2022-2023学年江苏高一下数学同步精品讲义第02讲 基本图形位置关系(解析版)

第13章 立体几何初步
第02讲 基本图形的位置关系
课程标准
重难点
1.了解掌握空间中两直线的位置关系
2.掌握线线，线面，面面的平行垂直证明与性质.
1.平型垂直的证明
2.空间中的夹角
1.平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. (2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形
语言
符号 语言 a ∥b
a ∥α
α∥β
相交关系
图形
语言
符号 语言 a ∩b ＝A
a ∩α＝A
α∩β＝l
独有关系
图形
语言
符号 语言
a ，
b 是异面直线
a ⊂α
3.平行公理(公理4)和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
知识精讲
目标导航
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4.异面直线所成的角
(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角). (2)范围：02π⎛⎤ ⎥⎝⎦
，.
5.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义
直线l 与平面α没有公共点，则称直线l 与平面α平行. (2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
平面外一条直线与此平面内的
一条直线平行，则该直线平行于此平面
a ⊄α，
b ⊂α，a ∥b ⇒a
∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行，则
过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
a ∥α，a ⊂β，α∩β
＝b ⇒a ∥b
6.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面内的两条相交直线
与另一个平面平行，则这两
个平面平行
a ⊂α，
b ⊂α，a ∩b ＝P ，a ∥β，b ∥β⇒α
∥β
性质定理
两个平面平行，则其中一个
平面内的直线平行于另一个
平面
α∥β，a ⊂α⇒a ∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的
交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ
＝b⇒a∥b
7．直线与平面垂直
(1)判定直线和平面垂直的方法
①定义法．
②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面
垂直．
③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个
平面．
(2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．
②垂直于同一个平面的两条直线平行．
③垂直于同一条直线的两平面平行．
文字语言图形表示符号表示
判定定理一条直线与一个平面内的两条
相交直线都垂直，则该直线与
此平面垂直⎭⎪
⎬
⎪⎫
l⊥a
l⊥b
a∩b＝O
a⊂α
b⊂α
⇒l⊥α
性质定理两直线垂直于同一个平面，那
么这两条直线平行⎭⎪
⎬
⎪⎫
a⊥α
b⊥α
⇒a∥b
8．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法
①定义法．
②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
(2)平面与平面垂直的性质
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
[难点正本疑点清源]
1．两个平面垂直的性质定理
两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α.
2．两平面垂直的判定
(1)两个平面所成的二面角是直角； (2)一个平面经过另一平面的垂线．
考法01 判断空间直线的位置关系
(1)(一题多解)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的
交线，则下列命题正确的是( ) A.l 与l 1，l 2都不相交 B.l 与l 1，l 2都相交
C.l 至多与l 1，l 2中的一条相交
D.l 至少与l 1，l 2中的一条相交
(2)将图(1)中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线AD 折起得到空间四面体ABCD ，如图(2)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是( )
A.相交且垂直
B.相交但不垂直
C.异面且垂直
D.异面但不垂直
【答案】(1)D (2)C
【解析】(1)法一 由于l 与直线l 1，l 2分别共面，故直线l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交.若l ∥l 1，l ∥l 2，则l 1∥l 2，这与l 1，l 2是异面直线矛盾.故l 至少与l 1，l 2中的一条相交.
法二 如图(1)，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图(2)，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确.
(2)折起前AD ⊥BC ，折起后有AD ⊥BD ，AD ⊥DC ，所以AD ⊥平面BCD ，所以AD ⊥BC .又AD 与BC 不相交，故AD 与BC 异面且垂直. 【方法技巧】1.异面直线的判定方法：
例 1
能力拓展
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.
(2)定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线.
2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.
【跟踪训练】 (1)(2022·湘潭调研)下图中，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有( )
A.①③
B.②③
C.②④
D.②③④
(2)已知空间三条直线l ，m ，n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则( ) A.m 与n 异面 B.m 与n 相交 C.m 与n 平行
D.m 与n 异面、相交、平行均有可能 【答案】(1)C (2)D
【解析】(1)由题意，可知题图①中，GH ∥MN ，因此直线GH 与MN 共面；题图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；题图③中，连接MG ，则GM ∥HN ，因此直线GH 与MN 共面；题图④中，连接GN ，G ，M ，N 三点共面，但H ∉平面GMN ，所以直线GH 与MN 异面.故选C.
(2)在如图所示的长方体中，m ，n 1与l 都异面，但是m ∥n 1，所以A ，B 错误；m ，n 2与l 都异面，且m ，n 2也异面，所以C 错误.故选 D.
考法02 异面直线所成的角
（1）【【市级联考】黑龙江省齐齐哈尔市2022届高三第一次模拟考试（3月)数学（理)】在长
方体1111-ABCD A B C D 中，1=1=BC CC ，16
AB D π
=∠，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）
A 3
B 3
C ．
36 D 6【答案】D
例 2
【解析】本题考查了异面直线所成的角的定义和求法.
如图连接C 1D ，则C 1D ∥AB 1，
∴∠BC 1D 就是异面直线AB 1与BC 1所成的角． 又11BC CC ==，16
AB D π
∠=，∴1AB =3，∴AB=12BC =，
∴13DC ==BD ， 在△BC 1D 中，
∴cos BC 1D 223(3)6
6223
+-==
⨯⨯． ∴异面直线AB 1与1BC 所成的角的余弦值为：6
6
． 故选D ．
【方法总结】
(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反． (2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．
（2）【【校级联考】四川省华文大教育联盟2020届高三第二次质量检测考试数学（理)试题】如图，在长方体11112ABCD A B C D AB BC -==中，，且异面直线11BD AA 与所成角的余弦值为6
3
，则该长方体外接球体积为
A ．24π
B ．6π
C ．
D ．8π
【答案】B
【解析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法与长方体的外接球体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.
∵异面直线11BD AA 与所成角的余弦值为
3
，且11//AA DD ，
∴1cos DD B ∠=
， 在1Rt DD B 中，设1DD x =.
∵BD ==
∴1BD =
3
=
，∴4x =
则长方体外接球直径为1BD =34
3
R V π===
故选B 【跟踪训练】
【【市级联考】安徽省黄山市2020届高三第二次质量检测数学（理)试题】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且
4AB BC CD ===，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为（ ）
A ．
3
B ．
4
C ．
3
D ．
4
【答案】C
【解析】本小题主要考查异面直线所成的角的余弦值的求法.
设F 是AC 中点，连接,MF BF ，由于,M F 分别是,AD AC 中点，MF 是三角形ACD 的中位线，故
//FM CD ，所以FMB ∠是两条异面直线所成的角.根据鳖臑的几何性质可知AC AD ==故
2BF BM FM ===，在三角形BMF 中，由余弦定理得cos
3
FMB ∠=
=
，故选C.
考法03 与线、面平行相关命题的判定
例 3
(1)(2022·开封模拟)在空间中，a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是()
A.若a⊥c，b⊥c，则a∥b
B.若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b
C.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
D.若α∥β，a⊂α，则a∥β
(2)(2022·聊城模拟)下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是()
【答案】(1)D(2)B
【解析】(1)对于A，若a⊥c，b⊥c，则a与b可能平行、异面、相交，故A是假命题；
对于B，设α∩β＝m，若a，b均与m平行，则a∥b，故B是假命题；
对于C，a，b可能平行、异面、相交，故C是假命题；
对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，则a∥β，故D是真命题.
(2)在B中，如图，连接MN，PN，
∵A，B，C为正方体所在棱的中点，
∴AB∥MN，AC∥PN，
∵MN∥DE，PN∥EF，
∴AB∥DE，AC∥EF，
∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，
AB，AC⊂平面ABC，DE，EF⊂平面DEF，
∴平面ABC∥平面DEF.
【规律方法】1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.
2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.
(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
【跟踪训练】(1)下列命题正确的是()
A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行
B.若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行
C.若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行
(2)(2022·安庆模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1
上且BP＝2
3
BD1，则下面说法正确的是________(填序号).
①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.
【答案】(1)C(2)②③
【解析】(1)A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；对于B选项，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1和平面BCC1B1与B1D1所成的角相等，但这两个平面垂直；D选项中两平面也可能相交.C 正确.
(2)如图，对于①，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，
易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面APC，所以MN∥平面APC是错误的.
对于②，由①知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN⊂平面APC，C1Q⊄平面APC.
所以C1Q∥平面APC是正确的.
对于③，由①知，A，P，M三点共线是正确的.
对于④，由①知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是错误的.
考法04 直线与平面平行的判定
(2020·东北三省四市模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.
(1)证明：EF∥平面PDC；
(2)求点F到平面PDC的距离.
【解析】(1)证明取PC的中点M，连接DM，MF，
∵M，F分别是PC，PB的中点，∴MF∥CB，MF＝1
2 CB，
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，
∴DE∥CB，DE＝1
2 CB，
∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，
∴EF∥DM，∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，
∴EF∥平面PDC.
(2)解∵EF∥平面PDC，∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离. ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP2.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，
∴CB⊥PB，则PC3，∴PD2＋DC2＝PC2，
∴△PDC为直角三角形，
例 4
∴S △PDC ＝
1
2
×1×2＝22.
连接EP ，EC ，易知V E －PDC ＝V C －PDE ，设E 到平面PDC 的距离为h ， ∵CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，AD ∩PA ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ， 则
13×h ×22＝13×1×12×1
2
×1，∴h ＝24，
∴点F 到平面PDC 的距离为2
4
. 【方法技巧】
1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.
考法05 直线与平面平行的性质
(2022·上饶模拟)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，E ，F 分别是棱DD 1，C 1D 1
的中点.
(1)求三棱锥B 1－A 1BE 的体积；
(2)试判断直线B 1F 与平面A 1BE 是否平行，如果平行，请在平面A 1BE 上作出与B 1F 平行的直线，并说明理由. 【解析】(1)如图所示，V B 1－A 1BE ＝V E －A 1B 1B ＝
13S △A 1B 1B · DA ＝13×12×2×2×2＝4
3
.
(2)B 1F ∥平面A 1BE .延长A 1E 交AD 延长线于点H ，连BH 交CD 于点G ，则BG 就是所求直线.证明如下： 因为BA 1∥平面CDD 1C 1，平面A 1BH ∩平面CDD 1C 1＝GE ，所以A 1B ∥GE . 又A 1B ∥CD 1，所以GE ∥CD 1.
又E 为DD 1的中点，则G 为CD 的中点. 故BG ∥B 1F ，BG 就是所求直线.
例 5
【跟踪训练】(2020·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E 与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD .
求证：(1)EF∥平面ABC；
【解析】(1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，
则AB∥EF.
∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
∴EF∥平面ABC.
考法06 面面平行的判定与性质
例 6
如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
【解析】(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，
∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
【方法技巧】
1.判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
2.面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.
【变式训练】
1.在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
【解析】如图所示，连接A1C交AC1于点M，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴M是A1C的中点，连接MD，
∵D为BC的中点，
∴A1B∥DM.
∵A1B⊂平面A1BD1，
DM⊄平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1，
又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，
∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，
∴DC1∥平面A1BD1，
又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，
因此平面A1BD1∥平面AC1D.
2. 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1
上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求AD
DC
的值.
【解析】连接A 1B 交AB 1于O ，连接OD 1.
由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，所以BC 1∥D 1O ，则
1111A D D C ＝1A O
OB
＝1. 又由题设
1111A D D C ＝DC
AD
， ∴
DC AD ＝1，即AD DC
＝1. 考法07 线面垂直的判定与性质
(2020·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为
AC 的中点.
(1)证明：PO ⊥平面ABC ；
(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离. 【解析】(1)证明 因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝3. 连接OB .因为AB ＝BC ＝
22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝1
2
AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .
由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC . (2)解 作CH ⊥OM ，垂足为H .
例 7
又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM. 故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC＝1
2
AC＝2，CM＝
2
3
BC＝
42
3
，∠ACB＝45°.
所以OM＝25
3
，CH＝
sin45
5
OC MC ACB
OM
⋅⋅∠
=.
所以点C到平面POM的距离为45 5
.
【方法技巧】1.证明直线和平面垂直的常用方法有：
(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α).
2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
【跟踪训练】(2020·南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB ＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°.
(1)求证：BC1⊥平面ABC；
(2)E是棱CC1上的一点，若三棱锥E－ABC 3
，求线段CE的长.
【解析】(1)证明∵AB⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，
∴AB⊥BC1，
在△CBC1中，BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝60°，
由余弦定理得BC21＝BC2＋CC21－2BC·CC1·cos∠BCC1＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，∴BC13，∴BC2＋BC21＝CC21，∴BC⊥BC1，
又AB，BC⊂平面ABC，BC∩AB＝B，∴BC1⊥平面ABC.
(2)解∵AB⊥平面BB1C1C，∴V E－ABC＝V A－EBC＝1
3
S△BCE·AB＝
1
3
S△BCE·1＝
3
12
，
∴S△BCE＝
3
4
＝
1
2
CE·BC·sin∠BCE＝
1
2
CE·
3
2
，∴CE＝1.
考法08 面面垂直的判定与性质
如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，
E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)P A⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面P AD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
【解析】(1)∵平面P AD⊥底面ABCD，
且P A垂直于这两个平面的交线AD，P A⊂平面P AD，∴P A⊥底面ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
∴AB∥DE，且AB＝DE.
∴四边形ABED为平行四边形.
∴BE∥AD.
又∵BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，
∴BE∥平面P AD.
(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.
∴BE⊥CD，AD⊥CD，
由(1)知P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴P A⊥CD，且P A∩AD＝A，P A，AD⊂平面P AD，∴CD⊥平面P AD，又PD⊂平面P AD，
∴CD⊥PD.
∵E和F分别是CD和PC的中点，
∴PD∥EF.
∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，
例8
∴CD ⊥平面BEF ，又CD ⊂平面PCD ， ∴平面BEF ⊥平面PCD .
【方法技巧】1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.
2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 【跟踪训练】
1.(2022·泸州模拟)如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AD ＝SD ，BC ＝CD ＝
1
2
AB ，侧面SAD ⊥底面ABCD .
(1)求证：平面SBD ⊥平面SAD ；
(2)若∠SDA ＝120°，且三棱锥S －BCD 6
△SAB 的面积. 【解析】(1)证明 设BC ＝a ，则CD ＝a ，AB ＝2a ，由题意知△BCD 是等腰直角三角形，且∠BCD ＝90°， 则BD 2a ，∠CBD ＝45°， 所以∠ABD ＝∠ABC －∠CBD ＝45°， 在△ABD 中， AD 222cos45AB BD AB DB +-⋅⋅︒2a ，
因为AD 2＋BD 2＝4a 2＝AB 2，所以BD ⊥AD ，
由于平面SAD ⊥底面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面SAD ，
又BD ⊂平面SBD ，所以平面SBD ⊥平面SAD .
(2)解 由(1)可知AD ＝SD 2a ，在△SAD 中，∠SDA ＝120°，SA ＝2SD sin 60°6a . 作SH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ， 则SH ＝SD sin 60°＝
6
2
a ， 由(1)知BD ⊥平面SAD ，
因为SH ⊂平面SAD ，所以BD ⊥SH . 又AD ∩BD ＝D ，所以SH ⊥平面ABCD ， 所以SH 为三棱锥S －BCD 的高，
所以V S －BCD ＝13×62a ×12
×a 2＝612，
解得a ＝1.
由BD ⊥平面SAD ，SD ⊂平面SAD ，可得BD ⊥SD ， 则SB 22SD BD +22+ 2. 又AB ＝2，SA 6， 在等腰三角形SBA 中， 边SA 6
42
-
102，
则△SAB 的面积为1
2
61015.
题组A 基础过关练
一、单选题
1．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A 5
B 10
C 15
D 25
【答案】B
【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1AD ，AE ，可得11//AD BC ， 所以异面直线1D E 与1BC 所成角即为直线1D E 与1AD 所成角， 即1AD E ∠为异面直线1D E 与1BC 所成角， 不妨设12AA =，则122AD =15D E AE = 取1AD 的中点F ，因为1D E AE =，所以1EF AD ⊥， 在直角1D EF 中，可得111210
cos 5
D F AD
E D E ∠=
=分层提分
故选： B.
2．在长方体1111ABCD A B C D -中，160D AD ∠=︒，130C DC ∠=︒，则异面直线1AD 与1DC 所成角的正弦值是（ ）
A 2
B 3
C 13
D 14【答案】C
【解析】如图所示，连接1,BC BD ，
在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11//AD BC ，
所以异面直线1AD 与1DC 所成角即为直线1BC 与1DC 所成角，设1BC D θ∠=， 由在长方体1111ABCD A B C D -中，160D AD ∠=︒，130C DC ∠=︒， 设13CC 1123,3,1,2C D CD AD AD ====，
在直角BCD △中，可得222210BD CD BC CD AD =++
在1BC D 中，可得22211113
cos 22232
C D BC BD C D BC θ+-=⋅⋅⨯⨯
所以22
13sin 1cos 16
θθ=-=
，
因为(0,]2πθ∈，所以13sin 4
θ=. 故选：C.
3．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论不成立的是（ ）
A ．11//A
B
C D
B ．111BB A D ⊥
C ．1AC BC ⊥
D ．1BB ⊥平面ABCD
【答案】C 【解析】对于A 选项，由正方体的性质得11////AB CD C D ，故正确；
对于B 选项，由正方体的性质得11A D ⊥平面11ABB A ，故111BB A D ⊥，正确；
对于C 选项，如图，连接111,AC A B ，
由正方体的性质易知11//A C AC ，由于三角形11A C B 为等边三角形，故11A C 与1BC 所成角为60，所以异面直线1,AC BC 所成角为60，故错误；对于D 选项，由正方体的性质易知1BB ⊥平面ABCD ，正确.
故选：C
4．如图，将长和宽之比为2：1的长方形纸片11ADD A （图甲）折成一个正三棱柱111ABC A B C -（图乙）的侧面，则异面直线AP 与1A Q 所成角的余弦值为（ ）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
【答案】B 【解析】设6AD =，则13AA =，2AB BC CA ===．如图，通过补体将直线AP 平移至1A R ，则异面直线AP 与1A Q 所成角等于1A R 与1A Q 所成角．由图得221
1125AQ A R =+222222QR +=2221(5)(5)(22)1cos 5255
QA R +-∠==⨯⨯， 故选：B ．
二、多选题
5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ）
A ．直线AM 与1CC 是相交直线
B ．直线BN 与1MB 是异面直线
C ．AM 与BN 平行
D ．直线1A M 与BN 共面
【答案】BD 【解析】根据异面直线的定义可以判断直线AM 与1CC 、直线BN 与1MB 、直线AM 与BN 都是异面直线，因此选项AC 不正确，选项B 正确，
因为M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，
所以1//MN D C ，由正方体的性质可知：
11111111//,//,,//,A D AD AD BC A D AD AD BC A D BC A D BC ==⇒=， 所以四边形11A D CB 是平行四边形，因此11//D C A B ，所以1//MN A B ， 因此1M N A B 、、、四点共面，所以直线1A M 与BN 共面，因此选项D 正确， 故选：BD
6．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，11A AB A AD ∠=∠，则有（ ）
A ．11//A M
B Q
B ．1AA PQ ⊥
C ．1//A M 面11
D PQB
D ．PQ ⊥面11A ACC
【答案】BCD 【解析】如图，连接11A C 交11B D 于点1O ，连接AC 交BD 与点O ，则点1O 、O 分别是11B D 、BD 的中点，连接MQ ，1O Q ，
A ：由题意知，11111////2
QM AC A C AC QM AC A C AC ==，，，， 所以1111//QM A O QM A O =，，即四边形11A MQO 为平行四边形，所以11//A M O Q ， 又11O Q B Q Q =，所以1A M 与1B Q 异面，故A 错误； B 、D ：因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，AD AB =，又11A AB A AD ∠=∠， 所以11A AB A AD ≅，有11A B A D =，连接1A O ，则1BD AO ⊥，又1AC AO O =， 所以BD ⊥平面11A ACC ，连接PQ ，则//BD PQ ，所以PQ ⊥平面11A ACC ，故D 正确； 又1AA ⊂平面11A ACC ，所以PQ ⊥1AA ，故B 正确； C ：因为1//A M 1D P ，1D P ⊂平面11D PQB ，所以1//A M 平面11D PQB ，故C 正确； 故选：BCD
三、填空题
7．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1DC 所成的角是__________．
【答案】3
π##60︒ 【解析】在正方体中，连接11A C ，1A D ，如图，
则11//AC AC
11A DC 是正三角形
113AC D ∴=π
∠,
即AC 与1DC 所成的角是3π
.
故答案为：3π
8．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB EF ⊥ ②AB 与CM 成60︒
③EF 与MN 是异面直线 ④//MN CD ，其中正确的是_________．
【答案】①③
【解析】还原正方体如下图示：
由正方体性质知：AB //CM 且CM EF ⊥有AB EF ⊥,故①正确，②错误. ③,由图知：EF 与MN 是异面直线，故正确.
④,由正方体的性质知：MN CD ⊥,故错误.
故答案为：①③.
四、解答题
9．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.
(1)求异面直线11B C 与1A C 所成角正切值的大小；
(2)求点1B 与平面1A BC 的距离.
【解析】（1）因为在直三棱柱111ABC A B C -中，BC ∥11B C ， 所以1A CB ∠为异面直线11B C 与1A C 所成角， 因为1AB BC ==，12BB =，所以221111145A B A B BB =+=+=， 因为90ABC ∠=︒，所以AB BC ⊥，
因为1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以1BB BC ⊥，
因为1BB AB B ⋂=，所以BC ⊥平面11ABB A ， 因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以1BC A B ⊥， 所以115tan 5A B ACB BC ∠===15ACB ∠= 所以异面直线11B C 与1A C 所成角的大小为1
5ACB ∠=
(2)
（2）连接1B C ，因为90ABC ∠=︒，所以AB BC ⊥， 因为1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以1BB BC ⊥，
因为1BB BC B =，所以AB ⊥平面11CBB C ， 因为AB ∥11A B ，所以11A B ⊥平面11CBB C ， 设点1B 与平面1A BC 的距离为d ，
因为1111B A BC A B BC V V --=， 所以11111133A BC B BC S d S A B ⋅=⋅,
所以1111151213232d ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得255d =， 所以点1B 与平面1A BC 的距离为255
10．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点．
(1)求证：直线1BD ∥平面P AC ；
(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.
【解析】 (1)设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点， 连结PO ，又∵P 是1DD 的中点，∴1PO BD ∥， 又∵PO ⊂平面PAC ，1BD ⊂平面PAC ， ∴直线1BD ∥平面PAC ；
(2)由(1)知，1PO BD ∥，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角， ∵2PA PC ==，1222
AO AC ==且PO AO ⊥， ∴2
12sin 2
2AO APO AP ∠===．
又(0APO ∠∈︒，90]︒，∴30APO ∠=︒
故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30．
11．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，E F 、分别是AC PB 、的中点.
(1)求证：//EF 平面PCD ；
(2)求证：平面PBD ⊥平面PAC .
【解析】 (1)如图，连结BD ，则E 是BD 的中点，又F 是PB 的中点，
∴//EF PD ，
又 ∵EF ⊄平面PCD ，PD ⊂面PCD ， ∴//EF 平面PCD ；
(2)∵底面ABCD 是正方形， ∴ BD AC ⊥， ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴ PA BD ⊥，又PA AC A =， ∴BD ⊥面PAC ，又BD ⊂平面PBD ， 故平面PBD ⊥平面PAC . 12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，对角线1A C 与平面1BDC 交于点O ，AC 与BD 交于点M ，E 为AB 的中点，F 为1AA 的中点．求证：
(1)1C ，O ，M 三点共线；
(2)E ，C ，1D ，F 四点共面．
【解析】 (1)由题意得1,,C O M ∈平面1BDC ，
又1,M AC O AC ∈∈，1,AC AC ⊂平面11ACC A ，
所以1,,C O M ∈平面11ACC A ，
由基本事实3可得，点1,,C O M 在平面1BDC 和平面11ACC A 的交线上， 所以1,,C O M 三点共线 (2)连接EF 、1A B 、1CD ，
因为E 、F 分别为AB 、1AA 的中点， 所以1EF A B ∕∕，
又正方体1111ABCD A B C D -， 所以11D C A B ∕∕， 所以1EF D C ∕∕，
因为两平行直线可确定一个平面， 所以E ，C ，1D ，F 四点共面.
题组B 能力提升练
一、单选题
1．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 是线段1CD 上的动点,则下列判断： ①三棱锥1B AB E -的体积是定值与E 点位置无关； ②若异面直线1B E 与AD 所成的角为θ,则cos θ6 ③无论点E 在线段1CD 的什么位置,都有11AC B E ⊥； ④当点E 与线段1CD 的中点重合时,1B E 与1AC 异面． 其中正确的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】因为1//CD 平面11A ABB ,所以点E 到平面11A ABB 的距离为BC ,
设正方体的棱长为a ,则1113
21
113326
AB B AB E AB B B E V V a S
BC a a --=⋅=
⨯⨯⋅==,即无论点E 在线段1CD 的什么位置,三棱锥1B AB E -的体积为定值,故①正确； 建立如图所示的直角坐标系,
设正方体棱长为1,则()()()()110,0,0,1,1,1,1,0,1,0,1,0A C B D , 设()1,1,E m m -,01m ≤≤ ,则1,1,1()B E m m =--, 又()0,1,0AD =,设异面直线1B E 与AD 所成角为θ,
则
1222
2
1cos 1113222()B E AD B E AD
m m m θ⋅=
=
=
⋅++-⎛
⎫ ⎪⎭-+
⎝
, 当12m =
时,cos θ6
,此时点E 是线段1CD 的中点,故②正确, 又()11,1,1AC =，所以11110B E AC m m ⋅=-++-=,所以11AC B E ⊥,故③正确；
当点E 与线段1CD 的中点重合时,11CD C D E =,显然1B E 与1AC 均在平面11ADC B ,故④错误,所以①②③正确.故选：C.
2．如图，在四面体ABCD 中，若AB=CB ，AD=CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．平面ABC ⊥平面ABD
B ．平面ABD ⊥平面BD
C C ．平面ABC ⊥平面BDE
D ．平面ABC ⊥平面ADC
【答案】C
【解析】因AB=CB ，AD=CD ，E 是AC 的中点，则,BE AC DE AC ⊥⊥，而BE DE E ⋂=，
,BE DE ⊂平面BDE ， 则有AC ⊥平面BDE ，又AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE ，C 正确； 在平面ABC 内取点P ，作,PM AB PN BE ⊥⊥，垂足分别为M ，N ，如图，
因平面ABC ⊥平面BDE ，平面ABC 平面BDE BE =，则PN 平面BDE ，则有PN BD ⊥，
若平面ABC ⊥平面ABD ，同理可得PM BD ⊥，而PM PN P ⋂=，,PM PN ⊂平面ABC ， 于是得BD ⊥平面ABC ，显然BD 与平面ABC 不一定垂直，A 不正确；
过A 作ABD △边BD 上的高AF ，连CF ，由ABD CBD ≅得，CF 是CBD 边BD 上的高，则AFC ∠是二面角A BD C --的平面角，而AFC ∠不一定是直角，即平面ABD 与平面BDC 不一定垂直，B 不正确； 因AC ⊥平面BDE ，则DEB ∠是二面角D AC B --的平面角，DEB ∠不一定是直角， 平面ABC 与平面ADC 不一定垂直，D 不正确.故选：C
3．如图，某圆锥的轴截面ABC 是等边三角形，点D 是线段AB 的中点，点E 在底面圆的圆周上，且BE 的长度等于CE 的长度，则异面直线DE 与BC 所成角的余弦值是（ ）
A ．
24
B ．
64
C ．
104
D ．
144
【答案】A
【解析】过点A 作AO BC ⊥于点O ，过点A 作DG BC ⊥于点G ，取AO 的中点F ，连接GE 、OE 、EF ， 则//DF BC ，且1
2
DF BC =
，所以DEF ∠（或其补角）就是异面直线DE 与BC 所成的角，设圆锥的底面半径为2，则1DF =，2OE =，23AO =，所以3DG OF ==， 在Rt GOE △中，1GO =，2OE =，所以225GE GO OE =+=， 在Rt GDE 中，5GE =，3DG =，所以2222DE GD GE =+=， 在Rt FOE △中，3FO =，2OE =，227FE FO OE =+=， 所以在DFE △中，满足222+FE DF DE =，所以90DFE ∠=， 所以12
cos 4
22DF DEF DE ∠===， 故选：A.
4．每个面均为正三角形的八面体称为正八面体，如图.若点G 、H 、M 、N 分别是正八面体ABCDEF 的棱
DE BC AD BF 、、、的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．GH ⊥平面FBC
B ．GH 与MN 是异面直线
C ．//GH 平面EAB
D ．MN 与GH 是相交直线
【答案】C
【解析】连接AC EF 、，BD ，则它们相交且相互平分，故四边形AECF 为平行四边形，则AE ∥CF .又G 、H 、M 、N 分别是正八面体ABCDEF 的棱DE BC AD BF 、、、的中点，所以,GM AE NH CF ∥∥，且11
,22
GM EA NH CF =
=，∴GM NH ∥，且,GM NH =所以四边形MNHG 是平行四边形，排除B 、D 选项，易证平面GMH ∥平面EAB ，又GH ⊂平面GMH ，∴GH ∥平面EAB ，C 正确；因为EH ⊥BC ，MH ⊥BC ，EH MH H ⋂=，
所以BC ⊥平面EMH ，而GH ⊄平面EMH ，而GH EH H =，所以GH 与BC 不垂直，故GH 与平面FBC 不垂直，A 错误；
故选：C 二、多选题
5．在正方体ABCD －1111D C B A 中，E 为1BB 的中点，则下列结论中正确的是（ ） A ．BD ∥平面1AD E
B ．直线1BB 与平面1AD E 所成角的正弦值为2
3
C ．直线1BC 与1
D
E 所成的角为
3
π
D ．平面1AD
E 截正方体所得截面为梯形 【答案】BD
【解析】若F 为11B C 中点，连接1,EF D F ，又E 为1BB 的中点，则1//EF BC ，
所以直线1BC 与1D E 所成的角为1D EF ∠，若正方体棱长为2，
则2EF 15D F 13D E =，则12
cos 232
D EF ∠=⨯⨯10D EF π<∠<， 所以14
D EF π
∠=
，C 错误；
由1111111
211323
B D EF D B EF V V --==⨯⨯⨯⨯=，若1B 到面1D EF 距离为d ，而13
2
D EF
S
=
， 所以131323
d ⨯=，故2
3d =，又11EB =，
则直线1BB 与平面1AD E 所成角的正弦值为
12
3
d EB =，B 正确； 又11//AD BC ，则1//EF AD ，故1,,,A E F D 共面，即面1AD E 截正方体的截面为梯形，D 正确；由1//BE DD 且
11
2
BE DD =
，则将1,D E DB 延长必交于一点，而1D E ⊂面1AD E ，即直线DB 与面1AD E 必交于一点，A 错误； 故选：BD
6．下列命题中错误的是（ ）
A ．若a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 的任何平面
B ．a ，b 是两条异面直线，过空间一点A 且与a 和b 都平行的平面有且仅有一个
C ．平行于同一个平面的两条直线平行
D ．若直线a ，b 和平面α满足//a b ，//a α，b 不在平面α内，则//b α 【答案】ABC。