2020届高三数学第32练平面向量的线性运算及平面向量基本定理练习44

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第32练 平面向量的线性运算及平面向量基本定理
一、选择题
1.(2016·佛山期中)已知点M (3,-2),N (-5,-1),且MP →=12MN →
,则点P 是( )
A .(-8,1)
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-32
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1,32
D .(8,1)
2.(2017·深圳调研)设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使a |a|=b
|b|
成立的充要条件是( ) A .a =-b B .a ∥b 且方向相同 C .a =2b
D .a ∥b 且|a |=|b |
3.(2016·山西大学附中期中)已知向量a =(1,2),b =(-3,2),若(k a +b )∥(a -3b ),则实数k 的值为( ) A .-13
B.13 C .-3
D .3
4.(2016·哈尔滨三模)已知O 为正三角形ABC 内一点,且满足OA →+λOB →+(1+λ)OC →
=0,若△OAB 的面积与△OAC 的面积比值为3,则λ的值为( ) A.12 B .1 C .2
D .3
5.如图,在△ABC 中,AD →=23AC →,BP →=13BD →,若AP →=λAB →+μAC →
,则λμ
的值为( )
A .-3
B .3
C .2
D .-2
6.(2016·辽源联考)如图所示,在四边形ABCD 中,AB =BC =CD =1,且∠B =90°,∠BCD =135°,记向量AB →=a ,AC →=b ,则AD →
等于( )
A.2a -⎝ ⎛⎭⎪⎫1+
22 b B .-2a +⎝ ⎛⎭
⎪⎫1+22b C .-2a +⎝ ⎛⎭
⎪⎫1-
22 b D.2a +⎝ ⎛⎭
⎪⎫1-
22b 7.(2016·河北衡水中学调研)已知O 是平面内一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP →=OA →
+λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →
|+AC →|AC →|(λ∈[0,+∞)),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A .外心 B .内心 C .重心
D .垂心
8.(2016·南安期中)如图,在△ABC 中,点D 在线段BC 上,且满足BD =1
2DC ,过点D 的直
线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AM →=mAB →,AN →=nAC →
,则( )
A .m +n 是定值,定值为2
B .2m +n 是定值,定值为3 C.1m +1
n 是定值,定值为2
D.2m +1
n
是定值,定值为3
二、填空题
9.P ={a|a =(-1,1)+m (1,2),m ∈R },Q ={b|b =(1,-2)+n (2,3),n ∈R }是两个向量集合,则P ∩Q =______________.
10.已知向量OA →=(1,-3),OB →=(2,-1),OC →
=(k +1,k -2),若A ,B ,C 三点不能构成三角形,则实数k 应满足的条件是__________.
11.(2016·厦门适应性考试)如图,在△ABC 中,AD →·BC →=0,BC →=3BD →
,过点D 的直线分别交直线AB ,AC 于点M ,N .若AM →=λAB →,AN →=μAC →
(λ>0,μ>0),则λ+2μ的最小值是________.
12.(2016·沈阳期中)在直角梯形ABCD 中,AB ⊥AD ,DC ∥AB ,AD =DC =1,AB =2,E 、F 分别为AB 、BC 的中点,点P 在以A 为圆心,AD 为半径的圆弧DE 上变动(如图所示).若AP →

λED →+μAF →
,其中λ,μ∈R ,则2λ-μ的取值范围是______________.
答案精析
1.B [设P (x ,y ),点M (3,-2),N (-5,-1),且MP →=12MN →

可得x -3=1
2
(-5-3),解得x =-1;
y +2=12(-1+2),解得y =-32
.∴P ⎝
⎛⎭
⎪⎫
-1,-32
.故选B.]
2.B [非零向量a 、b 使
a |a|=
b |b|成立⇔a =|a||b|
b ⇔a 与b 共线且方向相同,故选B.] 3.A [由a =(1,2),b =(-3,2),得k a +b =k (1,2)+(-3,2)=(k -3,2k +2),a -3b =(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),则由(k a +b )∥(a -3b ),得(k -3)×(-4)-10×(2k +2)=0,所以k =-1
3.
故选A.]
4.A [设AC 、BC 边的中点为E 、F ,则由OA →+λOB →+(1+λ)OC →=0,得OE →+λOF →
=0, ∴点O 在中位线EF 上.
∵△OAB 的面积与△OAC 的面积比值为3,∴点O 为EF 上靠近E 的三等分点,∴λ=1
2.]
5.B [∵AP →=AB →+BP →,BP →=13BD →
=13(AD →-AB →)=13AD →-13AB → =13×23AC →-13AB →=29AC →-13AB →, ∴AP →=AB →+29AC →-13AB →=23AB →+29
AC →.
又AP →=λAB →+μAC →
,∴λ=23,μ=29,∴λμ=23×92=3.
故选B.]
6.B [作DE ⊥AB 于E ,CF ⊥DE 于F ,
由题意,得∠ACD =90°,CF =BE =FD =2
2
, ∵BC →=AC →-AB →

b -a ,
∴AD →=AE →+ED →=⎝ ⎛
⎭⎪⎫1-22a +⎝ ⎛⎭⎪⎫1+22BC →
=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-
22a +⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1+22(b -a ) =-2a +⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1+
22b ,故选B.] 7.B [AB

|AB →|为AB →
上的单位向量,AC →|AC →|为AC →上的单位向量,则AB →|AB →|+AC →|AC →|
的方向为∠BAC 的
角平分线AD →的方向.又λ∈[0,+∞),∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|+AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|+AC →|AC →
|的方向相同,
而OP →=OA →+λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →
|+AC →|AC →|,∴点P 在AD →上移动.∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心,故
选B.]
8.D [方法一 过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .
由AN →=nAC →
可得AC AN =1n

∴AE EM =AC CN =
1
n -1

由BD =12DC 可得BM ME =1
2,
∴AM AB

n n +
n -12
=2n
3n -1

∵AM →=mAB →
,∴m =2n 3n -1,
整理可得2m +1
n
=3.
方法二 ∵M ,D ,N 三点共线, ∴AD →=λAM →+(1-λ)AN →. 又AM →=mAB →,AN →=nAC →, ∴AD →=λm AB →+(1-λ)nAC →.① 又BD →=12
DC →,
∴AD →-AB →=12AC →-12AD →,
∴AD →=13AC →+23
AB →
.②
由①②知λm =23,(1-λ)n =13.
∴2m +1
n
=3,故选D.]
9.{(-13,-23)}
解析 P 中,a =(-1+m,1+2m ),
Q 中,b =(1+2n ,-2+3n ).
则⎩⎪⎨⎪⎧
-1+m =1+2n ,1+2m =-2+3n ,
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
m =-12,
n =-7.
此时a =b =(-13,-23). 10.k =1
解析 若点A ,B ,C 不能构成三角形,则向量AB →,AC →共线,因为AB →=OB →-OA →
=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC →=OC →-OA →
=(k +1,k -2)-(1,-3)=(k ,k +1),所以1×(k +1)-2k =0,解得k =1. 11.83
解析 AD →=AB →+BD →=AB →+13(AC →-AB →)=23AB →+13AC →.
设AD →=xAM →+yAN →
(x +y =1), 则AD →=xλAB →+yμAC →,
则⎩⎪⎨⎪⎧
xλ=23,yμ=1
3,
即⎩⎪⎨⎪⎧
λ=2
3x ,μ=1
3y ,
故λ+2μ=23⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +1y =23⎝ ⎛⎭⎪⎫1+y x +x y +1≥23⎝ ⎛
⎭⎪⎫2+2
y x ·x y =83
. 当且仅当x =y =1
2时,等号成立.
12.[-1,1]
解析 建立如图所示的直角坐标系,设∠PAE =α,则
A (0,0),E (1,0),D (0,1),F (1.5,0.5),P (cos α,sin α)(0°≤α≤90°).
∵AP →=λED →+μAF →,
∴(cos α,sin α)=λ(-1,1)+μ(1.5,0.5), ∴cos α=-λ+1.5μ,sin α=λ+0.5μ, ∴λ=14(3sin α-cos α),μ=1
2(cos α+sin α),
∴2λ-μ=sin α-cos α=2sin(α-45°). ∵0°≤α≤90°,∴-45°≤α-45°≤45°, ∴-
22≤sin(α-45°)≤22
, ∴-1≤2sin(α-45°)≤1. ∴2λ-μ的取值范围是[-1,1].。

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