天线原理与设计习题集解答第1章

天线原理与设计习题集
第一章 天线的方向图
(1-1) 如图 1 为一元天线，电流矩为
Idz ，其矢量磁位表示为
? 0 Idz j r
，
A z
e
4 r
试导出元天线的远区辐射电磁场 E
, H 。

(电磁场与电磁波 P163)
图 1-1 (a) 元天线及坐标系 (b) 元天线及场重量取向
解：利用球坐标中矢量各重量与直角坐标系中矢量各重量的关系矩阵
A r s i n c o s s i n s i n c oA x s
A c o s c o s c o s s i n sA y i n
A
s i n
c o s
0 A z
因 A x A y 0 ，可得
A r
A z cos
A A z sin
A 0
E j A
由远场公式
H
1 ?
E
r
可得
Idz
j r
(V/m) E j
2 r sin e
H
j Idz sin e j r
(A/m)
2 r
E r E
H r H
(1-2) 已知球面波函数
e
j
r
/ r ，试证其知足颠簸方程： 2 2
2
1
2
1
j r
2
j r 2
证明：
r 2 r ( r
r )
r 2 r [(1
j r )e ] r e
则
2
2
(1-3) 如图 2 所示为两副长度为 2 的对称线天线，其上的电流分别为平均散布和三角形散布，试采纳元天线辐射场的叠加原理，导出两天线的远区辐射场
E , H ，方向图函数 f ( , ) 和归一化方向图函数
F ( , ) ，并分别画出它们在
yoz 平面和 xoy 平面内的方向图的表示图。

解： (1) 天线上电流为平均散布时
I ( z)
0I , l z l
将对称振子分为长度为 dz 的很多小段，每个小段可看作是一个元天线，以下列图所示。

距坐标原点 z 处的元天线的辐射电场为
dE
j I ( z)dz sin e j R j I 0 dz sin e j R
2 R 2 R
作远场近似，对相位 R r z cos ，对幅度 1/ R 1/ r ，且 e j
R
e j r e j zcos ，
得
dE
j
e j
r
j zcos
dz
2 sin I 0e
r
则远区总场为这些元天线的辐射场在空间某点的叠加，用积分表示为
l
j r
l
j r
j l cos
j l cos
e
I 0e j zcos dz
I 0e
e
e
E
dE
j
sin
l j sin
l
2 r
2 r j cos
j 60I 0e j r sin
r
式中方向图函数为： f ( ) sin( l cos ) j 60I 0 e j r f ( )
cos r
sin( l cos ) sin( cos ) sin |l / 2 sin
cos cos
平均电流散布的对称振子，其最大辐射方向在侧向。

方向图函数的最大值为
f m a x lim f ( ) l |l / 2
/ 2
则归一化方向图函数为
F ( ) f ( ) sin sin( l cos )
|l / 2 sin sin( cos )
f max l cos cos
其 E 面方向图函数由上式表示，方向图为字形；H面方向图函数为F H F ( ) | / 2 1，方向图为一个圆。

平均电流散布的对称振子归一化方向图，l/ 2
(2)天线上电流为三角形散布时
I ( z)I 0 (1| z |), l z l
l
距坐标原点 z 处的元天线的辐射电场为
dE j I ( z) dz sin e j R
2R
相同作远场近似后并带入三角形电流散布得
dE
e j r
I (z)e j zcos dz
e j r
sin I 0(1
| z | j zcos
dz j sin j
r
) e
2 r 2 l
则远区总场为
l
e j r l
| z |)e j zcos
E dE j sin I 0 (1 dz
l 2 r l l
I 0e j r 0 z j z c o s l j s i n [ ( 1 e ) dz
2 r l l z z j c o s
] ( 1e ) dz
l
j 60I
0 e j r f () r
式中， f ( ) sin 1 cos( l cos ) |l / 2 sin 1 cos( cos )
l cos2 cos2
方向图函数的最大值为
f
m a x lim f ( )
2
/ 2
则归一化方向图函数为
F ( ) f ( ) 2 s i n 1 c o s ( c o s )
f
m a x
2 c o s
其 E 面方向图函数由上式表示，方向图为字形；H 面方向图函数为
F H F ( ) | / 2 1，方向图为一个圆。

(1-4) 有一对称振子长度为2l ，其上电流散布为：I (z) I m sin (l | z |) 试导出：
(1)远区辐射场 E ,H ;
(2)方向图函数 f ( , ) ；
(3)半波天线 ( 2l / 2 )的归一化方向图函数F ( , )，并分别画出其 E 面和 H 面内的方向图。

(4)若对称振子沿 y 轴搁置，导出其远区场E,H表达式和 E 面、 H 面方向图函数。

解： (1) 由 I ( z) I m sin[ ( l | z |) , l z l
及 dE j 0 I ( z) dz sin e j R
2 R
作远场近似对相位 R r z cos
对幅度 R r
且 e j
R
e j r e j zcos
l
e j r l
zcos dz
j 0
E dE r sin I (z) e j
l 2 l
e j r 0
z)] e j zcos
l
z)] e j zcos dz
I m
j 0 r sin sin[ ( l dz sin[ (l
2 l 0
e j r l
j 0
2 r s i nI m 2 s i nl[ z( ) ] czo s ( d czo s ) 0
j 6 0I
m e j r c o s (l c o s )
cl o s
j
(60I)
m e j r f ( ) r s i n r
(2) 方向图函数： f ( ) cos( l cos ) cos( l )
sin
cos( cos ) cos( cos ) (3) 对半波天线： 2l / 2， f ( ) 2 ，f max 1，F( ) 2
sin sin
E 面方向图H 面方向图
沿 z 轴搁置的对称振子天线方向图
(4)对称振子沿 y 轴搁置，其远区场表达式不变
f ( , ) cos( l cos y ) cos( l )
sin y
式中，y 为天线轴与射线r的夹角，且cos y r? y? sin sin
E 面方向图H 面方向图
沿 y 轴搁置的对称振子天线方向图
(1-5) 有一长度为/ 2 的直导线，其上电流散布为I ( z) I 0e j z，试求该天线的方向图函数 F ( ,) ，并画出其极坐标图。

图 1-12 单行波天线
解：距坐标原点z处的元天线的辐射电场为
dE j I ( z) dz sin e j R
2R
作远场近似后并带入行波电流散布得
dE
e j r j zcos e j r j z(cos 1)
j
r
sin I (z)e dz j sin I 0e dz
2 2 r
远区总场为
E
e j r l j ( c o s z 1 ) e j r
I 0
e j ( c o sl 11)
j I0 s i n e d z j s i n 1 )
2 r
0 2 r j ( c o s
e j r j l (cos 1) sin[ l (cos 1)/ 2]
j I 0 sin e 2
(cos 1)
r
取模值| E | 0 I
0 | sin sin[ l (cos 1) /2]| r cos 1
60I 0 sin sin[ l (1 cos ) / 2]
r 1 cos
得方向图函数为
sin
sin[ l (1 cos ) /2]
f ( )
cos
1
60I
0f ( )
r
tan( )sin[l (1 cos )]
2 2
其 E 面方向图函数由上式表示。

长度为/ 2, , 2时的方向图以下所示。

(1-6) 利用方向性系数的计算公式 : D2
4
F 2 ( , ) sin d d
0 0 计算： (1) 元天线的方向性系数；
(2) 归一化方向图函数为
F ( , )csc,
/ 2, 0
0的天线方向性系数。

0, 其余
(3) 归一化方向图函数为： F ( ,)
n=1 和 2 时的天线方向性系数。

解：cos n, 0
0, 其余
/2,0 2
(1) 元天线 F ( ) s in ,则，
(2) D 2
4
0/ 2
4
F 2 ( , )sin d d sin d d
0 0 csc2
或 D
4
，或 D
4
0 ln
1
c o s0 0ln 1 cos 0
1 cos 0 sin 0
(3) D
4 4
2 / 2 d cos 2 2 2n
sin d d
cos2n
0 0
cos 0
2
2(2 n 1)
1 2 n 1
cos 2
2n 1
因此， n=1， D=6
n=2， D=10
4
sin 0
0 ln
1 cos 0
(1-7) 如图 3 所示为二元半波振子阵，两单元的馈电电流关系为I1I2e j /2，要求导出二元阵的方向图函数 f T ( , ) ，并画出E面(yz平面)和H面(xy平面)方向图。

图 3 半波振子二元阵，d/ 4
解：此时图 3 所示二元阵的阵因子方向图为心脏形，I 2相位滞后于 I 1，最大值方向为正 y 轴方向。

二元阵的总场方向图函数为f T ( , ) f0 ( f a) ( , )
c o s ( c o s )
式中，单元方向图函数为
f 0 ( ) 2
sin
二元阵的阵因子为
(
d c o s ， ) f a , ) 2 c o s (
2 y
2
cos y
? ?
sin ，
/2
r y sin
(1) E 面 (yz 面，
/ 2 )方向图
c o s ( c o s )
单元方向图函数为
f 0 ( )
2
sin
阵因子为
f a ( )
2 c o s [ ( s i n 1) ]
4 由方向图相乘原理可绘出其 E 面方向图以下列图所
示。

d / 4, / 2 时的 等幅激励半波振子二元阵
E 面方向图
(2) H 面 (xy 面，
/ 2)方向图
单元方向图函数为 f 0( )
1
阵因子为
f a ( )
2 c o s [ ( s i n 1 ) ]
4
由方向图相乘原理可绘出其 H 面方向图以下列图所示。

d / 4, / 2 时的 等幅激励半波振子二元阵
H 面方向图
(1-8)
有三付对称半波振子平行摆列在向来线上 ,相邻振子间距为 d ，如图 4 所示。

(1) 若各振子上的电流幅度相等，相位分别为
, 0, 时，求 xz 面、 yz 面和
H 面方向图函数。

(2) 若 d
/ 4 ，各振子电流幅度关系为 1:2:1，相位关系为 / 2, 0, / 2 时，
试画出三元阵的 E 面和 H 面方向图。

图 4 半波振子三元阵
解：(1). 三个对称半波振子天线电流相等，相位分别为 , 0, ，构成平均直线
阵。

此时， I 1
I 2 e j
， I 3 I 2e j
E n
j
60I
n
e
j r
n
f 0
( ) ， n=1, 2, 3
r n
cos( cos )
f 0 ( )
2
sin
总场为 E T
E 1 E 2 E 3
j
60I
2
e
j
r
f 0 (
,)[ e
j ( r
1
r )
e
j
1
e
j ( r
3
r )
e j ]
r
式中波程差为： r r 1
r? 1 d sin sin
r r 3
? 3
d sin sin
r
E T
j
60I
2
e
j r
f 0 ( , ) f a ( , )
r
f a ( , )
e j
( d sin sin
1)
1 e j
( d sin sin
1)
1 2cos[ (d sin sin
1)]
■ xz 面内 (
0 )的方向图函数为
F ( )
f 0( , ) f a ( , ) |
cos(
cos /2)[1 2cos ]
sin
■ yz 面内 ( / 2 )的方向图函数为
F ( )
f 0 ( , ) f a ( , ) |
/ 2
cos(
cos / 2)
{1 2cos[
(d sin 1)]}
sin
■ H 面(xy 面，
/ 2
) 方向图函数为
F H ( ) f 0 ( , ) f a ( , ) | / 2
1 2cos[ (d sin 1)]
(2) 已知 I 1
I 0e j
/2
， I 1 2I 0，I 3
I 0 e j /2 ， d/ 4 。

可得总场为
E T E 1 E 2 E 3
j
60I 0
e
j r
f 0
( ,)[ e
j ( r
1
r )e
j / 2
2e
j ( r
3
r )
e -j / 2
]
r
j
60I
e j r
f 0 (
, ) f a ( , )
r
式中， f a ( , ) e
[e j(
d sin sin
/ 2) 2
e j( d sin sin
/ 2)
j
1 / 2) 1
d sin
sin
/ 2)
( d sin sin
j ( 2
2
e 2
]
4cos 2 [ (sin sin 1)]
4
cos( cos )
■ E 面(yz 平面，
/ 2 )方向图函数为 f E ( )
2 4cos 2 [ (sin 1)]
sin 4 ■ H 面(xy 平面，
/ 2)方向图函数为 f H (
) 4cos 2 [ (sin
1)]
4
(1-9) 由四个元天线构成的方阵，其摆列如图 5 所示。

每个单元到阵中心的距离 为 3 / 8 ，各单元的馈电幅度相等，单元 1和 2同相，单元 3和 4同相但与 1和 2 反相。

试导出该四元阵的方向图函数及阵因子，并草绘该阵列 xy 平面内的方 向图。

解：已知单元到阵中心的距离为 d 3 /8 ， I 1 I 2
I 3 I 4 I 0 。

这个四元阵
可看作是 x 轴上的二元阵和 y 轴上的二元阵构成。

x 轴上的二元阵阵因子为
f ( , )
2 c o sd ( c o ，s cos
sin cos
x
x
x
y 轴上的二元阵阵因子为
f (
, ) 2 c o ds (
c o ，
s cos
sin sin
y
y
y
元天线的方向图函数为
f 0 ( ) sin
则四元阵总场方向图函数为
f T ( , ) f 0 ( ) f x [ ( , )f y
( , ) ]
2 s i n [ c ods (
s i n c o s d) c o s (
s i
在 xz 平面内 (H 面，
/ 2)的方向图函数为
f H ( ) 2[cos( d cos ) cos( d sin )]
取 d 3 /8, 3 / 4 绘出的方向图以下列图所示。

(1-10) 设地面为无穷大理想导电平面。

图 6 所示为由等幅同相馈电的半波振子构成的水平易垂直二元阵，要求
(1) 对图 (a)求其 xz 面和 yz 面方向图函数，并画出 xz 面方向图；
(2) 对图 (b)求其 xz 面和 yz 面和 xy 面方向图函数，并画出这三个平面内的方向图。

解：采纳镜像法，则近地水平易垂直二元阵的镜像以下列图所示
(c)
近地水平二元阵及其镜像 图中， H / 2 ， d
(d) 近地垂直二元阵及其镜像。

(a) 近地水平二元阵
采纳扩展的方向图相乘原理可得总场方向图函数为
f T ( , ) f 0 ( , ) f 12 ( , ) f (12)(1'2') ( , )
式中，半波振子单元方向图函数为
cos( cos
y
)
f 0
( , )
2
， cos y
sin sin ， sin y
1 sin
2 sin 2
sin y
由单元 1 和 2(或 1′和 2′)构成的二元阵的阵因子为
d f 12 ( , ) 2cos(
cos y ) 2cos( sin sin )
2
由 (1,2)与(1,2 )为负像时的组间阵因子为
f (12)(1'2')
( ,
)
2sin(
H cos )
2sin(
cos )
■ yz 平面 (
/ 2 )内的总场方向图函数为
cos(
sin )
f yz ( )
2 cos
2cos( sin ) 2sin(
sin )
■ xz 平面 (
0)内的总场方向图函数为
f xz ( )
f T ( ,
) |
4sin(
cos )
其方向图为
(a) 近地垂直二元阵
总场方向图函数为
f T ( ,
) f 0 ( , ) f 12 ( ,
) f (12)(1'2') ( , )
式中，半波振子单元方向图函数为
cos( cos )
f 0 ( , ) 2
sin 由单元 1 和 2 构成的二元阵的阵因子为
f 12 ( , ) 2cos(
d
cos y ) 2cos( sin sin )
2
由 (1,2)与(1,2 )为正像时的阵因子为
f
(12)(1'2')
( , ) 2cos( H cos ) 2cos( cos )
■ xz 平面 (
0)内的总场方向图函数为
cos( cos
)
f xz ( ) f T ( ,
2
4cos( cos )
) | 0
sin
其方向图为
■ yz 平面 ( / 2 )内的总场方向图函数为
cos( sin )
f yz ( ) 2 4 cos( sin ) cos( cos )
cos
其方向图为
■ xy 平面 (/ 2 )内的总场方向图函数为
f xy ( ) 4cos( sin )
其方向图为
(1-11) 一半波对称振子水平架设在理想导电平面上，架设高度为H/2。

试
确立最大指向，并画出H 面方向图。

解：采纳镜像法剖析近地水平对称振子的远区辐射场问题的方法是：考虑镜像之后，去掉地面，问题就化为平行摆列的等幅反相二元阵问题。

总场方向图函数为
f T ( ) f0 ( f)a (，)0
cos( cos )
式中，单元方向图函数为f0 ( ) 2
sin
二元阵阵因子为
f a ( , ) 2 s i n ( c o s
(1.134)
H x
x为阵轴与射线间的夹角， cos x sin cos 。

H面方向图 ( / 2)
在 H 面内，f0( /2) 1
f a ( ) 2sin( H cos )
因/ 2 ， f a ( ) 2sin( H sin )
则 H 面总场方向图函数为：f T ( ) 2sin( H sin )
令： | sin( H sin ) | 1，则H sin / 2 sin 1/ 2
得最大指向为：
30o , 150o
由此可画出不一样高度时的近地水平半波振子的 H 面(xy 平面 )方向图以下列图所示。

(a) 近地水平对称振子
近地垂直对称振子及
(b) 不一样高度的近地水平对称振子
H 面方向图
H 面方向图
(1-12) 由长为 l / 4 的单极天线构成的八元天线阵如图 7 所示，各单元垂直于 地面，排成 2 行 4 列的阵列，列间距为 / 2 ，行间距为 / 4 。

每个单元天线为 等幅馈电，而相位配置由图中标出。

试利用方向图相乘原理，绘出 H 面方向图。

解：采纳镜像法以后，去掉地面，八元阵可看作是由对称振子构成的。

其总场方向图函数为
f T ( , ) f 0 ( ) f ay1 ( , ) f ay 2 ( , ) f ax ( , )
式中，半波振子单元方向图函数为
cos( cos / 2) f 0 ( ) sin
间距为 d
/2 的二元阵阵因子为
f ay1( , ) 2cos( d
y ) 2cos( sin sin )
cos 间距为 d
的二元阵阵因子为 2 2
f ay 2 ( , ) 2cos(
d cos y )
2cos( sin sin )
2 间距为 d
/4 ，相位为 / 2 的二元阵阵因子为
f ax ( , )
2cos(
d
cos x 2 ) 2cos[ (sin cos 1)]
2 4
■在 H 面 (xy 平面，
/ 2)内的方向图函数为
f H ( ) f T ( , ) | / 2 2cos( sin ) 2cos( sin ) 2cos[ (cos 1)]
2 4
单元方向图为一个圆，f a1( ) 的图形为“8”字形， f a2 ( ) 的图形为两个正交的“ 8”字形成的花瓣图形。

依据方向图相乘原理可画出总场的H 面方向图。