(完整版)高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式教案苏教版4解析

2
2
(1) 证明：由二倍角公式，得
αα
α
α α 2sin 2 cos 2
2tan 2
2t
sin α＝ 2sin
2 cos
2
＝
cos
2α 2
＋
sin
2α 2
＝
1＋
tan
2α ＝1＋ t 2
2，
α
2tan
2
2t
tan α＝
＝
2.
1－
tan
2α 2
1－ t
再由同角三角函数间的关系，得
2t sin α 1＋t 2 1－t 2 cosα＝ tan α ＝ 2t ＝ 1＋t 2.
科学发现是从问题开始的， 没有问题就不可能有深入细致的观察． 为了让学生经历一个
完整的探索发现过程， 教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题． 这是从数学知识体系
的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，
体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．
从运算的角度提出问题， 还可以帮助学
由此，有 1
sin αcosβ＝ 2[sin( α＋β ) ＋sin( α－β )] ． ①的左边已经是两个正弦的和， 因此， 只要进行简单的变形， 就可以回答 sin α＋ sin β
＝？这个问题了．
令 α＋β＝θ，α－β＝φ，代入①得
sin
θ＋
sin
φ＝ 2sin
θ＋φ 2
cos θ－φ 2
，
2
方程要求得确定解，必须有两个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含
sin αcosβ 的
公式，列出 sin( α－β ) ＝sin αcosβ－ cosαsin β 后，解相应地以 sin αcosβ，cosαsin β
为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果．
得到以和的形式表示的积的形式后， 解决它的反问题， 即用积的形式表示和的形式， 在
同样，在定义了三角函数以后，我们也应该考虑它的运算，如
sin α＋ sin β＝？
观察和角公式
sin( α＋β ) ＝sin αcosβ＋ cosαsin β，
sin( α－β ) ＝sin αcosβ－ cosαsin β，
容易得到
sin( α＋β ) ＋sin( α－β ) ＝2sin αcosβ. ①
思路 2.( 类比导入 ) 我们知道 log am＋ log a n＝ log a(mn) ，那么 sin α＋ sin β 等于什么呢？
推进新课
新知探究
和差化积公式的推导、万能公式的应用．
在引入对数概念以后，我们还研究了它的运算，并得到了一些重要的结论，如
log am＋
log an＝ log a(mn) ．
间的关系，想到分子分母同乘以
x
x
cos 2＋ sin 2，得
x
x2
cos2＋ sin 2
x
x
cos2＋ sin 2
x
x
cos2－ sin 2
1＋ sinx ＝ cosx .
证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得
1＋ sinx cosx ＝
以上四个公式我们称其为和差化积公式．
教师给学生适时引导， 指出这两个方程所用到的数学思想， 可以总结出在本例的证明过
程中，用到了换元的思想，如把 α＋β 看作 θ，α－β 看作 φ，从而把包含 α，β 的三
角函数式变换成 θ，φ 的三角函数式．另外，把 sin αcosβ 看作 x，cosαsin β 看作 y，
例 2 已知 2 ＋ 2 ＝ 1，求证：
2 ＋ 2 ＝ 1.
cos B sin B
cos A sin A
活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，
只是将 A、B 的位置互换了， 因此应从所给的条件等式入手， 而条件等式中含有 A、B 角的正、
余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是
－cosx) 3＋ 3sinxcosx(sinx
11 － cosx) ＝ 16. 此方法往往适用于
sin 3x±cos 3x 的化简问题．
解：由
sinx
1 － cosx ＝ 2，得 (sinx
－cosx)
2＝
1 4，
1
3
即 1－2sinxcosx
＝ 4，∴ sinxcosx
＝
. 8
∴sin 3x－cos 3x＝ (sinx － cosx)(sin 2x＋sinxcosx ＋ cos 2x)
sin( α＋β ) ＋sin( α－β ) ＝2sin αcosβ， 1
即 sin αcosβ＝ [sin( α＋β ) ＋sin( α－β )] ． 2
(2) 由 (1) 可得 sin( α＋β ) ＋sin( α－β ) ＝2sin αcosβ. ①
设 α＋β＝θ，α－β＝φ，那么
θ＋φ
θ－φ
只是为了让
学生有一个正确完整的结论．
和差化积、 积化和差、 万能代换以及半角公式都不要求记忆和运用， 要注意不应该加大
三角变换的难度， 不要在三角变换中“深挖洞”． 高考在该部分内容上的难度一降再降几乎
不涉及了．
三维目标
1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式及万能公式．体会化归、换元、方程、逆
向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．体会三角恒等变换在数学中的应用．
∴cos 2A＝cosBcosα＝ cos 2B， sin 2A＝sinBsin α＝ sin 2B.
cos 4B sin ∴ cos 2A＋sin
4B cos 4B sin 2A＝ cos 2B＋ sin
4B 2B＝
cos
2B＋
sin
2B＝ 1.
点评： 要善于从不同的角度来观察问题， 本例从角与函数的种类两方面观察， 利用平方
2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发
学生数学发现的欲望和信心．
重点难点
教学重点：推导积化和差、和差化积公式．
教学难点： 认识三角变换的特点， 并能运用数学思想方法指导变换过程的设计， 不断提
高从整体上把握变换过程的能力．
1
课时安排
1 课时
教学过程
导入新课
思路 1.( 复习导入 ) 在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，
思路和方法上都与前者没有什么区别．只需做个变换，令
α＋β＝θ，α－β＝φ，则 α
＝θ＋2φ
，β＝
θ－φ 2
，代入①式即α＋β ) ＝sin αcosβ＋ cosαsin β， sin( α－β ) ＝sin αcosβ－
cosαsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
α tan 2 的有理式统一表示
α角
的任何三角函数值．图 1 中的直角三角形可以帮助你更好地理解万能代换公式．
图1
应用示例
思路 1
例 1 已知
sinx
1 － cosx ＝ ，求
sin 3x－cos 3x 的值．
2
4
活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于
(a － b) 3
4 2
B A＝
cos
2B＋
sin
2B＝ 1.
cos 2A
sin 2A
证法二：令 cosB ＝cosα， sinB ＝sin α，
2
2
则 cos A＝cosBcosα， sin A＝sinBsin α．
5
两式相加得 1＝cosBcosα＋ sinBsin α，即 cos(B －α ) ＝ 1.
∴B－α＝ 2kπ(k ∈ Z) ，即 B＝2kπ＋α (k ∈ Z) ．∴ cosα＝ cosB，sin α＝ sinB.
α＝
2 ，β＝
. 2
把 α、β 的值代入①，
θ＋φ θ－φ 即得 sin θ＋ sin φ＝ 2sin 2 cos 2 .
类似的还能得到
α＋β α－β
sin α－ si nβ＝ 2cos
sin 2
2，
α＋β α－β cosα＋ cosβ＝ 2cos 2 cos 2 ，
α＋β α－β cosα－ cosβ＝－ 2sin 2 sin 2 .
关系进行了合理消元．
思路 2
1＋sinx
πx
例题
证明
cosx
＝ tan(
4
＋
) 2
．
活动： 教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→
右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推
导．注意式子左边包含的角为 x，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角
3
把等式看作 x， y 的方程，通过解方程求得 x，这就是方程思想的体现．
利用前面所学的三角函数公式还能推出很多有用的恒等式，我们先来探究一个具体问题．
α 设 tan 2 ＝ t.
2t
1－t 2
2t
(1) 求证： sin α＝ 1＋ t 2，cosα＝ 1＋t 2，tan α＝ 1－ t 2；①
(2) 当 t ＝ 2 时，利用以上结果求 3cos2α －2sin α＋ sin 2α 的值．
即 cos 4A－ cos 2B(cos 4A－ sin 4A) ＝cos 2B－ cos4B.
∴cos 4A－2cos 2Acos2B＋ cos 4B＝ 0.
∴(cos 2A－ cos 2B) 2＝0. ∴cos 2A＝cos 2B. ∴sin 2A＝ sin 2B.
cos 4B sin ∴ cos 2A＋sin
3．3 几个三角恒等式
整体设计
教学分析
本节主要内容为利用已有的公式进行推导发现． 本节的编写意图与特色是教师引导学生
发现创造， 从而加深理解变换思想， 提高学生的推理能力． 三角恒等变换所涉及的问题各种
各样， 内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，
提高对三
角变换的理性认识．
a2＋ b2＝ 1 的形式，可
利用三角代换．
cos 4A sin 4A
4
2
4
2
2
2
证法一：∵ cos 2B＋sin 2B＝ 1，∴ cos Asin B＋ sin Acos B＝ sin Bcos B.
∴cos 4A(1－ cos 2B) ＋sin 4Acos2B＝(1 － cos 2B)cos 2B，
α＋β α－β
从而有 sin α＋ sin β＝ 2sin
cos
.②
2
2
为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发
点，引导学生思考，哪些公式包含
sin αcosβ 呢？想到 sin( α＋β ) ＝sin αcosβ＋
cosαsin β. 从方程角度看这个等式， sin αcosβ， cosαsin β 分别看成两个未知数．二元
1 3 11 ＝ (1 ＋ ) ＝ .
2 8 16
点评： 本题考查的是公式的变形、化简、求值，注意公式的灵活运用和化简的方法
.
变式训练
1π
3π
已知 sin θ＋ cosθ＝ 5，且 2 ≤θ≤ 4 ，则 cos2θ 的值是 __________ ．
7 答案： －25
cos 4A sin 4A
cos 4B sin 4B
生认识到三角变换也是一种运算， 丰富对运算的认识， 从而把对三角变换的研究纳入整体的
数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．
α＋β α－β 在推导出了公式 sin α＋ sin β＝ 2sin 2 cos 2 以后， 可以让学生推导其余的和
差化积及积化和差公式． 本节后面的练习中之所以用证明的形式给出这个问题，
并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、 求值以及三角恒等式的证明问题， 在我们运用
三角函数知识解决一些问题的时候， 我们也会遇到形如 sin α＋ sin β，sin α－ sin β， cosα
＋cosβ， cosα－ cosβ 的形式，那么，我们能否运用角 α、β 的有关三角函数值表示它
们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．
x 2，三角函数
的种类为正切．
证法一：从右边入手，切化弦，得
sin πx tan( ＋ ) ＝ 42
cos
π
x ＋
42
π 4
x ＋2
sin π cos x＋ cos π sin x
x
x
cos ＋ sin
42
42
2
2
＝
＝
，由左右两边的角之
π cos 4
cos
x 2－
sin
π 4 sin
x 2
x
x
cos 2－ sin 2
3
2
2
3
3
3
3
3
3
＝ a － 3a b＋ 3ab － b ＝ a － b － 3ab(a － b) ，∴ａ－ b ＝ (a － b) ＋ 3ab(a － b) ．解完此题后，
教师引导学生深挖本例的思想方法， 由于 sinxcosx 与 sinx ±cosx 之间的转化， 提升学生的
运算、化简能力及整体代换思想． 本题也可直接应用上述公式求解， 即 sin 3x － cos 3x ＝ (sinx
1－ t 2
(2) 解： 3cos 2α －2sin α＋ sin 2α ＝ 2cos 2α ＋ 1－2sin α＝ 2＋cosα－ 2sin α
2
2
2
1－ t 2 4t ＝ 2＋1＋ t 2－ 1＋ t 2
3＋ t 2－4t
1
＝ 1＋ t 2 ＝－ 5.
公式①称为万能代换公式，利用万能代换公式，可以用