【人教版】九年级数学上册：《实际问题与一元二次方程》导学案

《 22.3 实际问题与一元二次方程》
学习目标：
能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会方程是刻画现实世界的一个有
效的数学模型．
一、自主学习
（一）温故知新
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为 6 万 kg， ? 第二年的产量
为_______kg ，第三年的产量为 _______，三年总产量为 _______．
2．某糖厂 2002 年食糖产量为at ，如果在以后两年平均增长的百分率为x，?那么预计2004年的产量将是 ________．
（二）探索新知
列方程解应用题：
某药品原来每盒售价54 元，由于两次提价，现在每盒96 元， ?求平均每次提价的百分数.
二、学习过程
列方程解应用题：
两年前生产 1 吨甲种药品的成本是5000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是6000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是3000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，乙种药品成本的平均下降率为y．
则一年后甲种药品成本为元，则一年后乙种药品成本为元，两年后甲种药品成本为元，两年后乙种药品成本为元，
依题意得：，，
三、达标巩固
1．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007 年投入 3 000 万元，预计 2009
年投入 5 000 万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．3 000(1x)2 5 000 B ．3 000x2 5 000
C．3 000(1x％)2 5 000D ．3 000(1 x) 3 000(1 x)2 5 000
2．某商品原价 289 元，经连续两次降价后售价为256 元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是 ( )
A. 289(1x) 2256 C. 289(12x )256
B.256(1 x ) 2 289 D.256(1 2x )289
3．某电脑公司2001 年的各项经营中，一月份的营业额为200 万元，一月、 ?二月、三月的营业额共950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
四、学后记
五、课时训练
基础过关
1．某农场的粮食产量，若两年内从25 万公斤，增加到30.25 万公斤，则平均每年的增长率为 _______．
2．某人在银行存了 400 元钱，两年后连本带息一共取款484 元，设年利率为x，则列方程为__________________ ，解得年利率是 _________．
2
年两年内平均3．某市 2002 年底人口为 20 万人，人均住房面积 9m，计划 2003 年、 2004
每年增加人口为 1 万，为使到2004 年底人均住房面积达到10m，则该市两年内住房平均增长率必须达到 _________．（10 =3.162， 11 =3.317，精确到1%）
4．某林场原有森林木材存量为a，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木
材量为 x，???则经过一年木材存量达到________，经过两个木材存量达到 __________．5．某商品连续两次降价10%后为 m元，则该商品原价为（）
m
． 1.12C．m
D ． 0.81m 元
A．元B m元元
1.120.81
6．某钢铁厂去年 1 月份某种钢的产量为5000 吨， 3 月份上升到 7200 吨，设平均每月的增
长率为 x，根据题意，得（）
A． 5000（ 1+x2） =7200B．5000（ 1+x） +5000（ 1+x）2=7200
C． 5000（ 1+x）2=7200D．5000+5000（ 1+x） +5000（ 1+x）2=7200
7．某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200 元的一律九折优惠，超过200元的，其中 200 元按九折算，超过 200 元的部分按八折算．?某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，?发现两次共节省了34 元，则该学生第二次购书实际付款________元．
能力提升
8．益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，?若每件商品售价a 元，则可卖出（ 350-10a ）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利 400 元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？
9．恒利商厦九月份的销售额为200 万元，十月份的销售额下降了20%，?商厦从十一月份起
加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193． 6 万元，求这两
个月的平均增长率．
10．某果园有100 棵桃树，一棵桃树平均结1000 个桃子， ?现准备多种一些桃树以提高产量，
试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少 2 个， ?如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树 ?
聚焦中考
11．乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是学校．2005 年市政府
对农牧区校舍改造的投入资金是5786 万元， 2007 年校舍改造的投入资金是8058.9 万元，若
设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为．12．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005 年盈利 1500 万元，到 2007 年盈利 2160 万元，且从 2005 年到 2007 年，每年盈利的年增长率相
同．（1）该公司 2006 年盈利多少万元？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008 年盈利多少万元？
13.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,
每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价 O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共 24 元 . 该经营户要想每天盈利
2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元 ?
实际问题与一元二次方程同步练习
班级姓名座号
1．甲、乙两船同时从 A 处出航，甲船以 30 千米 /小时的速度向正北航行，乙船以每小时比甲船快 10 千米的速度向正东航行，则几小时后两船相距 100 千米？
2．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为 5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为 736，求原数。

3．张华将 1000 元人民币按一年期定期存入银行，到期后自动转存，两年后，本金和税后利息共获得 1036.324 元，问这种存款的年利率是多少？
4．新青年商店从厂家以每件21 元的价格购得一批商品，出售时，每件 a 元，则可卖出（ 350-10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的 20%，该商店计划要赚 400 元，需要卖出多少件该商品？每件商品的售价应为多少？
5.将进货单价为 40 元的商品按 50 元售出时，就能卖出 500 个 .已知这种商品每个涨价 1 元，其销售量就减少 10 个，问为了赚得 8000 元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
6.某电脑公司2000 年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600 万元，占全年经营总收入的 40%，该公司预计2002 年经营总收入要达到2160 万元，且计划从2000 年到 2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001 年预计经营总收入为多少万元？
7.如图 3-9-1 所示 , 某小区规划在一个长为 40 米 , 宽为 26 米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路 , 使其中两条与AB平行 , 另一条与AB垂直 , 其余部分种草 , 若使每一块草坪的面积都为144 米2, 求甬路的宽度 ?
8.如图 3-9-2 所示要建一个面积为 150m2的长方形养鸡场 , 为了节约材料 , 鸡场的一边靠着原有的一条墙 ( 无限长 ), 另三边用竹篱笆围成 , 已知篱笆总长为 35m.求鸡场的长与宽各为多少米?
答案 :
1．2 小时 [提示：设 x 小时后相距 100km，得： (30x)2+(40x)2=1002]
2．23 或 32[ 提示：设个位数字为 x，则十位上的数字为 (5-x), 则：
[10(5-x)+x](10x+5-x)=736
3． 1.8% [提示：设年利率是x，则
1000(0.8x+1) 2=1036.324( 年息税是 20%)
4.100 件， 25 元
[ 提示： (a-21)(350-10a)=400,
解得 a1=25,a2=31( 超过 20% ，舍去 )
所以 350-10a=100
5. 解：设商品的单价是(50 x) 元，则每个商品的利润是(50 x) 40 元，销售量是(50010x) 个.由题意列方程为
(50 x)40 (50010 x)8000.
整理，得x240x 300 0 .
解方程，得x110, x230 .
故商品的的单价可定为50+10=60 元或 50+30=80 元 .
当商品每个单价为60 元时，其进货量只能是500-10 × 10=400 个，当商品每个单价为80 元时，其进货量只能是500-10× 30=200个.
答：售价定为60 元时，进货是400 个，售价定为80 元时，进货是200 个
6. 解：设 2001 年预计经营总收入为x 万元，每年经营总收入的年增长率为 a .
根据题意，得600 40% (1 a) 22160.
解方程，得 1 a 1.2(1 a1,2 不合题意，舍去），
∴ 1 a 1.2.
x 600 40%(1a)
600 40% 1.2
1800.
答： 2001 年预计经营总收入为1800 万元 .
7.解 : 可设甬路宽为x米 , 依题意 , 得
(40 2 x)(26 x) 144 6 ,
解得 x1 2, x244 (不合题意,舍去).
答 : 甬路的宽度为 2 米 .
8.解：（ 1 ）设鸡场的宽为x m，则长为(352x) m.依题意列方程为x(35 2 x) 150 .
整理，得2x 235 x1500 .
解方程，得x110, x27.5.
所以当 x 10 时， 352x20 .
答：当鸡场的宽为10m时，长为 15m；当鸡场宽为 7.5m时，长为 20m.。