人教版三角函数与解三角形多选题单元 易错题专项训练检测试卷

人教版三角函数与解三角形多选题单元 易错题专项训练检测试卷
一、三角函数与解三角形多选题
1．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（ ）
A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍
B ．若cos cos a B b A c -=，则AB
C 一定为直角三角形 C ．若4,5,6a b c ===，则ABC
D ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】
对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2
A π
=
，由此确定选项
正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】
对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453
cos 0256604
A +-=
==>⨯⨯，
16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2
231
cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭
，cos2cos A C =.0,02
2
A C π
π
<<
<<
，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.
对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，
()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由
于0,0A B ππ<<<<，所以2
A π
=
，故B 选项正确.
对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<
，sin C ==， 设三角形ABC 外接圆半径为R
，则2sin 2sin c c
R R C C
=
⇒===
，故C 选项错误.
对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤， 要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=， 则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，
所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】
利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是
2sin a
R A
=，而不是sin a
R A =.
2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是( ) A ．::7:5:3a b c = B ．0AC AB ⋅<
C ．
753
A B C == D ．若8+=b c ，则ABC ∆
面积是
4
【答案】ABD 【分析】
设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，求出a ,b ,c 的值，可得A ；由正弦定理，
sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，可判定C ，由余弦定理1cos 2
A =-，cos 0AC A
B bc A ⋅=<，可判定B ；由8+=b c ，结合A 结论，可计算b ,c , 1
sin 2
ABC S bc A ∆=，可判定D
【详解】
设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，则753
,,222
a k
b k
c k =
== ，故 ::7:5:3a b c =，即A 选项正确；
又222
2
2
2
259491444cos 5322222
k k k
b c a A bc k k +-+-=
==-⨯⨯，故cos 0AC AB bc A ⋅=<，B 选项正确；
由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，C 选项错误； 若8+=b c ，则2k =，故5,3,120o
b c A ===
，所以1sin 2ABC S bc A ∆==
，D 选项正确 故选：ABD 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题
3．函数()cos |cos |f x x x =+，x ∈R 是（ ） A ．最小正周期是π B ．区间[0，1]上的减函数 C ．图象关于点(k π，0)()k Z ∈对称 D ．周期函数且图象有无数条对称轴 【答案】BD 【分析】
根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解. 【详解】
2cos (22)22
()30(22)
22x k x k f x k x k ππππππππ⎧
-+⎪⎪=⎨⎪+<≤+⎪⎩
，
则对应的图象如图：
A 中由图象知函数的最小正周期为2π，故A 错误，
B 中函数在[0,
]2
π
上为减函数，故B 正确，
C 中函数关于x k π=对称，故C 错误，
D 中函数由无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确 故正确的是B D 故选：BD
【点睛】
本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:
①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin :sin :sin 4:5:6A
B
C = B ．ABC 是钝角三角形
C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则ABC
外接圆半径为
7
【答案】ACD 【分析】
由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】
解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；
由c 为最大边，可得2222221625361
cos 022458
a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，
即C 为锐角，选项B 描述不准确；
2222222536163
cos 22564
b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，
291
cos 22cos 121cos 168
A A C =-=⨯
-==， 由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；
若6c =
，可得
2sin 7c R C
=
==
，
ABC
外接圆半径为
7
，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.
5．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π
6
个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A
．π4g ⎛⎫
= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()g x 图象的一个对称中心
C ．函数()g x 在π0,4
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增
D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是22⎡-⎢⎣⎦
【答案】BC 【分析】
首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】
()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
1sin 462
g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；
0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
π上单调递增，
故C 正确；,63x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小
值-1，当233x ππ
-=⎡-⎢⎣⎦
.
故选：BC 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
6．函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
A ．1
()2sin 3
6f x x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭ B ．若把()f x 的横坐标缩短为原来的2
3
倍，纵坐标不变，得到的函数在[],ππ-上是增函数
C ．若把函数()f x 的图像向左平移2
π
个单位，则所得函数是奇函数 D ．函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称
【答案】ACD 【分析】
根据函数的图象求出函数的解析式，得选项A 正确； 求出21326
3
x πππ
-
-得到函数在[]
,ππ-上不是增函数，得选项B 错误；
求出图象变换后的解析式得到选项C 正确； 求出函数的对称轴方程，得到选项D 正确. 【详解】 A, 如图所示：173
2422
T πππ=
-=， 6T π∴=，
∴2163πωπ==，
(2)2f π=，
∴2(2)2sin()23f π
πϕ=+=，即2sin()13
πϕ+=， ∴
22()32
k k Z ππ
ϕπ+=+∈， ∴2()6
k k Z π
ϕπ=-
∈，
||ϕπ<，
∴6
π
ϕ=-，
∴
1()2sin()36
f x x π
=-，故选项A 正确；
B, 把()y f x =的横坐标缩短为原来的23
倍，纵坐标不变，得到的函数12sin()26y x π
=-，
[x π∈-，]π，
∴21326
3
x π
ππ
-
-，
∴12sin()2
6
y x π
=-在[π-，]π上不单调递增，故选项B 错误；
C, 把()y f x =的图象向左平移2
π个单位，则所得函数12sin[()]2sin 3223x
y x ππ=-+=，是
奇函数，故选项C 正确； D, 设
1,,32,362
x k k Z x k ππ
πππ-=+∈∴=+当24k x π=-⇒=-，所以函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称，故选项D 正确.
故选：ACD 【点睛】
方法点睛：求三角函数的解析式，一般利用待定系数法，一般先设出三角函数的解析式
sin()y A wx k ，再求待定系数,,,A w k ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,
非平衡位置的点确定函数的φ.
7．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A ．函数()y f x =的周期为π
B ．函数()y f x =在2,3
6ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦单调递减
C ．函数()y f x =的图象关于直线512
x π
=-对称 D ．该图象向右平移6
π
个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】
先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；
对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-
⎫
⎪
⎝⎭
，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】
由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫
=-=∴==
⎪⎝⎭
； 由=2sin 2212122f ππϕπ
ϕ⎧⎛⎫⎛⎫
⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩
解得：3πϕ=
故函数()2sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
对于A ：4312T πππ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,3
6ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误； 对于C ：当512
x π
=-
时255s 21212
32in f ππ
π⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-
是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；
对于D ：()y f x =向右平移6π
个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝
⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】
求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；
()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.
8．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．23
ϕπ=
B ．()f x 的最小正周期为π
C ．()f x 的图象关于直线12
x π
=对称
D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 【答案】BCD 【分析】
利用图象，把(3代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，研究
对称轴和对称中心. 【详解】
由图可知2sin 3ϕ=3
sin ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3
π
ϕ=，A 项错误；
因为()2sin 3f x x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，所以结合图像，由五点法得
3
3
ωπ
π
π+
=，解得2ω=，则
()f x 的最小正周期2T π
πω
=
=，B 项正确；
将12
x π
=
代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫
=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以()f x 的图象关于直线12
x π
=对称，C 项正确﹔
将56x π=
代入可得552sin 0633f π
ππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，所以点5,06π⎛⎫
⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】
求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；
()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.
9．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++，则（ ） A ．()f x 的最小正周期是π
B ．()f x 的图像可由函数()22g x x =+的图像向左平移
8
π
个单位而得到 C ．4
x π
=
是()f x 的一条对称轴
D ．()f x 的一个对称中心是,08π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【答案】AB 【分析】
首先化简函数()224f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，再根据三角函数形式的公式，以及代入的方
法判断选项. 【详解】
()
1sin 2cos 21224f x x x x π⎛
⎫=+++=++ ⎪⎝
⎭，
A.函数的最小正周期22
T π
π=
=，故A 正确；
B.根据图象的平移变换规律，可知函数()22g x x =+的图像向左平移
8
π
个单位而得
到()222284f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故B 正确；
C.当4
x π
=
时，324
4
4
π
π
π
⨯
+
=
，不是函数的对称轴，故C 不正确； D.当8
x π
=-
时，2084
ππ
⎛⎫⨯-
+= ⎪⎝⎭，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是,28π⎛⎫
- ⎪⎝⎭，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最
低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
10．设函数()()31sin sin 0222f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则（ ）
A ．在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=
B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点
C ．()f x 在0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增 D ．ω的取值范围是1723,66⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】AD
【分析】 化简函数()f x 的解析式为()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令6t x πω=+，由[]
0,x π∈可求得,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭
的图象，可判断AB 选项的正误；由图象得出346
π
πωππ≤+<可判断D 选项的正误；取3ω=，利用正弦型函
数的单调性可判断C 选项的正误.
【详解】 ()3131sin sin sin cos sin 2226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+
∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦， 作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭
的图象如下图所示：
对于A 选项，由图象可知，max 1y =，min 1y =-，
所以，在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=，A 选项正确；
对于B 选项，()f x 在()0,π上有1个或2个最小值点，B 选项错误；
对于D 选项，由于函数()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则346π
πωππ≤+<，解得
172366
ω≤<，D 选项正确； 对于C 选项，由于172366ω≤<，取3ω=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，53663x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间0,
2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误. 故选：AD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用正弦型函数在区间上的零点个数判断正弦型函数的基本性质，解本题的关键在于换元6t x π
ω=+，将问题转化为函数sin y t =在区间,6
6ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的零点个数问题，数形结合来求解.。