圆的证明及相关计算

圆的证明及相关计算
1、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．
（1）求证：PB与⊙O相切；
（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；
（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值．
（1）证明：连接OA，∵PA与圆O相切，∴PA⊥OA，即∠OAP=90°，∵OP⊥AB，∴D为AB中点，即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，∵在△OAP和△OBP中，
，∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OAP=∠OBP=90°，∴BP⊥OB，则直线PB为圆O的切线；
（2）证明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，∴△OAD∽△OPA，∴=，即OA2=OD•OP，
∵EF为圆的直径，即EF=2OA，∴EF2=OD•OP，即EF2=4OD•OP；
（3）解：连接BE，则∠FBE=90°．∵tan∠F=，∴=，∴可设BE=x，BF=2x，
则由勾股定理，得EF==x，∵BE•BF=EF•BD，∴BD=x．
又∵AB⊥EF，∴AB=2BD=x，∴Rt△ABC中，BC=x，AC2+AB2=BC2，∴122+（x）2=（x）2，解得：x=4，
∴BC=4×=20，∴cos∠ACB===．
2、如图，在平面直角坐标系中，半径为1的⊙A的圆心与坐标原点O重合，线段BC的端点分别在x轴与y轴上，点
B的坐标为（6，0），且sin∠OCB=．
（1）若点Q是线段BC上一点，且点Q的横坐标为m．
①求点Q的纵坐标；（用含m的代数式表示）②若点P是⊙A上一动点，求PQ的最小值；
（2）若点A从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿折线OBC运动，到点C运动停止，⊙A随着点A的运动而移动．
①点A从O→B的运动的过程中，若⊙A与直线BC相切，求t的值；
②在⊙A整个运动过程中，当⊙A与线段BC有两个公共点时，直接写出t满足的条件．
解：（1）①∵点B的坐标为（6，0），tan∠OCB=，∴BC=10，OC=8，设直线BC的解析式为y=kx+b，
，解得，∵点Q的横坐标为m，∴点Q的纵坐标为﹣m+8；
②如图1，作OQ⊥AB交⊙A于P，则此时PQ最小，×AB×OQ=×BO×CO，
解得，OQ=4.8，∴PQ最小=OQ最小﹣1=3.8；
（2）①如图2，⊙A与直线BC相切于H，则AH⊥BC，又∠BOC=90°，∴△BHA∽△BOC，
∴=，即=，解得，BA=，则OA=6﹣=，∴t=时，⊙A与直线BC相切；
②由（2）①得，t=时，⊙A与直线BC相切，
当t=5时，⊙A经过点B，
当t=7时，⊙A经过点B，
当t=15时，⊙A经过点C，故＜t≤5或7≤t≤15时，⊙A与线段BC有两个公共点．
3、如图，已知直线l的函数表达式为y=x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）设F是x轴上一动点，⊙P经过点B且与x轴相切于点F设⊙P的圆心坐标为P（x，y），求y与x的函数关系式；
（3）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线l相切于点B？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）当x=0时，y=x+3=3；当y=0时，x+3=0，解得x=﹣4，
所以A点坐标为（﹣4，0），B点坐标为（0，3）；
（2）过点P作PD⊥y轴于D，如图1，则PD=|x|，BD=|3﹣y|，∵⊙P经过点B且与x轴相切于点F ∴PB=PF=y，
在Rt△BDP中，∴PB2=PD2+BD2，∴y2=x2+（3﹣y）2，∴y=x2+；
（3）存在．∵⊙P与x轴相切于点F，且与直线l相切于点B，∴AB=AF ∵AB2=OA2+OB2=52，∴AF=5，
∵AF=|x+4|，∴|x+4|=5，∴x=1或x=﹣9，
当x=1时，y=x2+=+=；当x=﹣9时，y=x2+=×（﹣9）2+=15，
∴点P的坐标为（1，）或（﹣9，15）．
4、如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，AH⊥BC，垂足为点H．点D在边AB上，且AD=2，联结C D交AH于点E．
（1）如图1，如果AE=AD，求AH的长；
（2）如图2，⊙A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交AH于点F．设点P为边BC上一点，如果以点P为圆心，BP 为半径的圆与⊙A外切，以点P为圆心，CP为半径的圆与⊙A内切，求边BC的长；
（3）如图3，联结DF．设DF=x，△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
解：（1）如图1中，过点D作DG⊥AH于G，∵AH⊥BC，AB=AC ∴∠DGE=∠CHG=90°，BH=CH，∴DG∥BC，
∴=====，设EG=a，则EH=3a，∴==，∴AG=2a，AE=3a=2，∴AH=6a=4．
（2）如图2中，∵点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，CP为半径的圆与⊙A内切，
∴AP=AD+BP，AP=PC﹣AD，∴AD+BP=PC﹣AD，∴PC﹣BP=2AD=4，∴PH+HC﹣（BH﹣PH）=4，∴PH=2，
∵AH2=AB2﹣BH2=AP2﹣PH2，设BP=x，∴62﹣（x+2）2=（x+2）2﹣22，∴x=2﹣2，∴BC=2BH=2（PB+PH）=4．（3）如图3中，过点D作DG⊥AF于G，设AG=t，∵AD2﹣AG2=DF2﹣FG2，∴22﹣t2=x2﹣（2﹣t）2，
（4）∴t=，∴y=S△ABC=18•S△ADG=18וAG•DG=9••，
∴y=（0＜x＜2）．
5、如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．
（1）求证：AC·CD=PC·BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积S。

（1）由题意，AB是⊙O的直径；∴∠ACB=90。

，∵CD⊥CP，∴∠PCD=90。

∴∠ACP+∠BCD=∠PCB+∠DCB=90。

，∴∠ACP=∠DCB，又∵∠CBP=∠D+∠DCB，∠CBP=∠ABP+∠ABC，∴∠ABC=∠APC，∴∠APC＝∠D，∴△PCA∽△DCB；∴，∴AC·CD=PC·BC
（2）当P运动到AB弧的中点时,连接AP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90。

，又∵P是弧AB的中点，∴弧PA=弧PB，
∴AP=BP，∴∠PAB=∠PBA=45.,又AB=5，∴PA=，过A作AM⊥CP，垂足为M，在Rt△AMC中，∠ACM=45，∴∠CAM=45，∴AM=CM=，在Rt△AMP中，AM2+AP2=PM2，∴PM=，∴PC=PM+=。

由（1）知：AC·CD=PC·BC ，3×CD=PC×4，∴CD＝
（3）由（1）知：AC·CD=PC·BC，所以AC：BC=CP：CD；所以CP：CD=3：4，而△PCD的面积等于·=，CP是圆O的弦，当CP最长时，△PCD的面积最大，而此时CP就是圆O的直径；所以CP=5，∴3：4=5：CD；
∴CD=，△PCD的面积等于·==；
6、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．
（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）；
第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．
第三步，连接BD．
（2）求证：AD2=AE•AB；
（3）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求的值．
（1）解：如图；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，而DE⊥AC，∴∠AED=90°，∵AD平分
∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，
∴Rt△ADE∽Rt△ABD，∴AD：AB=AE：AD，∴AD2=AE•AB；
（3）解：连OD、BC，它们交于点G，如图，
∵5AC=3AB，即AC：AB=3：5，∴不妨设AC=3x，AB=5x，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，又∵∠CAD=∠DAB，∴DC=DB，∴OD垂直平分BC，∴OD∥AE，OG=1 2 AC=3 2 x，
∴四边形ECGD为矩形，∴CE=DG=OD-OG=x-x =x，∴AE=AC+CE=3x+x=4x，∵AE∥OD，
∴△AEF∽△DOF，∴AE：OD=EF：OF，∴EF：OF=4x：x=8：5，∴．
7、如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，
．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）点是的中点，交于点，若，求的值．
解：（1），又，．
又是的直径，，，即，
而是的半径，是的切线．
（2），，又，
．
（3）连接，点是的中点，，，
而，，而，
，，，又是的直径，，
．，．
8、如图，是⊙的弦，长为8，是⊙上一个动点（不与、重合），过点
作⊥于点，⊥于点，则的长为 4 ．
9、如图，已知⊙O的直径AB＝2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点
B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D．
（1）求证：△APC∽△COD．
（2）设AP＝x，OD＝y，试用含x的代数式表示y．
（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形．
（1）证明：∵是⊙O的直径，CD是⊙O的切线∠PAC＝∠OCD＝90°，显然△DOA≌△DOC
∴∠DOA＝∠DOC ∴∠APC＝∠COD
（2）解：由，得，
（3）解：若是一个等边三角形，则
于是，可得，故，当时，是一个等边三角形。

10、已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE=.
(1) 求证：；(2) 求EM的长；（3）求sin∠EOB的值.
⑴连接AC，EB，则∠CAM=∠BEM. 又∠AMC=∠EMB, ∴△AMC∽△EMB．
∴，即．
(2)∵DC为⊙O的直径，∴∠DEC=90°，EC=
(3)∵OA=OB=4，M为OB的中点，∴AM=6，BM=2．
设EM=x，则CM=7－x．代入(1),得.解得x1=3，x2=4．但EM＞MC，∴EM=4.
(3)由(2)知，OE=EM=4．作EF⊥OB于F，则OF=MF=OB=1．
在Rt△EOF中，EF=∴sin∠EOB=.
11、如图，是⊙O的内接三角形，，为⊙O中上一点，延长至点，使．
（1）求证：；（2）若，求证：
证明：（1）在中，．
在中，．，（同弧上的圆周角相等）
．．．在和中，
．．
（2）若．．
又。