高考数学压轴专题专题备战高考《函数与导数》易错题汇编含答案

数学《函数与导数》知识点
一、选择题
1．已知函数()210
0ax x f x lnx x ⎧+≤=⎨⎩
，，＞，，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判
断，正确的是（ ）
A ．当a ＝0，m ∈R 时，有且只有1个
B ．当a ＞0，m ≤﹣1时，都有3个
C ．当a ＜0，m ＜﹣1时，都有4个
D ．当a ＜0，﹣1＜m ＜0时，都有4个 【答案】B 【解析】 【分析】
分别画出0a =，0a >，0a <时，()y f x =的图象，结合()t f x =，()0f t m +=的解的情况，数形结合可得所求零点个数． 【详解】
令()t f x =，则()0f t m +=，
当0a =时， 若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =， 即当0a =，m R ∈时，不是有且只有1个零点，故A 错误；
当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确；
当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了函数零点的相关问题，考查了数形结合思想，属于中档题.
2．设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，
则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=L ( ) A ．222e e + B ．25050e e + C ．2100100e e + D ．222e e --
【答案】A 【解析】 【分析】
由()()22f x f x -=+可得对称轴，结合奇偶性可知()f x 周期为8；可将所求式子通过周期化为()()()()1234f f f f +++，结合解析式可求得函数值. 【详解】
由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称
又()f x Q 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数
()()()()()()()()()1281241240
f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=Q 且()()()()2
123422f f f f e e +++=+
()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+
故选：A 【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.
3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2
42f x f x x +-=+，设()()2
2g x f x x =-，
若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B 【解析】
∵()()2
42f x f x x +-=+，()()2
2g x f x x =-
∴2222
()()()2()24242g x g x f x x f x x x x +-=-+--=+-= ∴函数()g x 关于点(0,1)对称
∵()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ∴122M m +=⨯= 故选B.
4．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ）
A ．7
B ．4
C ．0
D ．﹣4
【答案】A 【解析】
()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处
的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，
()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．
5．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2 B ．1
C ．1ln2-
D ．1ln2+
【答案】D 【解析】
由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0
ln 1k x =+，000
002
ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，00
2
ln k x x ∴=+
，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.
6．已知函数()3
2
f x x x x a =--+，若曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，则实数a
的取值范围为（ ） A ．11,27⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
B ．()
1,+?
C ．5,127⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D ．11,127⎛⎫
-
⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
根据曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()3
2
g x x x x =-++与y a =的
图象有三个不同的交点，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】
Q 函数()32f x x x x a =--+与x 轴有三个不同交点，
可转化为函数()3
2
g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点.
又()2
321(31)(1)g x x x x x '=-++=-+-Q ，
∴在1,,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '<；在1,13⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上，()0g x '>.
∴()15327g x g ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
极小值，()()11g x g ==极大值，
5
127a ∴-
<<. 故选：C 【点睛】
本题考查函数的零点及导数与极值的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.
7．已知2
1()cos 4
f x x x =
+，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图像是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
Q ()21f cos 4x x x =
+，()()1
'sin ,'2
f x x x y f x ∴=-=为奇函数，∴图象关于原点对称，排除,B D ，又()'10f <Q ，可排除C ，故选A.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
8．函数()(
)2
ln 43f x x x =+-的单调递减区间是（ ）
A ．3,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，
C ．31,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
D ．342⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
【答案】D 【解析】 【分析】
先求函数定义域，再由复合函数单调性得结论． 【详解】
由2430x x +->得14x -<<，即函数定义域是(1,4)-，
2232543()24
u x x x =+-=--+在3(1,]2-上递增，在3
[,4)2上递减，
而ln y u =是增函数，
∴()f x 的减区间是3[,4)2
． 故选：D ． 【点睛】
本题考查对数型复合函数的单调性，解题时先求出函数的定义域，函数的单调区间应在定义域内考虑．
9．二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想．
10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式
(2)5f x +<的解集为（ ）
A ．(3,7)-
B ．()4,5-
C ．(7,3)-
D ．()2,6-
【答案】C 【解析】 【分析】
首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解. 【详解】
当0x ≥时,2
()45f x x x =-<的解为05x <≤；
当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<， 所以不等式()5f x <的解集为{}
55x x -<<，
所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}
52573x x x x -<+<=-<<. 故选：C 【点睛】
本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题.
11．在平面直角坐标系中，若P ，Q 满足条件：（1）P ,Q 都在函数f （x ）的图象上；（2）P ,Q 两点关于直线y=x 对称，则称点对{P ,Q}是函数f(x)的一对“可交换点对”.（{P ,Q}与{Q,P}看作同一“可交换点”.试问函数2232(0)(){log (0)
x x x f x x x ++≤=>的“可交换点对有（ ）
A ．0对
B ．1对
C ．2对
D ．3对
【答案】C 【解析】
试题分析：设p （x ，y ）是满足条件的“可交换点”,则对应的关于直线y=x 的对称点Q 是（y ，x ），所以232x x ++=2x ,由于函数y=232x x ++和y=2x 的图象由两个交点，因此满足条件的“可交换点对”有两个，故选C. 考点：函数的性质
12．已知函数()ln x
f x x
=
，则使
ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点的a 的取值范围（ ）
A ．(0,1)
B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】 令()ln x
t f x x
==，利用导数研究其图象和值域，再将ln ()()()f x g x a f x =
-有2个零点，转化为ln t
a t
=在[),e +∞上只有一解求解. 【详解】 令()ln x t f x x ==
，当01x <<时，()0ln x
t f x x
==
<， 当1x >时，()
2
ln 1
()ln x t f x x -''==
，
当1x e <<时，0t '<，当x e >时，0t '>， 所以当x e =时，t 取得最小值e ，所以t e ≥， 如图所示：
所以ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln t
a t
=在[),e +∞上只有一解， 令ln t m t =
，21ln 0t m t -'=≤，所以ln t
m t
=在[),e +∞上递减，
所以1
0m e
<≤， 所以10a e <≤，当1
a e
=时，x e =，只有一个零点，不合题意， 所以10a e
<< 故选：B 【点睛】
本题主要考查导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
13．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>
C ．b a c >>
D ．c a b >>
【答案】B 【解析】
试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；
7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，
故正确答案为选项B ．
考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．
14．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭
（ ） A ．
12e
- B ．2e - C ．1-
D ．e
【答案】B 【解析】 【分析】
对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1
x e
=求得结果. 【详解】
由题意得：()()121f x f x
''=+
令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-
()12f x x '∴=-+
12f e e ⎛⎫
'∴=- ⎪⎝⎭
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.
15．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()80f x f x ++=，且()55f =，则
()()20192024f f +=（ ）
A ．-5
B ．5
C ．0
D ．4043
【答案】B 【解析】
【分析】
根据(8)()0f x f x ++=得函数的周期为16，结合()55f =，(0)0f =即可求解. 【详解】
由(8)()0f x f x ++=，得(8)()f x f x +=-，
所以(16)(8)()f x f x f x +=-+=.故函数()y f x =是以16为周期的周期函数. 又在(8)()0f x f x ++=中，令0x =，得(8)(0)0f f +=， 且奇函数()y f x =是定义在R 上的函数，
所以(0)0f =.故(8)0f =.故(2024)(161268)(8)0f f f =⨯+==. 又在(8)()0f x f x ++=中，令3x =-，得(5)(3)0f f +-=.
得(5)(3)(3)5f f f =--==，则(2019)(161263)(3)5f f f =⨯+==. 所以(2019)(2024)5f f +=. 故选：B. 【点睛】
此题考查根据函数的周期性求抽象函数的函数值，关键在于根据函数关系准确得出函数周期，结合定义在R 上的奇函数的特征求值.
16．已知函数()2
814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，
(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）
A ．-4
B ．-3
C ．-2
D ．-1
【答案】C 【解析】 【分析】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为
()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.
【详解】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()
21f x
-＃-，
此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.
当3a >-时，()2
2814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.
17．已知函数()()11
10x x e f x x e
++-=<与()()1ln x x
g x e x ae =+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1,1e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭
B ．1,e ⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,1e ⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
D ．11,e
⎛⎫-+∞ ⎪⎝
⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
先求得()f x 关于y 轴对称的函数()h x ,则()()h x g x =,整理可得()11ln 1e e
x x a ++-=在()0,∞+上有解,设()()11
ln 1e e
x x x ϕ=
++-,可转化问题为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,再利用导函数求得()x ϕ的范围,进而求解.
【详解】
由()f x 关于y 轴对称的函数为()()()1
1
1
1e e 10e
x x x h x f x x -+--+-=-==->, 令()()h x g x =,得()1
e 1e ln 1e x x x x a --=+-()0x >,
则方程()1
e 1e ln 1e x x x x a --=+-在()0,∞+上有解,
即方程
()11ln 1e e
x x a ++-=在()0,∞+上有解, 设()()11
ln 1e e
x x x ϕ=
++-, 即可转化为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,
()()
11e 1
e 1e 1x x x x x x x ϕ--=-+='++Q ,
令()=e 1x
m x x --，则()=e 10x
m x '->在()0,∞+上恒成立，所以()=e 1x
m x x --在
()0,∞+上为增函数，∴()()00m x m >=，
即()0x ϕ'>Q 在()0,∞+上恒成立， ∴()x ϕ在()0,∞+上为增函数,
当0x >时,则()()101x e
ϕϕ>=-, 所以11e
a >-
,
故选:D 【点睛】
本题考查利用导函数判断函数单调性,考查利用导函数处理函数的零点问题,考查转化思想.
18．已知函数()f x 的导函数为()f x '，在()0,∞+上满足()()xf x f x '>，则下列一定成立的是（ ）
A ．()()2019202020202019f f >
B ．()()20192020f f >
C ．()()2019202020202019f f <
D ．()()20192020f f <
【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()
f x
g x x
=
，利用导数判断函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，可得出()2019g 和()2020g 的大小关系，由此可得出结论.
【详解】 令()()()0f x g x x x =
>，则()()()
2
xf x f x g x x
'-'=. 由已知得，当0x >时，()0g x '>.
故函数()y g x =在()0,∞+上是增函数，所以()()20202019g g >，
即
()()
2020201920202019f f >
，所以()()2019202020202019f f >. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.
19．已知函数f （x ）＝2x －1，()2
cos 2,0?
2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨
+<⎩
（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．1,
2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C ．[]1,
1,22⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭U D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
U 【答案】C 【解析】 【分析】
对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围.
【详解】
当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2], 因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a ,
所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）,
由题得2a ＜1，即a ＜
12，即a ＜0. 当a ＞0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2],
当a ≥23时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a -+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩
. 当0＜a ＜23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜12
. 综合得a 的范围为a ＜
12或1≤a ≤2， 故选C .
【点睛】
本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20．对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：。