2019届高考数学一轮必备考情分析学案：8.4《直线、平面平行的判定及其性质》(含解析)

8.4直线、平面平行的判定及其性质
考情分析
高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。

在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，是知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上 基础知识
1.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．
2.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线 的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行
推理模式：//,,//a a b a b αβα
β⊂=⇒．
3.两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点） （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交
直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。

推论模式：,,,,,,//,////a
b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒
（2）两个平面平行的性质：①如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面； ②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

注意事项
1.平行问题的转化关系：
[:
2. (1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．[:
(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．[: 题型一 直线与平面平行的判定与性质
【例1】在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则( )
A. BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形
B. EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形
C. HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形
D. EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形 答案：B
解析：如图，由题意，EF ∥BD ， 且EF ＝1
5BD.HG ∥BD ，
且HG ＝1
2
BD.
∴EF ∥HG ，且E F≠HG. ∴四边形EFGH 是梯形．
又EF ∥平面BCD ，而EH 与平面ADC 不平行．故选B. 【变式1】 如图，若
PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PCE. 证明 取PC 的中点M ，连接ME 、MF ， 则FM ∥CD 且FM ＝1
2
CD.
又∵AE ∥CD 且AE ＝1
2
CD ，
∴FM 綉AE ，即四边形AFME 是平行四边形． ∴AF ∥ME ，又∵AF ⊄平面PCE ，EM ⊂平面PCE ， ∴AF ∥平面PCE.
题型二 平面与平面平行的判定与性质
【例2】已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列 A. 若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β
B. 若α∥γ，β∥γ，则α∥β
C. 若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β
D. 若m ，n 是异面直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂β，n ∥α，则α∥β 答案：C
解析：由线面垂直的性质可知A 正确；由两个平面平行的性质可知B 正确；由异面直线的性质易知D 也是
正确的；对于选项C，α，β可以相交、可以平行，故C错误，选C.
【变式2】如图，
在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.
题型三线面平行中的探索问题
【例3】►如图所示，
在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
证明：
如图，取BB1的中点F，连接DF，
则DF∥B1C1.
∵AB的中点为E，连接EF，
则EF∥AB1.
B1C1与AB1是相交直线，
∴平面DEF ∥平面AB 1C 1.
而DE ⊂平面DEF ，∴DE ∥平面AB 1C 1. 【变式3】 如图，
在四棱锥PABCD 中，底面是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点M 、N 分别为BC 、PA 的中点．在线段PD 上是否存在一点E ，使NM ∥平面ACE ？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由． 解 在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE.
证明如下：如图，取PD 的中点E ，连接NE ，EC ，AE ， 因为N ，E 分别为PA ，PD 的中点，所以NE 綉1
2
AD.
又在平行四边形ABCD 中，CM 綉1
2AD.所以NE 綉MC ，即四边形MCEN 是平行四边形．所以NM 綉EC.
又EC ⊂平面ACE ，NM ⊄平面ACE ，所以MN ∥平面ACE ， 即在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE.
重难点突破
【例4】如图，
在四棱台ABCDA 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°. (1)证明：AA 1⊥BD ； (2)证明：CC 1∥平面A 1BD.
证明 (1)因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以D 1D ⊥BD
又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，
在△ABD 中，由余弦定理得BD 2
＝AD 2
＋AB 2
－2AD·ABcos 60°＝3AD 2
，所以AD 2
＋BD 2
＝AB 2
， 因此AD ⊥BD. 又AD∩D 1D ＝D ， 所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1⊂平面ADD 1A 1， 故AA 1⊥BD
(2)如图，连结AC ，A 1C 1， 设AC∩BD＝E ，连结EA 1， 因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以EC ＝1
2
AC.[:
由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A 1ECC 1为平行四边形， 因此CC 1∥EA 1.
又因为EA 1⊂平面A 1BD ， CC 1⊄平面A 1BD ， 所以CC 1∥平面A 1BD
巩固提高
1.对于平面α和共面的直线m ，n ，下列 A. 若m ，n 与α所成的角相等，则m ∥n
B. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
C. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α
D. 若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n 答案：D
解析：由m ⊂α，n ∥α可知m 与n 不相交，又m 与n 共面，故m ∥n. 2.给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个 ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；
②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；
③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n. 其中真
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
答案：C
解析：①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l 、m.②中l 与m 也可能异面．
③中
⎭
⎪⎬⎪
⎫l ∥γ
l ⊂ββ∩γ＝m ⇒l ∥m ， 同理l ∥n ，则m ∥n ，正确．
3. 如图中四个正方体图形，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
答案：B
解析：图①中，设PN中点为Q，连MQ，则AB∥MQ，所以AB∥平面MNP，图②，图③中，AB与平面MNP相交，图④中，AB∥NP，所以AB∥平面MNP.故应选B.
4. 若α、β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线( )
A. 只有1条
B. 只有2条
C. 只有4条
D. 有无数条
答案：A
解析：据题意如图，要使过点A的直线m与平面α平行，则据线面平行的性质定理得经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行，同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行，则推出n∥k，由线面平行可进一步推出直线n与直线k与两平面α与β的交线平行，即要满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条．
5.在四面体ABCD中，M、N分别为△ACD和△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
答案：面ABC、面ABD
解析：如图，取CD的中点E，则AE过M，
且AM＝2ME，BE过N，
且BN＝2NE.
连接MN，则AB∥MN，
∴MN平行于平面ABC和平面ABD.
[:。