
（1）扭矩（T）
T Me
左右
观察
方向
左
右
扭矩正负号的规定
为了数学计算，习惯上，按图示方向观察左段的扭矩， 若为逆时针转向，则规定为正(+),反之为负(-)。右段则 恰好相反。
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（2）扭矩图
x
外力偶矩平衡： M e1M e2M e4M e30
b
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扭转试验
2．测定低碳钢剪切屈服极限s、剪切强度极限b；
Me
Mb
Mne=< Mbs b
d
s
Ms

O

s
b
剪切屈服 极限：
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s

Ms WP
剪切强度 极限：
b

Mb WP
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扭转试验
低碳钢扭转试验现象： 屈服：
max引起
断裂：
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扭转试验
2
第3章 静载下简单直杆（圆轴）的扭转
3.1 扭转的基本概念 3.2 圆轴扭转时的外力与内力 3.3 圆轴扭转时的位移-应变-应力解析 3.4 扭转试验及扭转力学性能 3.5 扭转问题的能量法
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3
3.1 扭转的基本概念
实例
汽车传动轴
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实例
汽车方向盘
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3、20画19/1扭0/1矩9 图
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4、计算 ( x)
(x) T x
GIP

＝０
B
MB
Ip

d 4 32
B
MC
C
l1
MA
MD
l2
A l3
D
BC段： (x) T１ x
GPI
5、计算 MAX
CA段： (x) T2 x
GPI
AD段： (x) T3 x
GPI


T Ip
max

b s p

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3.5 扭转问题的能量法
3.5.1 应变能计算
1、外力功法
Me
M e： 0 dM 终M 值 e
l :0d终值 l
l
dWMd
l
M
Me
UdW 0lMd1 2M el M
d

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O
l
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2、内力功法
x
d (x)
Me
G E
2(1 )
s— 剪切屈服极限应力（进入塑性阶段） b— 剪切强度极限应力（破坏阶段）
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单元体分析
单元体：微小的正六面体
y
dz
′

o dy
dx
z
由静力平衡条件的合力 矩方程可以得到
x '
剪应力互等定理
两互相垂直截面上在其相交处的剪应力成 对存在，且数值相等、符号相反，这称为剪 应力互等定理。
纵向平行线仍然保持为直线且 相互平行，只是倾斜了一个角度
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符合平面假设
R0
δ<<R0

---薄壁圆筒
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实验原理
（1）包括横截面 取出一个单元体 （2）由于壁很薄， 可以假设剪应力沿 壁厚均匀分布

单元体
dx
AdAr0TMe
Me Me Ar0 2r02
解：
1、计算外力偶矩
MB
MC
MA
MD
MA
9550
PA n
1592N m
MB
MC
9550 PB n
477.5N m
MD
9550 PD n
637N m
B
C
955N·m
477.5N·m +
A
D
T
-
2、计算横截面上的内力—扭矩(T)
637N·m
T 1 M B 1 N m 5 T 2 M 9 B , M C 2 9 N m 5 T 3 M 5 D , 6 N m 3
2．测低碳钢s、b、灰铸铁b采用标准试件：
d0
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扭转试验
四、试验原理： 1．低碳钢剪切弹性模量G：
Me

D
O b
M e l G Mel Pal
GI p
Ip Ip
l d
a
P P
等量逐级加载法：G DPal
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I p D
D

D
（1）直接计算
Me Fd
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（2）按输入功率和转速计算
M e61 24 n 0 P95P n4(N 9m )
已知
每秒外力偶作的功：
2n
WMe 60
电机轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：电机轴输出的力偶矩Me
=
电机每秒输出功：
WP1000(Nm)
T
x

dA
k

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切应力：与应变的关系
实验:薄壁圆筒的扭转
(1)将一薄壁圆筒表面用纵向 平行线和圆周线划分
(2)两端施以大小相等方向相
Me
反一对力偶矩
观察圆周线和纵向平行线的变化
圆周线大小形状不变，各圆周 线间距离不变
3．测定灰铸铁剪切强度极限b；
Mn Mb

剪切强度 极限：
b

Mb WP
O
灰铸铁扭转试验现象：
断裂：
拉应力引起
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3.4.2 扭转力学性能
W p —抗扭截面模量
max
T
WP
3.弹性
G —剪切弹性模量 G E
2(1 )
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p — 剪切比例极限应力 s— 剪切屈服极限应力 b— 剪切强度极限应力
横截面转动了1个角度-扭转角 ( x)
1 ( x) 1'
x
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3.3.2 应变
d (x)
Me
x
位移：微段刚性转动
(x)
l
变形：微段切应变
dT
d
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12
d
k
k1
d
T
变形：微段切应变
dT
微段变形分析模型
d
k

包括K点取出微元体
-单元体

d dx
(x) x T dx T x 0 GPI GPI
大小的几何量， 称为横截面对形 心的极惯性矩。



T GI P

G T
GIP
T IP

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应力公式
1)横截面上任意点：


T
Ip
T：横截面上的扭矩
：点到截面形心的距离
2)横截面边缘点：
max

Tr Ip
机械设计制造及其自动化专业
二年级第2学期
工业产品材料力学设计
主讲教师：王一军
TEL:687648
2019.3
EMAIL:
2019/10/19
1
第3章 静载下简单直杆（圆轴）的扭转
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力学是数学的乐园， 因为我们在这里获 得了数学的果实。 -Leonardo de Vinci


l r0
l
1
Me
l
x
1
l
r0
x
dA T
x dx
实验时，测量和记录 Me和 l 的关系
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实验结果
当剪应力不超过材料

的剪切比例极限时，剪 b
应力与剪应变之间成正 s
比关系，这个关系称为 剪切虎克定律。
p
G

G-剪切弹性模量 p — 剪切比例极限应力（线弹性阶段）
l
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T
T Me
x dx
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1 --单单元元体体的的变刚形性位位移移
d
tg/dx
T

d
dA
1 (x) d
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x dx


dx dA
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1
-单元体的刚性位移 不产生变形
tg/dx
G
＝０
B
B
C
l1
l2
A l3
D
U
l T 2(x) dx
0 2GIP
T GIP
d
dx
UGPIl 20
0l dd2xG 2lPIl2
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dx
单单元元体体的直变角形发：生了/微2小 的(改/2变)
称为单元体的切应变

tan
k1kd
dx dx
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B点的切应变
K点的切应变

k
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3.3.3 应力
根据平面假设，横截面上没有正应力，只有切应力。
切应力：方向
由于横截面上只有扭转T，故 横截面上任意一点的切应力 应垂直于直径线。
变形：微段切应变
dT
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d
dA
1 (x) d


dx dA
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d (x)
Me
x
l
微段的外力功
d与面积A无关
dW 微段 A1 2(dA )d dW 微段 d2A(dA )
T AdA
d T (x)
dx GI P
一、试验目的：
1．测定低碳钢剪切弹性模量G；
2．测定低碳钢剪切屈服极限s、剪切强度极限b； 3．测定灰铸铁剪切强度极限b；
4．分析比较低碳钢和灰铸铁两种材料的破坏情况；
二、试验仪器： 1．扭转试验机； 2．扭角仪；
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扭转试验
三、试件： 1．测低碳钢G采用自制试件：
d l
T WP
BC段：maxWT1P CA段：maxWT2P AD段：maxWT3P
6、计算AB,CB,DB
ACACG T2lP 2IG T1l1PI
CB
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C
B
T1l1 GPI
DADAG T3l3PIG T2lP 2I
MAX
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概念
受力特点-载荷是力偶（Me称为外力偶矩，其 大小相等,方向相反，作用平面垂直 于杆件轴线）
变形特点-横截面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
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3.2 圆轴扭转时的外力与内力
3.2.1 外力
外力偶矩（Me）
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3.3 圆轴扭转时的位移-应变-应力解析
3.3.1 位移
Me
实验现象
1. 圆周线：保持形状、大小、 间距不变，仅绕轴转动
2. 纵向线：仍是直线，偏移
x
l
3. 直径线：仍是直线，偏移
平面假设 扭转变形前后，横截面保持为平 面，形状、大小、间距不变。
位移：任意横截面


G
dx
dA
故单元体的外力功
dW 单元 体12(dA ) d
dW 单元体1 2(dA )d
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d
dA
1 (x) d


dx dA
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dW 单元体1 2(dA )d
故微段的外力功
dW 微段 A1 2(dA )d