九年级上册数学 期末试卷易错题(Word版 含答案)

九年级上册数学 期末试卷易错题（Word 版 含答案）
一、选择题
1．如图，已知AB 为
O 的直径，点C ，D 在O 上，若28BCD ∠=︒，则ABD ∠=
（ ）
A ．72︒
B ．56︒
C ．62︒
D ．52︒ 2．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析
式为（ ）
A ．23(2)3y x =++
B ．23(2)3y x =-+
C ．23(2)3y x =+-
D ．23(2)3y x =-- 3．如图，
点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠BAC = 40°，则∠OBC 的度数是（ ）
A ．80°
B ．40°
C ．50°
D ．20° 4．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ） A ．x ＝0
B ．x ＝3
C ．10x =，23x =-
D ．10x =，23x = 5．如图在△ABC 中，点D 、
E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，不一定能使△ADE 与△ABC 相
似的条件是（ ）
A ．∠AED=∠B
B ．∠ADE=∠
C C ．A
D D
E AB BC = D ．AD AE AC AB = 6．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如
下表： x 2- 1- 0 1 2 y
5 0 3- 4- 3-
以下结论： ①二次函数2
y ax bx c =++有最小值为4-；
②当1x <时，y 随x 的增大而增大；
③二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴只有一个交点； ④当13x
时，0y <. 其中正确的结论有（ ）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 7．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则sin B 的值是（ ）
A ．45
B ．35
C ．43
D ．34
8．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）
A ．321y y y >>
B ．312y y y >=
C ．123y y y >>
D ．123y y y => 9．如图，O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是点
E ，22.5CAO ∠=，6OC =，则CD 的长为( )
A ．62
B ．32
C ．6
D ．12 10．如图，BC 是O 的直径，A ，D 是O 上的两点，连接AB ，AD ，BD ，若
70ADB ︒∠=，则ABC ∠的度数是（ ）
A ．20︒
B ．70︒
C ．30︒
D ．90︒
11．小明同学发现自己一本书的宽与长之比是黄金比约为0.618．已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为（ ）
A ．12.36cm
B ．13.6cm
C ．32.386cm
D ．7.64cm
12．如图，点P （x ，y ）（x ＞0）是反比例函数y=k x
（k ＞0）的图象上的一个动点，以点P 为圆心，OP 为半径的圆与x 轴的正半轴交于点A ，若△OPA 的面积为S ，则当x 增大时，S 的变化情况是（ ）
A ．S 的值增大
B ．S 的值减小
C ．S 的值先增大，后减小
D ．S 的值不变
二、填空题
13．将二次函数y=x 2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是_____．
14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）的图像上部分点的横坐标x 和纵 坐标y 的对应值如下表 x
… －1 0 1 2 3 … y … －3 －3 －1 3
9 … 关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0一个负数解x 1满足k ＜x 1＜k +1（k 为整数），则k ＝
________．
15．在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35
，则tanA 等于 ． 16．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：9，10，12，x ，8．已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是_____．
17．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为________m ．
18．已知圆锥的侧面积为20πcm 2，母线长为5cm ，则圆锥底面半径为______cm ．
19．二次函数2
y ax bx c =++的图像开口方向向上，则a ______0.(用“=、>、<”填空) 20．如图，抛物线2143115y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，⊙B 的圆心为B ，半径是1，点P 是直线AC 上的动点，过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，则切线长PQ 的最小值是__．
21．已知⊙O半径为4，点,A B在⊙O上，
213
90,sin
BAC B
∠=∠=，则线段OC
的最大值为_____．
22．圆锥的底面半径是4cm，母线长是6cm，则圆锥的侧面积是______cm2（结果保留π）．
23．如图，正方形ABCD的边长为5，E、F分别是BC、CD上的两个动点，AE⊥EF．则AF 的最小值是_____．
24．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB+AD＝8cm．当BD取得最小值时，AC的最大值为_____cm．
三、解答题
25．新建马路需要在道路两旁安装路灯、种植树苗．如图，某道路一侧路灯AB在两棵同样高度的树苗CE和DF之间，树苗高2 m，两棵树苗之间的距离CD为16 m，在路灯的照射下，树苗CE的影长CG为1 m，树苗DF的影长DH为3 m，点G、C、B、D、H在一条直线上．求路灯AB的高度．
26．如图，宾馆大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB ，某人从C 点测得吊灯顶端A 的仰角为35︒，吊灯底端B 的仰角为30，从C 点沿水平方向前进6米到达点D ，测得吊灯底端B 的仰角为60︒．请根据以上数据求出吊灯AB 的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，2≈1.41，3≈1.73）
27．在一个不透明的口袋中装有1个红球，1个绿球和1个白球，这3个球除颜色不同外，其它都相同，从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色．然后放回口袋并摇匀，再从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色，请利用画树状图或列表的方法，求两次摸到的球都是红球的概率．
28．中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 ；
（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
29．解方程：（1）3x 2－6x －2＝0； （2）(x －2)2＝(2x ＋1)2．
30．在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，E 是射线DC 上的点，连接AE ，将ADE ∆沿直线AE 翻折得AFE ∆．
（1）如图①，点F 恰好在BC 上，求证：ABF ∆∽FCE ∆；
（2）如图②，点F 在矩形ABCD 内，连接CF ，若1DE =，求EFC ∆的面积；
（3）若以点E、F、C为顶点的三角形是直角三角形，则DE的长为．
31．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．
32．已知二次函数y＝ax2+bx﹣16的图象经过点（﹣2，﹣40）和点（6，8）．
（1）求这个二次函数图象与x轴的交点坐标；
（2）当y＞0时，直接写出自变量x的取值范围．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.
【详解】
解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.
故选：C.
【点睛】
本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
将抛物线2
3y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为23(2)3y x =++，故答案选A ． 3．C
解析：C
【解析】
∵∠BOC=2∠BAC ，∠BAC=40°
∴∠BOC=80°，
∵OB=OC ，
∴∠OBC=∠OCB=（180°-80°）÷2=50°
故选C ．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
先将方程左边提公因式x ，解方程即可得答案．
【详解】
x 2﹣3x ＝0，
x （x ﹣3）＝0，
x 1＝0，x 2＝3，
故选：D ．
本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意根据相似三角形的判定定理依次对各选项进行分析判断即可．
【详解】
解：A 、∠AED=∠B ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ，故A 选项错误；
B 、∠ADE=∠
C ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ，故B 选项错误；
C 、
AD DE AB BC =不能判定△ADE ∽△ACB ，故C 选项正确； D 、AD AE AC AB
=，且夹角∠A=∠A ，能确定△ADE ∽△ACB ，故D 选项错误． 故选：C ．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据表中数据，可获取相关信息：抛物线的顶点坐标为（1，－4），开口向上，与x 轴的两个交点坐标是（－1，0）和（3，0），据此即可得到答案.
【详解】
①由表格给出的数据可知（0，-3）和（2，-3）是一对对称点，所以抛物线的对称轴为202
+=1，即顶点的横坐标为x=1，所以当x=1时，函数取得最小值－4，故此选项正确； ②由表格和①可知当x ＜1时，函数y 随x 的增大而减少；故此选项错误；
③由表格和①可知顶点坐标为（1，－4），开口向上，∴二次函数2y ax bx c =++的图象
与x 轴有两个交点，一个是（－1，0），另一个是（3，0）；故此选项错误；
④函数图象在x 轴下方y<0，由表格和③可知，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的两个交点坐标是（－1，0）和（3，0），∴当13x
时，y<0；故此选项正确；
综上：①④两项正确，
故选：B ．
【点睛】
本题综合性的考查了二次函数的性质，解题的关键是能根据二次函数的对称性判断：纵坐标相同两个点的是一对对称点．
解析：A
【解析】
【分析】
先根据勾股定理计算出斜边AB 的长，然后根据正弦的定义求解．
【详解】
如图，
∵∠C =90°，AC =8，BC =6，
∴AB 222268BC AC +=+10，
∴sin B =
84105
AC AB ==． 故选：A ．
【点睛】 本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．
8．D
解析：D
【解析】
试题分析：∵22y x x c =-++，∴对称轴为x=1，P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）在对称轴
的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，∴23y y >，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，1y ）与（3，2y ）关于对称轴对称，故123y y y =>，故选D ．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
9．A 解析：A
【解析】
【分析】
先根据垂径定理得到CE DE =，再根据圆周角定理得到245BOC A ∠=∠=，可得OCE ∆为等腰直角三角形，所以2322
CE =
=CD 的长． 【详解】
∵CD AB ⊥，AB 为直径，
∴CE DE =，
∵∠BOC 和∠A 分别为BC 所对的圆心角和圆周角，∠A=22.5°，
∴2222.545BOC A ∠=∠=⨯=，
∴OCE ∆为等腰直角三角形，
∵OC=6，
∴22632CE OC ==⨯=， ∴262CD CE ==.
故选A ．
【点睛】
本题考查了垂径定理及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧．
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
连接AC ，如图，根据圆周角定理得到90BAC ︒∠=，70ACB ADB ︒∠=∠=，然后利用互余计算ABC ∠的度数．
【详解】
连接AC ，如图，
∵BC 是O 的直径，
∴90BAC ︒∠=，
∵70ACB ADB ︒∠=∠=，
∴907020ABC ︒︒︒∠=-=．
故答案为20︒．
故选A ．
【点睛】
本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，
∴书的宽约为20×0.618＝12.36cm．
故选：A．
【点睛】
本题考查了黄金比例的应用，掌握黄金比例的比值是解题的关键．
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
作PB⊥OA于B，如图，根据垂径定理得到OB=AB，则S△POB=S△PAB，再根据反比例函数k的
几何意义得到S△POB=1
2
|k|，所以S=2k，为定值．
【详解】
作PB⊥OA于B，如图，则OB=AB，∴S△POB=S△PAB．
∵S△POB=1
2
|k|，∴S=2k，∴S的值为定值．
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=k
x
图象中任取一点，过这一个
点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
二、填空题
13．y=x2+2
【解析】
分析：先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
详
解析：y=x2+2
【解析】
分析：先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
详解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．
故答案为y=x2+2．
点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14．－3
【解析】
【分析】
首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1 的取值范围，可得k．
【详解】
解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3
解析：－3
【解析】
【分析】
首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1的取值范围，可得k．
【详解】
解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3代入y＝ax2＋bx＋c得
3 1 3c
a b c a b c
-=⎧
⎪
-=++⎨
⎪-=-+⎩，解得
1
1
3
a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
，∴y=x²+x-3,
∵△=b2-4ac=12-4×1×（-3）=13，
∴
x=
1
22
b
a
-±-±
=
，
∵1x<0,
∴1x=−1
＜0，
∵-4≤
-3，
∴3222-≤-
≤-，
∴-≤ 2.5-， ∵整数k 满足k ＜x 1＜k+1，
∴k=-3，
故答案为:-3．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式.
15．.
【解析】
试题分析：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝，∴.
∴可设.
∴根据勾股定理可得.
∴.
考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理. 解析：
43
. 【解析】 试题分析：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝
35，∴35AC AB =. ∴可设35AC k AB k ==，.
∴根据勾股定理可得4BC k =. ∴44tanA 33
BC k AC k ===. 考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理.
16．2
【解析】
【分析】
首先根据平均数确定x 的值，再利用方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn ﹣）2]，计算方差即可．
【详解】
∵组数据的平均数是10，
∴(9+10+12+x+8
解析：2
【解析】
【分析】
首先根据平均数确定x的值，再利用方差公式S2＝1
n
[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（x n﹣
x）2]，计算方差即可．【详解】
∵组数据的平均数是10，
∴1
5
(9+10+12+x+8)＝10，
解得：x＝11，
∴S2＝1
5
[[（9﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2+（8﹣10）2]，
＝1
5
×（1+0+4+1+4），
＝2．
故答案为：2．【点睛】
本题考查了方差，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x，则方差S2＝1
n
[（x1﹣
x）2+（x2﹣x）2+…+（x n﹣x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
17．5
【解析】
【分析】
根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题.
【详解】
解：设举起手臂之后的身高为x
由题可得：1.7:0.85=x：1.1,解得x=2.2,
解析：5
【解析】
【分析】
根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题.
【详解】
解：设举起手臂之后的身高为x
由题可得：1.7:0.85=x：1.1,解得x=2.2,
则小刚举起的手臂超出头顶的高度为2.2-1.7=0.5m
【点睛】
本题考查了比例尺的实际应用,属于简单题,明确同一时刻的升高和影长是成比例的是解题关键.
18．4
【解析】
【分析】
由圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解．
【详解】
解：由圆锥的母线长是5cm，侧面积
解析：4
【解析】
【分析】
由圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解．
【详解】
解：由圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，
根据圆锥的侧面展开扇形的弧长为：
240
5
S
l
r
π
===8π，
再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
可得
8
22
l
r
π
ππ
===4cm．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．
19．>
【解析】
【分析】
根据题意直接利用二次函数的图象与a的关系即可得出答案．【详解】
解：因为二次函数的图像开口方向向上，
所以有>0.
故填>.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次
解析：>
【解析】
【分析】
根据题意直接利用二次函数的图象与a的关系即可得出答案．
【详解】
解：因为二次函数2y ax bx c =++的图像开口方向向上，
所以有a >0.
故填>.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数a 与抛物线的关系是解题的关键，图像开口方向向上，a >0；图像开口方向向下，a <0．
20．【解析】
【分析】
先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.
【详解】
令中y=0，得x1=
【解析】
【分析】
先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.
【详解】
令21115y x =-中y=0，得x 1
x 2
∴直线AC
的解析式为1y =-， 设P （x ，31x ）， ∵过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，BQ=1
∴PQ 2=PB 2-BQ 2，
2+（31x ）2-1， =242837533x x ， ∵43
a =0<， ∴PQ 2有最小值24283475()3326443，
∴PQ 的最小值是26，
故答案为：26，
【点睛】
此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ 、BQ 、PB 之间的关系式是解题的关键.
21．【解析】
【分析】
过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,先证明，由三角函数可得出，进而求得，再通过证明，可得出，根据三角形三边关系可得:,由勾股定理可得，求出BE 的最大值，则答案即可求出.
解析：413833
+ 【解析】
【分析】
过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,先证明ABC AEO ∆∆，由三角函数可得出23AO AE =，进而求得6AE =，再通过证明AEB AOC ∆∆，可得出23
OC BE =，根据三角形三边关系可得:BE OE OB ≤+,由勾股定理可得213OE =，求出BE 的最大值，则答案即可求出.
【详解】
解:过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,
∵OAE BAC AEO ABC ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩
, ∴ABC AEO ∆∆,
∴tan AC AO B AB AE ∠=
=, ∵213sin B ∠=,
∴cos 13B ∠==,
∴sin 2tan cos 3
B B n B ∠∠===∠, ∴
23
AO AE =， 又∵4AO =,
∴6AE =,
∵90,90EAB BAO OAC BAO ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴ =EAB OAC ∠∠， 又∵
AC AO AB AE
=， ∴AEB AOC ∆∆, ∴
23
OC AC BE AB ==, ∴23OC BE =, 在△OEB 中，根据三角形三边关系可得:BE OE OB ≤+,
∵OE ===，
∴4OE OB +=,
∴BE
的最大值为：4，
∴OC
的最大值为：
(
)
28433=. 【点睛】
本题主要考查了三角形相似的判定和性质、三角函数、勾股定理及三角形三边关系，解题的关键是构造直角三角形. 22．24π
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为4cm ，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，
解析：24π
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为4cm，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，
∴圆锥的侧面积=1
2
×8π×6=24π（cm2）．
故答案为：24π．
【点睛】
本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周
长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=1
2
•l•R，（l为弧长）．
23．【解析】
【分析】
设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．
【详解】
解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，
解析：25 4
【解析】
【分析】
设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．
【详解】
解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
而∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴AB
EC
＝
BE
CF
，
∴
5
5x
＝
x
y
，
∴y＝﹣1
5
x2+x＝﹣
1
5
（x﹣
5
2
）2+
5
4
，
∵﹣1
5
＜0，
∴x＝5
2
时，y有最大值
5
4
，
∴CF的最大值为5
4
，
∴DF的最小值为5﹣5
4
＝
15
4
，
∴AF的最小值＝22
AD DF
+＝
2
2
15
5
4
⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
＝
25
4
，
故答案为25
4
．
【点睛】
本题考查了几何动点问题与二次函数、相似三角形的综合问题，综合性较强，解题的关键是找出相似三角形，列出比例关系，转化为二次函数，从而求出AF的最小值．24．【解析】
【分析】
设AB＝x，则AD＝8﹣x，由勾股定理可得BD2＝x2+(8﹣x)2，由二次函数的性质可求出AB＝AD＝4时，BD的值最小，根据条件可知A，B，C，D四点在以BD 为直径的圆上．
解析：2
【解析】
【分析】
设AB＝x，则AD＝8﹣x，由勾股定理可得BD2＝x2+(8﹣x)2，由二次函数的性质可求出AB＝AD＝4时，BD的值最小，根据条件可知A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上．则AC为直径时最长，则最大值为2．
【详解】
解：设AB＝x，则AD＝8﹣x，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD2＝x2+(8﹣x)2＝2(x﹣4)2+32．
∴当x＝4时，BD取得最小值为42．
∵A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上．如图，
∴AC为直径时取得最大值．
AC的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了四边形的对角线问题，掌握勾股定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．三、解答题
25．m
【解析】
【分析】
设BC的长度为x，根据题意得出△GCE∽△GBA，△HDF∽△HBA，进而利用相似三角形的性质列出关于x的方程.
【详解】
解：设BC的长度为x m
由题意可知CE∥AB∥DF
∵CE∥AB
∴△GCE∽△GBA，△HDF∽△HBA
∴GC CE
GB AB
=，即
1
1x
+
＝
2
AB
HD HB ＝
FD
AB
，即()
3
316x
+-
＝
2
AB
∴
1
1x
+
＝()
3
316x
+-
∴x＝4
∴AB＝10
答：路灯AB的高度为10 m.
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，得出△GCE∽△GBA，△HDF∽△HBA是解题关键．26．吊灯AB的长度约为1.1米．
【解析】
【分析】
延长CD交AB的延长线于点E，构建直角三角形，分别在两个直角三角形△BDE和△AEC
中利用正弦和正切函数求出AE长和BE长，即可求解.【详解】
解：延长CD交AB的延长线于点E，则∠AEC＝90°，
∵∠BDE＝60°，∠DCB＝30°，
∴∠CBD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DCB＝∠CBD，
∴BD＝CD＝6（米）
在Rt△BDE中，sin∠BDE＝BE BD
，
∴BE＝BD•sin∠BDE═6×sin60°＝33≈5.19（米），
DE＝1
2
BD＝3（米），
在Rt△AEC中，tan∠ACE＝AE CE
，
∴AE＝CE•tan∠ACE＝（6+3）×tan35°≈9×0.70＝6.30（米），
∴AB＝AE﹣BE≈6.30﹣5.19≈1.1（米），
∴吊灯AB的长度约为1.1米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解答此题的关键是构建直角三角形，利用锐角三角函数进行解答.
27．两次摸到的球都是红球的概率为1 9 .
【解析】
【分析】
根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解.
【详解】
解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，摸到的两个球都是红球的有1种情况，
∴两次摸到的球都是红球的概率=1
9
．
【点睛】
此题主要考查概率的计算，解题的关键是根据题意画出所有情况，再用公式进行求解.
28．（1）1
4
；（2）
1
6
【解析】
【分析】
（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式解答即可；
（2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
【详解】
解：（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，
则他选中《九章算术》的概率为1
4
．
故答案为1
4
；
（2）将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M．
方法一：用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：
第1部
第2部
A B C D
A BA CA DA
B AB CB DB
C AC BC DC
D AD BD CD
12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即DB，BD，
∴P（M）＝
21
= 126
．
方法二：根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件M 的结果有2种，即BD ，DB ，
∴P （M ）＝
21=126． 故答案为：
16. 【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
29．（1）x 1＝1＋
3，x 2＝1－3；（2）x 1＝13，x 2＝－3 【解析】
【分析】
（1）利用配方法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程．
【详解】
（1）解：x 2－2x ＝
23 x 2－2x ＋1＝
23＋1 (x －1)2＝
53
x －1＝
∴x 1＝1＋
3，x 2＝1－3 （2）解：[ (x －2)＋(2x ＋1)] [ (x －2)－(2x ＋1)]＝0
(3x －1) (－x －3)＝0
∴x 1＝
13
，x 2＝－3 【点睛】 本题考查了解一元二次方程的应用，能灵活运用各种方法解一元二次方程是解题的关键．
30．（1）见解析；（2）EFC ∆的面积为
513；（3）53、5、15、5)3 【解析】
【分析】
（1）先说明∠CEF=∠AFB 和90B C ∠=∠=，即可证明ABF ∆∽FCE ∆；
（2）过点F 作FG DC ⊥交DC 与点G ，交AB 于点H ，则90EGF AHF ∠=∠=；再
结合矩形的性质，证得△FGE ∽△AHF ，得到AH=5GF ；然后运用勾股定理求得GF 的长，最后运用三角形的面积公式解答即可；
（3）分点E 在线段CD 上和DC 的延长线上两种情况，然后分别再利用勾股定进行解答即可．
【详解】
（1）解：∵矩形ABCD 中，
∴90B C D ∠=∠=∠=
由折叠可得90D EFA ∠=∠=
∵90EFA C ∠=∠=
∴90CEF CFE CFE AFB ∠+∠=∠+∠=
∴CEF AFB ∠=∠
在ABF ∆和FCE ∆中
∵AFB CEF ∠=∠，90B C ∠=∠=
∴ABF ∆∽FCE ∆
（2）解：过点F 作FG DC ⊥交DC 与点G ，交AB 于点H ，则90EGF AHF ∠=∠= ∵矩形ABCD 中，
∴90D ∠=
由折叠可得：90D EFA ∠=∠=，1DE EF ==，5AD AF ==
∵90EGF EFA ∠=∠=
∴90GEF GFE AFH GFE ∠+∠=∠+∠=
∴GEF AFH ∠=∠
在FGE ∆和AHF ∆中
∵,90GEF AFH EGF FHA ∠=∠∠=∠=
∴FGE ∆∽
AHF ∆ ∴EF GF FA AH
= ∴15GF AH
= ∴5AH GF =
在Rt AHF ∆中，90AHF ∠=
∵222AH FH AF +=
∴222(5)(5)5GF GF +-= ∴513
GF = ∴EFC ∆的面积为
155221313⨯⨯= （3）设DE=x ，以点E 、F 、C 为顶点的三角形是直角三角形，则：
①当点E在线段CD上时，∠DAE<45°，
∴∠AED>45°，由折叠性质得：∠AEF=∠AED>45°，
∴∠DEF=∠AED+∠AEF>90°，
∴∠CEF<90°，
∴只有∠EFC=90°或∠ECF=90°，
a,当∠EFC=90°时，如图所示:
由折叠性质可知，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFE+∠EFC=90°，
∴点A，F，C在同一条线上，即：点F在矩形的对角线AC上，在Rt△ACD中，AD=5，CD=AB=3，根据勾股定理得，AC=34，由折叠可知知，EF=DE=x，AF=AD=5，
∴CF=AC-AF=34-5，
在Rt△ECF中，EF2+CF2=CE2，
∴x2+（34-5）2=（3-x）2，解得x=5(345)
3
-
即：DE=
5(345)
3
-
b,当∠ECF=90°时，如图所示: 点F在BC上，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF=22
AF AB
-=4，∴CF=BC-BF=1，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
（3-x）2+12=x2,解得x=5
3
,即：DE=
5
3
；
②当点E在DC延长线上时，CF在∠AFE内部，而∠AFE=90°，∴∠CFE<90°，
∴只有∠CEF=90°或∠ECF=90°，
a、当∠CEF=90°时，如图所示
由折叠知，AD=AF=5，∠AFE=90°=∠D=∠CEF，
∴四边形AFED是正方形，
∴DE=AF=5；
b、当∠ECF=90°时，如图所示:
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴点F在CB的延长线上，
∴∠ABF=90°，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，22
AF AB
-，
∴CF=BC+BF=9，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，∴（x-3）2+92=x2，解得x=15，即DE=15，
故答案为5(345)
-
、
5
3
、5、15．
【点睛】
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解答本题的关键．
31．（1）相切，证明见解析；（2）62.
【解析】
【分析】
（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出
r=3，由tan∠E=OB CD
EB DE
=，推出
3
48
CD
=，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问
题．
【详解】
解：（1）相切，理由如下，
如图，连接OC，
∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，∴（8﹣r）2=r2+42，
∴r=3，AB=2r=6，
∵tan∠E=OB CD EB DE
=，
∴3
48
CD =，
∴CD=BC=6，
在Rt △ABC 中，=
【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识解决问题是关键．
32．（1）交点坐标为（2，0）和（8，0）；（2）2＜x ＜8
【解析】
【分析】
（1）把点（﹣2，﹣40）和点（6，8）代入二次函数解析式得到关于a 和b 的方程组，解方程组求得a 和b 的值，可确定出二次函数解析式，令y ＝0，解方程即可；
（2）当y ＞0时，即二次函数图象在x 轴上方的部分对应的x 的取值范围，据此即可得结论．
【详解】
（1）由题意，把点（﹣2，﹣40）和点（6，8）代入二次函数解析式，
得404216836616
a b a b -=--⎧⎨=+-⎩， 解得：110a b =-⎧⎨=⎩
， 所以这个二次函数的解析式为：2
1016y x x +=--，
当y ＝0时，210160x x +--=，
解之得：1228x x ＝，＝，
∴这个二次函数图象与x 轴的交点坐标为（2，0）和（8，0）；
（2）当y ＞0时，直接写出自变量x 的取值范围是2＜x ＜8．
【点睛】
本题考查待定系数法求解析式、二次函数图象与x 轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式．。