【鲁教版】初二数学下期中试题(含答案)

一、选择题
1．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 、F 是对角线AC 上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（ ）
A ．AE CF =
B ．DE BF =
C ．ADE CBF ∠=∠
D ．AB
E CD
F ∠=∠
2．下列各式中，正确的是（ ） A ．93±= B ．93=± C ．()233-=- D ．()233-=
3．下列计算正确的是（ ）
A ．532-=
B ．25177+=
C ．422=
D ．1422233x x x +
= 4．下列计算正确的是（ ）
A ．42=±
B ．22423x x x +=
C ．()326328a b a b -=-
D ．()235
x x x -=÷ 5．下列四个式子中，与1(2021)
2021a a --的值相等的是（ ） A ．2021a - B ．2021a --
C ．2021a -
D ．2021a -- 6．如果平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，那么在下列条件中，能判断平行四边形ABCD 为菱形的是（ ）
A ．OA
B OBA ∠=∠；
B ．OAB OB
C ∠=∠； C ．OAB OC
D ∠=∠； D ．OAB OAD ∠=∠．
7．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正方形OMNQ 与ABCD 的边长均为a ，OM 与CD 相交于点E ，OQ 与BC 相交于点F ，且满足DE CF =，则两个正方形重合部分的面积为（ ）
A ．212a
B ．214a
C ．21
8a D ．2116
a 8．如图在ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，AOD △与AOB 的周长相差3，8AB =，那么AD 为（ ）
A ．5
B ．8
C ．11或5
D ．11或14 9．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，△ABC 的面积为120，则△BCD 的面积为（ ）
A ．20
B ．24
C ．30
D ．40
10．如图，平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点B 、C 的坐标分别为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
、1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
．若ABC ∆是等边三角形，则点A 的坐标为（ ）
A ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．13,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭ D ．()
1,3 11．有一圆柱高为12cm ，底面半径为
5π
cm ，在圆柱下底面点A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A 相对的点B 处的食物，则沿侧面爬行的最短路程是（ ）
A ．12cm
B ．13cm
C ．10cm
D ．16cm
12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（ ）
A ．152
B ．152
C ．3
D ．125
二、填空题
13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为DB 、BC 的中点，若AB ＝8，则EF ＝_____．
14．如果最简二次根式123b a ++和3a b +是同类二次根式，则ab =____________． 15．已知502a 22b 2-=-=，则ab =________．
16．化简22(2)(3)x x ---=__________．
17．如图在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，若30,2ACB AB ︒∠==，则BD 的长为_______．
18．长方形零件图ABCD 中，2BC AB =，两孔中心M ，N 到边AD 上点P 的距离相等，且MP NP ⊥，相关尺寸如图所示，则两孔中心M ，N 之间的距离为__________mm ．
19．已知△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，动点P 在线段BC 上从B 点向C 点运动，连接AP ，
则AP 的最小值为等于________．
20．如图，等腰直角ABC 中，90,4ACB AC BC ∠=︒==，D 为BC 的中点，25AD =，若P 为AB 上一个动点，则PC PD +的最小值为_________．
三、解答题
21．如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，//AD BC ，2AD BC =，90ABD ∠=︒，E 为AD 的中点，连接BE ．
（1）求证：四边形BCDE 为菱形；
（2）连接AC ，若AC 平分BAD ∠，1BC =，求AC 的长．
22．“半角型”问题探究：如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．
（1）小明同学的方法是将△ABE 绕点A 逆时针旋转120°到△ADG 的位置，然后再证明△AFE ≌△AFG ，从而得出结论：
（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180°，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12
∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）如图3，边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 上，AE ＝CF ＝1，O 为EF 的中点，动点G 、H 分别在边AD 、BC 上，EF 与GH 的交点P 在O 、F 之间（与O 、F 不重合），且∠GPE ＝45°，设AG ＝m ，求m 的取值范围．
23．先化简，再求值：（1＋12x +）÷293
x x --，其中x ＝3﹣2． 24．计算：()246-÷1
32+
25．如图，在ABC 中，2,1,20AB AC BAC AD BC ︒==∠=⊥于点D ，延长AD 至点E ，使DE AD =，连接BE 和CE ．
（1）补全图形；
（2）若点F 是AC 的中点，请在BC 上找一点P 使AP FP +的值最小，并求出最小值． 26．有一块四边形草地ABCD （如图），测得10AB AD ==m ，26CD =m ，24BC =m ，60A ∠=︒．
（1）求ABC ∠的度数；
（2）求四边形草地ABCD 的面积．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理分别判断即可．
【详解】
=，
解：A、∵AE CF
∴AO=CO，
由于四边形ABCD是平行四边形，则BO=DO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
B、不能证明四边形DEBF是平行四边形；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，又∠ADE=∠CBF，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形；
D、同C可证：△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形；
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的性质化简判断．
【详解】
A、93
=±，故该项不符合题意；
B93
=，故该项不符合题意；
C 3=，故该项不符合题意；
D 3=，故该项符合题意； 故选：D ．
【点睛】
此题考查二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
根据二次根式加法以及二次根式的性质逐项排查即可．
【详解】
解：A A 选项错误；
B =+B 选项错误；
C ＝22＝1，故C 选项错误；
D =D 选项正确． 故答案为D ．
【点睛】 本题主要考查了二次根式加法以及二次根式的性质，掌握二次根式的加法运算法则是解答本题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
A 选项利用二次根式的化简判断即可；
B 利用合并同类项的运算判断即可；
C 利用积的乘方判断即可；
D 利用同底数幂的除法判断即可；
【详解】
A 2= ，不符合二次根式的化简，故该选项错误；
B 、22223x x x += ，不符合合并同类项的运算，故该选项错误；
C 、()326328a b
a b -=-，故该选项正确； D 、()523x x x -÷=- ，不符合同底数幂的除法，故该选项错误；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，合并同类项，整数指数幂，正确掌握公式是解题的关键； 5．D
解析：D
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得出20210a ->，可得20210a -<，由此可将2021a -变形得出答案．
【详解】
由题意得：20210a ->，可得20210a -<， ∴2111(2021)
(2021)(2021)2021202120212021a a a a a a a
-=--=--=-----． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，关键是由等式可确定出20210a ->． 6．D
解析：D
【分析】
根据菱形的判定方法判断即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠OAB=∠ACD ，
∵∠OAB=∠OAD ，
∴∠DAC=∠DCA ，
∴AD=CD ，
∴四边形ABCD 是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）
故选：D ．
【点睛】
本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
7．B
解析：B
【分析】
由正方形OMNQ 与ABCD 得∠DOC=∠MOQ=90°可推出∠DOE=∠COF 由AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线求得∠ODE=∠OCF=45°，可证△DOE ≌△COF （AAS ），利用面积和差S 四边形FOEC = S △EOC +S △DOE =S △DOC =214
a 即可． 【详解】
∵正方形OMNQ 与ABCD ，
∴∠DOC=∠MOQ=90°，
∴∠DOE+∠EOC =90º，∠EOC+∠COF=90º，
∴∠DOE=∠COF ，
又AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线，
∴∠ODE=∠OCF=45°，
∵DE CF ，
∴△DOE ≌△COF （AAS ），
∴S 四边形FOEC =S △EOC +S △COF = S △EOC +S △DOE =S △DOC ，
∵S △DOC =
2ABCD 11=44
S a 正方形， ∴S 四边形FOEC =214
a ． 故选择：B ．
【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据平行四边形的性质可得BO=DO ，再根据AOD △与AOB 的周长相差3，可分情况得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BO=DO ，AO=AO ，
∵AOD △与AOB 的周长相差3，
∴AB-AD=3，或AD-AB=3，
∵AB=8，
∴AD 的长为5或11，
故选C ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分．
9．C
解析：C
【分析】
根据已知条件可知∠A ＝∠BCD ＝30°，在Rt △BCD 中设BD ＝x ，则BC ＝2x ，由勾股定理求
得CD ，在Rt △ACD 中，AC ＝2BC ＝，根据△ABC 的面积为120，即
11202AC BC ⨯=，求得2x 的值，用三角形的面积公式即可得出△BCD 的面积． 【详解】 解：∵△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，
∴在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，
在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，
∴ 设BD ＝x ，则BC ＝2BD ＝2x ，
CD ＝()222223BC BD x x x -=-=，
∴ 在Rt △ACD 中，∠A ＝30°，
∴AC ＝2BC ＝23x ，
∵△ABC 的面积为120，
∴1122312022
ABC S AC BC x x =⨯⨯=⨯⨯=， 解得：2=203x ，
∵211333=203=302222
BCD S BD CD x x x =⨯⨯=⨯⨯=⨯， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理．熟练掌握各定理所示解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
先过点A 作AD ⊥OB ，根据△ABC 是等边三角形，求出AC=BC ，CD=BD ，∠ACB=60°，再根据点B 、C 的坐标，求出CB 的长，再根据勾股定理求出AD 的值，从而得出点A 的坐标．
【详解】
过点A 作AD ⊥OB ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=BC ，CD=BD ，∠ACB=60°，
∵点B的坐标为
3
,0
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，点C的坐标为
1
,0
2
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
∴BC=2，OC=1
2∴CA=2，
∴CD=1，
∴
∵OD=CD-CO
∴OD=1-1
2= 1 2
∴点A的坐标是
1
2
⎛
⎝
．
故选A．
【点睛】
此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是勾股定理，关键是作出辅助线，求出点A 的坐标．
11．B
解析：B
【分析】
要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．
【详解】
解：展开圆柱的半个侧面是矩形，
矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即
5
2π
π
=5cm，矩形的宽是圆柱的高12cm．
根据两点之间线段最短，
知最短路程是矩形的对角线AB的长，即13
==cm
故选：B．
【点睛】
此题考查最短路径问题，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短．确定要求的长，再运用勾股定理进行计算．12．D
解析：D
【分析】
利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度．
【详解】
在AB上取一点G，使AG＝AF
∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4
∴AB=5，
∵∠CAD ＝∠BAD ，AE ＝AE ，
∴△AEF ≌△AEG （SAS ）
∴FE ＝GE ，
∴要求CE+EF 的最小值即为求CE+EG 的最小值，
故当C 、E 、G 三点共线时，符合要求，
此时，作CH ⊥AB 于H 点，则CH 的长即为CE+EG 的最小值，
此时，AC BC AB CH =，
∴CH=·AC AB BC
=125， 即：CE+EF 的最小值为
125，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．
二、填空题
13．2【分析】根据直角三角形的性质求出再根据三角形中位线定理计算即可
【详解】解：在中是斜边上的中线分别为的中点是的中位线故答案为：2【点睛】本题考查的是直角三角形的性质三角形中位线定理掌握三角形的中位线 解析：2
【分析】
根据直角三角形的性质求出CD ，再根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，8AB =，
118422
CD AB ∴==⨯=， E 、F 分别为DB 、BC 的中点，
EF ∴是BCD ∆的中位线，
114222
EF CD ∴==⨯=， 故答案为：2．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14．0【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义得求出ab 的值代入计算即可【详解】由题意得解得∴ab=0故答案为：0【点睛】此题考查最简二次根式及同类二次根式的定义解二元一次方程组熟记定义是解题的关键 解析：0
【分析】
根据最简二次根式及同类二次根式的定义得12233b a a b +=⎧⎨+=+⎩
，求出a 、b 的值代入计算即可．
【详解】
由题意得12233b a a b +=⎧⎨+=+⎩
， 解得10b a =⎧⎨=⎩
， ∴ab=0，
故答案为：0．
【点睛】
此题考查最简二次根式及同类二次根式的定义，解二元一次方程组，熟记定义是解题的关键．
15．20【分析】运用二次根式化简的法则先化简再得出的值即可【详解】解：∵∴∴故答案为：20【点睛】本题考查了二次根式的化简求值解题的关键是掌握二次根式运算法则
解析：20
【分析】
运用二次根式化简的法则先化简，再得出a b ，的值即可．
【详解】
解：∵==，
∴a 5=，b 4=，
∴ab 20=，
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式运算法则．
16．1【分析】由题可得即可得出再根据二次根式的性质化简即可【详解】由题可得∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简掌握二次根式的性质是解决问题的关键
解析：1
【分析】
由题可得，30x -≥，即可得出20x -≤，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】
由题可得，30x -≥，
∴3x ≥，
∴20x -≤，
∴
2
()()23x x =----
23x x =-+-+
1=．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．
17．4【分析】根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4利用矩形的性质得到BD=AC=4即可【详解】在矩形中∵四边形是矩形故答案为：4【点睛】此题考查矩形的性质直角三角形30度角的性质熟记各性质是
解析：4
【分析】
根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4，利用矩形的性质得到BD=AC=4即可．
【详解】
在矩形ABCD 中，90ABC ︒∠=，
30,2ACB AB ︒∠==，
2224AC AB ∴==⨯=，
∵四边形ABCD 是矩形，
4BD AC ∴==．
故答案为：4．
【点睛】
此题考查矩形的性质，直角三角形30度角的性质，熟记各性质是解题的关键． 18．【分析】作MQ ⊥BCNF ⊥AB 交于点O 作根据AAS 证明△得到由得出从而得出OMON 的长最后由勾股定理可求出MN 【详解】解：作MQ ⊥BCNF ⊥AB 交于点O 作MK ⊥AB 于点K 作∵四边形ABCD 是矩形∴M
解析：262
【分析】
作MQ ⊥BC ，NF ⊥AB 交于点O ，作MM AD '⊥，NN AD '⊥，根据AAS 证明△M PM N NP ''≅∆得到PN MM ''=，NN M P ''=，由2BC AB =得出24NN '=，从而得出OM ，ON 的长，最后由勾股定理可求出MN ．
【详解】
解：作MQ ⊥BC ，NF ⊥AB 交于点O ，作MK ⊥AB 于点K ，作MM AD '⊥，NN AD '⊥，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴MK//AD//BC
∴∠90KMM KMQ '=∠=︒
∴M '、M 、Q 三点共线，
∵∠90MPN =︒，
∴∠90M PM N PN ''+∠=︒，∠90N PN PNN ''+∠=︒
∴∠M PM PNN ''=∠
又∠90PM M PN N ''=∠=︒，MP PN =
∴△M PM N NP ''≅∆
∴10PN MM ''==，NN M P ''=
又∵10ON M P N P N M N M N N ''''+='=+=+
则11AB NN '=+，5054104(10)BC ON NN '=+-=-+
又∵2BC AB =，即104(10)2(11)NN NN ''-+=+
∴24NN '=
∴1014OM NN '=-=，1034ON NN '=+=
在Rt OMN ∆中，222214341352262()MN ON OM mm =+=+== 故答案为：2
【点睛】
此题主要考查了运用勾股定理示线段的长，作辅助线构造直角三角形是解答此题的关键． 19．4【分析】过A 作AP ⊥BC 于P 根据勾股定理以及垂线段最短即可得到结论
【详解】解：过A 作AP ⊥BC 于P ∵AB=AC=5∴BP=BC=3在Rt △ABP 中由勾股定理得AP=4∵点P 是线段BC 上一动点∴AP
解析：4
【分析】
过A 作AP ⊥BC 于P ，根据勾股定理以及垂线段最短即可得到结论．
【详解】
解：过A 作AP ⊥BC 于P ，
∵AB=AC=5，
∴BP=12
BC=3， 在Rt △ABP 中，由勾股定理得，AP=4
∵点P 是线段BC 上一动点，
∴AP≥4
所以，AP 的最小值为4
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理，求出AP=4是解题的关键．
20．【分析】根据中点的含义先求解作点C 关于AB 对称点则连接交AB 于P 连接此时的值最小由对称性可知于是得到再证明然后根据勾股定理即可得到结论
【详解】解：为的中点作点C 关于AB 对称点交于则连接交AB 于P 连接 解析：25
【分析】
根据中点的含义先求解,BD 作点C 关于AB 对称点C '，则OC OC '=，连接DC '，交AB 于P ，连接BC '，此时PD PC PD PC DC ''+=+=的值最小，由对称性可知
45C BA CBA '∠=∠=︒，
,AB CC '⊥于是得到90C BC '∠=︒，再证明4BC BC '==，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：
4AC BC D ==，为BC 的中点，90ACB ∠=︒，
2CD BD ∴==， 45CBA ∠=︒，
作点C 关于AB 对称点C '，CC '交AB 于O ，则OC OC '=，连接DC '，交AB 于P ，连接BC '．
此时PD PC PD PC DC ''+=+=的值最小．
由对称性可知45C BA CBA '∠=∠=︒，
,AB CC '⊥ ∴90C BC '∠=︒，
∴BC BC '⊥，点C 关于AB 对称点C '，
∴AB 垂直平分CC '，
∴4BC BC '==，
根据勾股定理可得
DC '=
故答案为：
【点睛】
此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点P 何位置时，使PC+PD 的值最小是解题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）AC =【分析】
（1）根据2AD BC =，E 为AD 的中点，证得四边形BCDE 是平行四边形，再根据BE=DE 即可证得结论；
（2）根据AD ∥BC ，AC 平分BAD ∠，求出AD=2BC=2=2AB ，得到30ADB ∠=︒，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒，根据Rt ACD ∆求出答案即可．
【详解】
（1）证明：2AD BC =，E 为AD 的中点，
DE BC ∴=．
//AD BC ，
∴四边形BCDE 是平行四边形．
90ABD ∠=︒，AE DE =，
BE DE ∴=，
则四边形BCDE 是菱形；
（2）解：如答图所示，连接AC ，
//AD BC ，AC 平分BAD ∠，
BAC DAC BCA ∴∠=∠=∠．
1AB BC ∴==．
22AD BC ∴==，
2AD AB ∴=，
∴在Rt ABD ∆中，30ADB ∠=︒．
30DAC ∴∠=︒，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒．
在Rt ACD ∆中
2AD =，
1CD ∴=， ∴223AC AD CD =-=．
．
【点睛】
此题考查菱形的判定定理及性质定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，平行线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，熟记菱形的判定及性质是解题的关键． 22．（1）见详解；（2）见详解；（3）
4833m <≤ 【分析】
（1）根据旋转变换及三角形全等即可得解；
（2）延长FD 到点G ，使DG=BE ，连接AG ，通过,
ABE ADG △≌△AEF AGF ≌即可得解；
（3）根据题意分两种情况∶P 与O 重合，H 与C 重合，通过构造全等三角形，求得MN=NQ ，再设BM=a ，则CM=4-a ，MN=QN=a+2，根据222MN CM CN =+，得出222(2)(4)2a a +=-+，进而得到a=43，求得AG 的长为于43；根据BM=43
，可得48'433
AG CM ==-
=，进而分析计算即可得出m 的取值范围 ． 【详解】
解∶ （1）结论∶ EF=BE+FD ．理由如下 ∶
由旋转及题意知，F ，D ，G 三点共线，BE=DG ，AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，∠EAF=
12
∠BAD, ∴∠GAF=∠DAF+∠DAG=∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠EAF ，
∴∠EAF=∠GAF ，
在△AEF 和△AGF 中， AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴
AEF AGF ≌
∴.EF=FG ， 又∵FG=DG+DF=BE+DF ，
∴EF=BE+DF.
（2）结论EF=BE+DF 仍然成立．
理由如下 ∶延长FD 到点G ，使DG=BE ，连接AG ，如图所示∶
∵∠B+∠ADC ＝180°，180ADF ADG ∠+∠=︒ ，
∴B ADG ∠=∠，
在△ABE 和△ADG 中，
DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
,ABE ADG ∴△≌△
∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，
12
EAF BAD ∠=∠ GAF DAF DAG FAD BAE BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠ ， ∴∠EAF=∠GAF ，
在△AEF 和△AGF 中，
AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴,AEF AGF △≌△
∴.EF=FG.
又 ∴FG=DG+DF=BE+DF ，
∴EF=BE+DF ．
（3）①假设P 与O 重合， 如图，
∵O 为EF 的中点，
∴O 为正方形ABCD 的对称中心，过A 作AN //EF 交CD 于N ，则NF=AE=1， ∴DN=CN=2，
过O 作''//G H GH 交AD 于'G ，交BC 于'H ，
''AG CH ∴=，''DG BH = ,
过A 作//''AM G H 交BC 于M ，
∴''AG MH = ,'45G OE ∠=︒ ,
∴∠MAN=45°,
延长CD 到Q ，使DQ=BM ，
由AB=AD ，∠B=∠ADQ ，BM=DQ ，可得△ABM ≌△ADQ ，
∴AM=AQ,∠BAM=∠DAQ
∵∠MAN=45°,∠BAD=90°,
∴∠BAM+∠DAN=45°=∠DAQ+∠DAN=∠QAN,
∴∠MAN= ∠QAN
由AM=AQ ，∠MAN=∠QAN ，AN=AN ，可得△MAN ≌△QAN ， ∴MN=NQ
设BM=a ，则CM=4-a ，MN=QN=a+2，
∵222MN CM CN =+，
()()222242a a ∴+=-+ ,
解得∶a=43， ∴ BM=43, CM=83
又∵'''AG CH MH ==，
814'323AG ∴=⨯=， ②当H 与C 重合时，如图
由①知BM=43 48''433AG CM ==-
=∴， ∴m 的取值范围为∶
4833
m <≤ ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转变换以及正方形的性质，熟练掌握相关各个性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
23．
12x +，33
【分析】 首先计算括号里面的加法，再算括号外的除法，化简后，再代入x 的值可得答案．
【详解】
解：原式＝（22x x ++＋12x +）•3(3)(3)x x x -+-， ＝
32x x ++•3(3)(3)x x x -+-， ＝12
x +， 当x ＝3﹣2时，原式＝
322-+＝3＝33． 【点睛】
此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握计算顺序和计算法则，正确进行化简． 24．322
【分析】
先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可计算；
【详解】
解：原式＝243÷ ﹣63÷ +
22 ＝22-2+
22 ＝32． 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可；在二次根式的混合运算中，如果能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往可以事半功倍；
25．（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）根据题意补全图形即可；
（2）连接EF 交BC 于点P ，根据两点之间线段最短结合等边三角形的性质求解即可．
【详解】
解：（1）补全图形如下：
（2）连接EF 交BC 于点P ，此时AP FP +的值最小．
DE AD AD BC =⊥，，
BC ∴为AE 的垂直平分线．
2,CA CE AP EP ∴===．
AP FP EP PF ∴+=+．
,120AB AC AD BC BAC ︒=⊥∠=，，
60BAD CAD ∴∠=∠=︒．
ACE ∴为等边三角形．
∵点F 是AC 的中点，
1EF AC AF CF ∴⊥==，．
在Rt CEF △中，90,
1,2CFE CF EC ∠=︒==，
3EF ∴=． AP FP ∴+3
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质和定理是解答此题的关键．
26．（1）150°；（2）253（m 2）
【分析】
（1）连接BD ，可得∆ABD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理得∠DBC=90°，进而即可求解；
（2）过点A 作AP ⊥BD 于点P ，可得AP=53，结合三角形的面积公式，即可求解．
【详解】
（1）连接BD ，
∵10AB AD ==m ，∠A=60°
∴∆ABD 是等边三角形，
∴∠ABD=∠A=60°，BD=10AB AD ==m ，
∵26CD =m ，24BC =m ，
∴BD 2+BC 2=CD 2，
∴∠DBC=90°，
∴∠ABC=90°+60°=150°；
（2）过点A作AP⊥BD于点P，则BP=DP=1
2
BD=5m，AP=2253
AD DP
-=，
∴四边形草地ABCD的面积
=S∆ABD+S∆CBD=1
2
BD∙AP+
1
2
BC∙BD=
1
2
×10×53+
1
2
×10×24=253+120（m2）．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的判定和性质以及勾股定理的逆定理，添加辅助线，构造直角三角形和等边三角形，是解题的关键．。