微分方程模型02

微分方程模型
在实际问题中，我们很难直接得出变量之间的数量关系，但是有时却很容易写出包括变量的导函数在内的一个方程，这就是微分方程，我们在一般的建模中常涉及常微分方程。

微分方程一般形式为：
0),...,'',',,()
(=n y
y y y x F 或),...,'',',,()
1()
(-=n n y
y y y x f y。

若在某个范围内存在具有n 阶导数的函数)(x y ψ=使得
))(,...,')'(,)'(),(,()
(=x x x x x F n ψ
ψψψ，则称)(x y ψ=是微分方程的解。

微分方程所解决的问题通常可以分为两类：一类是用微分方程列出变量之间的关系式，求出位置函数的表达式，有时要借助软件进行数值分析；另一类是要了解未知变量或函数的某些性质即可，常需要根据微分方程的定性理论来研究，这两类建模问题我们将在后面进行讨论。

1. 微分方程简介
1.1. 简单的微分方程模型
一种比较简单的微分方程模型是变量的变化率与函数的即时值成正比，即
ky
y ='，它的解就是kt e y t y 0)(=，这里0y 是初值，k 是待定常量。

通常情况下，
如果0>k 称)(t y 指数递增；如果0<k ，称)(t y 指数递减，我们通过几个例子来说明这种事实。

1.1.1. 放射性元素的自然衰变
放射性元素的自然衰变是化学上的一个基本事实，它常用于定碳测量，在考古学学上利用该方法测定古生物生存年代。

存活于生物组织中占有确定比例的碳原子是放射性同位素14C ，一旦生物组织死亡，这种14C 不会增加，而会将一定比例的14C 衰变为12C ,并保持一定的速率（14C 的半衰期为5568年）按指数规律
下降。

测定它现存的比例并与活的样品比较，就可以求得比例下降了多少，也就得到了被测样品的实际年代。

建立模型：假定)(t y 为t 时刻生物体内14C 原子的个数，经过相同的时间T ,y
的值减少为原值的1/2 (指数衰减)。

002
1)(,)(y tT y e y t y kt
⋅=
=，易得
T
Ln k e
T
k 2
1,2
1=
=
⋅。

如果给出一个具体时刻1t 的1y 值，由1011
)(y e
y t y t k ==就可
以求出初值0y ，最后由kt e y t y 0)(=去指导实践。

1.1.2. 细菌数量的增长
细菌总数的增长也是与总数成正比的。

如果培养体中的细菌总数在24小时之内由100（单位）增长导500（单位），问在10小时时细菌数量是多少？
建立模型：设t 时刻的细菌数目为)(t N ，细菌的增展率与总数成正比，马上得到如下微分方程模型：
⎪⎩⎪⎨⎧
===500
)24(,100)0()()(N N t kN dt t dN
该方程的通解为kt e N t N 0)(=，k N 和0均为待定系数。

由500)24(,100)0(0===N N N 得 524
1,1000Ln k N ⋅=
=，
即5
24
100)(Ln t
e t N =，所以196)10(≈N ,可知10小时时细菌总数为196个单位。

1.1.3. 人口模型的演变
人口问题是当今世界上普遍关注的问题。

人类在18世纪已经开始关注人口预报的工作，关于人口问题的建模很多，这里介绍两个较为简单的模型。

（1）Malthus 人口模型
马尔萨斯是英国人。

1789年，他根据多年来的人口资料提出了一个人口模型，主要是假定单位时间内的人口增长数量与当时的人口数量称正比。

假定某地区t 时刻的人口数量为)(t N ，当考察一个国家或较大地域时)(t N 可
以假设为连续函数。

记初始时刻的人口为0N ,人口增长率为r ，r 也可视为人口增长量与)(t N 的比例系数，通常假定r 为常数。

建立模型：在],[t t t ∆+时间内，人口数量)(t N 的增量为：
t
t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(，
整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧==0
)0()
()(N N t rN dt t dN （1-1）
解（1-1）式得rt e N t N 0)(=。

该模型可以与19世纪前期欧洲一些地区的人口变化情况吻合的很好。

但是随着时间的发展它和许多地区的实际人口增长之间差异越大，而且进入20世纪以来，人口的增长受到自然条件、环境条件、自身等问题的制约越来越显著，Malthus 人口模型中随时间发展，人口数量指数增长趋于无穷大也和实际不相符合。

所以，有必要对Malthus 人口模型做相应的改进，这就是常见的Logistic 模型（阻滞增长模型）。

(2) Logistic 模型
根据人口增长的实际情况，人口增长率r 一般是随着当前人口数量的增加而减小的，做一个简单的假设)(t r 是)(t N 的线性函数：))(1()(m
N t N r t r -
=，其中r
是
固有的增长率，m N 是自然资源条件限制所能容纳的最大的人口数量；可以看到，当m N t N =)(时，人口的增长率0)(=t r 。

从而得到如下阻滞增长模型：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=0)0()1()
(N N N N N r dt t dN m
（1-2）
（2）式是非线性微分方程，利用分离变量或直接用Mathematica 软件可解得：
rt
m m e
N N N t N --+=
)1(
1)(0
根据（1-1）式，)('t N 实际上是)(t N 的二次函数，当2
m N N =
时，)('t N 取得
最大值。

也即在m N N <<0上，)(t N 是递增的，当2
0m N N <
<时，)(t N 增长速
度越来越大，当m
m N N N <≤2
时增长速度越来越小；在m N N >时，人口是递减
的。

以美国的人口发展为例，1790年他美国的实际人口为3900=N 万，根据历史统计取21300,31.0==m N r 万，t
e
t N 31.0)1390
21300(
121300)(--+=
，m N 值是根据1800～
1810美国的实际情况的一个预测值。

图 1
在图1中，)(t N 随着时间t 增长变化的趋势十分明显，函数的拐点出现在
10650
=N
附近。

模型（1）一直到1930年左右仍然与实际统计数据吻合的很好，
但是以后就和实际有了较大差异。

原因是m N 值的选取不尽合理，随着人类科学技术的进步，资源、环境等因素对人口自身的抑制作用相对减弱，所以一个国家的最大人口允许值不是一成不变的。

综上所述，我们给出微分方程模型建立的基本步骤：
(1) 写出变量在（时间）单位内增量的变化值：这里需要把实际问题的具体信息转化为导数问题，变量可能是人口、速度、原子数、浓度、能力等等。

一般问题都遵循“单位时间的净增量＝单位时间的输入量－单位时间的输出量”，保证两端单位一致，然后再把等式转化为导数问题；
(2) 边界条件：因为微分方程若有解，解常是一个函数族许多参量或系数都需要通过实际值回代才能得到。

在实际问题中，初始条件和一些经验数据是非常重要的；
（3）建立模型：审视（1）、（2），建立正确的表达式，写出
0),...,'',',,()
(=n y
y y y x F ；
（4）求解和讨论：模型若有解析解，尽可能用准确巧妙的解法，若难以求解则尝试用软件进行求解或进行方程稳定性的讨论。

1.2. 微分方程稳定性的讨论
在利用微分方程进行数学建模活动中，有时建模的目的并非是为了寻求动态过程每一瞬时状态。

我们往往需要了解系统某种稳定性的特征，特别是时间充分长以后动态过程的变化趋势，以及这种稳定状态是否容易收到破坏，这就需要进行微分方程平衡解与稳定性的讨论。

1.2.1. 简单微分方程的平衡点和稳定性
关于常微分方程平衡点和稳定性讨论，仅考察右端不显含有自变量t 的一阶微分方程
)(x f dt
dx = （1-3）
称代数方程0)(=x f 的实根0x x =为原方程的平衡点或奇点，它也是（1-3）式的解。

在实际问题中，我们不仅要得到问题的解，还要得到∞→t 时解的变化趋势。

如果从一定范围内的初始条件出发，（1-3）式的解)(t x 都满足)()(0∞→→t x t x ，则称平衡点0x 是稳定的。

这种做法有时很难实现，我们经常利用如下判定0x 是否稳定的方法：
在0x 处将)(x f 作泰勒展开，只取线性部分得到（3）式的近似解：
))((00'
x x x f dt
dx -= （1-4）
显然0x 也是上述微分方程的平衡点，而（1-3）式的通解可写为
0)(0'
)(x ce
t x t
x f +=，
可以看到：
（1）当0)(0'<x f 时，解0x 对于（1-3）和（1-4）式都是稳定的； （2）当0)(0'<x f 时，解0x 对于（1-3）和（1-4）式都是不稳定的. 1.2.2. 微分方程组的平衡点和稳定性
关于常微分方程组平衡点和稳定性讨论，仅考察右端不显含有自变量t 的微分方程组：
⎪⎩⎪⎨
⎧==),()
,(y x g dt
dy y x f dt dx
（1-5） 代数方程 ⎩⎨
⎧==0),(0
),(y x g y x f 的实根 ⎩⎨
⎧==0
y y x x 称为上面微分方程组的平衡点，记
作),(000y x p ，也是原微分方程组的解。

如果从一定范围内的初始条件出发，微分方程组的解))(),((t y t x 都满足00)(,)(y t y x t x t t →→∞
→∞
→，则称平衡点),(000y x p 是稳
定的。

下面给出),(000y x p 是否稳定的判别准则。

设⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂-=y p g x
p g y
p f x
p f n y p g x p f m )()
()()(],)()([
000000，则
（1）当00>>n m 且时，平衡点),(000y x p 是稳定的； （2）当00<<n m 或时，平衡点),(000y x p 是不稳定的.
2. 传染病模型
本世纪初，瘟疫、AIDS 等传染病经常在某些地区流行。

我们不可能做传染病传播的试验去获取数据，从医疗卫生部门那里取得的资料又是不充分、不完善的。

但人们又十分关注这些问题：被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？为什么在同一地区一种传染病流行时，被传染的人数大致不变？我们
通过建立传染病传播的数学模型，可以较好的回答这些问题。

传染病的传播涉及因素很多，不可能通过一次简单的假设就能建立完善的数学模型。

我们采取由简到繁，层层深入的方法，先做出简单假设，看结果是否与实际吻合，然后针对不合理不完善之处逐步修改和增加假设，得到最终满意的模型。

2.1. 模型1
基本假设：
（1）每个病人在单位时间内传染的人数为常数； （2）某人得病之后经久不愈。

一些记号：
)(t i ：t 时刻的得病人数
i ：刚开始时刻的得病人数
0k ：一个病人在单位时间内能传染的人数（传染率）
建立模型：考察在单位时间t ∆内，某疫区病人人数的变化情况，显然有
t t i k t i t t i ∆=-∆+)()()(0，整理得：
⎪⎩⎪⎨⎧==0
0)0()
()
(i i t i k dt
t di （2-1） 解（2-1）式得t k e i t i 0
0)(=。

模型分析：该结果表明，该疫区的病人人数将按照指数规律无限增加，即
∞
→)(t i ，这显然和事实不相符合。

实际上，一个地区的总人数大致可视为常数
（不考虑传染病传播期内出生和迁移的人数）。

另外，在传染病的传播期，我们曾一个病人单位时间内能传染的人数0k ，0k 也不是一成不变的。

在传染病发作的初期，0k 较大，随着病人数的增加，健康者逐渐减少，被传染的机会也减少了，于是0k 也就变小了，所以应对模型1加以修改，从而有模型2。

2.2. 模型2
基本假设：
（1）疫区的总人数为一个定值；
（2）每个病人在单位时间内传染的人数随着健康者人数的减少而减少； （3）某人得病之后经久不愈。

记号说明：
)(t i ：t 时刻的被传染的病人数，0i 为刚开始时刻的得病人数 )(t s ：t 时刻的健康者人数
n ：疫区的总人数，显然有)(t i ＋)(t s ＝n
k ：传染强度，假定单位时间内一个病人传染的人数与当时健康者人数
的成正比，比例系数记为常数k
建立模型：参考模型1中的（3。

4）易得
⎪⎩
⎪⎨⎧==0)0()()()
(i i t i t ks dt t di （2-2）
把)()(t i n t s -=代入（7）式得下面微分方程，
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=02)0()
()()(i i t kni t ki dt
t di 解得nkt
e
i n n t i --+=
)1(
1)(0
模型分析：首先利用)(t i 表达式，我们可以对传染病发作后的一段时间被传染者的数量变化做出预报，其次我们可以研究)(t i 的导函数，
t dt
t di ~)(被医学界
称为传染病曲线，它反映了病人数变化率与时间的关系，可以用来预报一些恶性传染病前期传染高峰的到来时间。

由nkt
e
i n n t i --+=
)1(
1)(0
，得
2
2
]
)1(
1[)1()(nkt
nkt
e
i n e i n kn dt
t di ---+-=.
取0003.0,100,100000===k i n ，做出t
dt
t di t t i ~)(~)(和
的图像如图2、图3。

图2 图3
令
]
)1(
1[)1(]
)1(
1[)1(2)(2
3
2
3
220
3
2
2
=-+---+-=
----knt
knt
nkt
nkt
e
i n e
i n n k e
i n e i n n k dt
t di ，解得kn
i n Ln t )
1(
0*-=,*
t 时刻附近就是传染病发作的最高峰期，同时2
)(*n t i =
.
由此可见，当传染病的传染强度k 或n 增加时，*t 将变小，即传染病的高峰来得快些，这与实际情况是吻合的，这里的k 可由经验或统计数据求得。

同时，我们也看到，随着∞→t ，∞→)(t i ，这意味着最终疫区内人人将被传染，这又与实际情况不相符合，这主要是因为疫区内人群的划分不尽合理，仍需改进。

2.3. 模型3
在模型2的基础上，我们将某一疫区所有的人分为三类： 第一类是传染类，记为)(t i ，它由能把疾病传染给他人的人组成；
第二类是受传染类，记为)(t s ，它由并非传染者但能够成为传染者的人组成； 第三类是疫区中排除了第一类和第二类后余下的人组成，记为)(t r ，它包括患病死去的人，病愈后具有长期免疫力的人以及在病愈且并未出现长期免疫能力之前被隔离的人等组成。

基本假设：
（1）总人数不变，)(t i ＋)(t s ＋)(t r ＝n
（2）传染强度：单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康者人数成正比，比例系数为k
（3）恢复系数：单位时间内病愈且具有免疫力的人数与当时的病人人数成正比，比例系数为l
建立模型：
由基本假设（1）、（2）、（3），可将模型（7）式做如下改进，
⎪⎩⎪⎨⎧===-=0
0)0(,0)0(,)0()()()()
(s s r i i dt t dr t i t ks dt t di （2-3）
由假设（3）得
)()(t li dt
t dr =，且)(t i ＝n －)(t s －)(t r 代入（2-3）式可得
)
()()
(1
)(t d t dr t s dt
t ds ρ
-
=，其中k
l =ρ，
直接用Mathematica 软件可解得
)](21)(1
1[)(2
2
0)
(1
0t r t r s e
s t s t r ρ
ρ
ρ
+
-
==- （2-4）
所以
))
()(()()(t s t r n l t li dt
t dr --⋅==
)](2)()1()[(2
2
00
0t r s t r s s n l ρ
ρ
-
-+-⋅=
解得：
)
2tan([21)('
c qt q b c
t r +-
⋅-=
（2-5）
其中)(0s n l a -=，)1(
-=ρ
s l b ，ac
b q 42
+=，q
b c =
'tan
模型分析：注意到在（2-5）式中，00)0(i s n i =-=， 故当0i 很小时，2
2
02
02)
1(
24-<<⋅=ρ
ρ
s l i s l ac ， 所以b q ≈。

又因为 1)2
tan(lim '
-=+-
∞
→c t q t
所以，)1(
2)(21)(lim 0
2
-=
≈
+=
∞
→ρ
ρs s c
b q b c
t r t （2-6）
（11）式表明，当0s 很小时（ρ≤0s ）时，传染病根本传染不开，只有0s 很大时才会有传染病疫情。

假定ερ+=0s （0≥ε，只有如此才能有传染问题）且ρε<<，则有
ε
ρ
εε
ρρ
22)(lim 2
=⋅
+≈
∞
→t r t (2-7)
在这里我们看到，一个疫区最终免疫的人数，也即最终痊愈的人数和该传染病最终传染的人数是相等的，于是由（12）式得到：
（1）对于同一地区，同一传染病所传染的人数大致是一个常数为2ε，这个与统计结果一致；
（2）当恢复系数增大l ，传染强度k 减小时，k
l =ρ变大，相应的ε变小，
从而传染病最终传染的总人数2ε也变小；
（3）如果0s 相对于n 非常大，则0s 可视为总人数，则传染病最终传染的总人数为)(2ρ-n 。

在有的参考书中，把l
k ==
ρ
ρ1'叫做接触数，它表示一个传染期内每个病人
有效接触到的平均人数。

为了降低传染的比例，通常需要我们不断提高卫生和医疗的水平，尽可能的降低'ρ，从而增大ρ，从而使得最终传染的总人数)(2ρ-n 不断减小。

另外一个降低传染病传染比例的方法是尽可能的降低0s ，这个可以通过预防、接种等方法提高群体的免疫力做到。

但有实际操作的困难，因为免疫者一般不是均匀分布于疫区的，所以我们的做法存在有待改进的地方。

本文的做法旨在让读者学会一种由简到繁，循序渐进、不断完善的数学建模的方法，把这种思想用到日后的建模实际中去。

3. 血液中的酒精浓度模型
酒后驾车的危害性，已经引起交通部门乃至全社会的高度关注。

国家质量监督检查检疫局在2004年5月31日颁发了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含
量阀值与检验》国家标准，对酒后驾车人员血液中所允许的酒精浓度做了具体规定。

问题：对于一个驾驶员，他饮酒后多长时间不能开车？对于一定量的酒，在短时间饮完好还是在较长时间饮完比较好？本文在一定假设基础上建立数学建模，从量上给出了答案。

人饮完酒后，酒精通过胃肠的吸收扩散到人的体液（包括血液）中，同时体液中的酒精又通过汗液、尿液等排到体外。

实际上，这种吸收、扩散、排除的过程相对复杂，干扰因素繁多。

这里，我们把人体设想成一个含有两个房室的模型，只有胃肠道和体液两部分组成，并作如下假定。

模型假设：
（1）酒精浓度： 一个基本的假设是酒精进入体液后迅速扩散到全身各个部位，任一时刻血液和体液中的酒精浓度相等，记为)(t p 。

另外，可以认为人体体液的总体积是一个常数V ,且酒后人体的体液和酒精是正常排除的，没有意外呕吐等现象。

（2）吸收因子： 胃肠中的酒精被吸收到体液中的速率与胃肠道中的酒精的质量成正比，即若t 时刻胃肠中的酒精质量为)(t y ，那么此时的吸收速率为
)(1t y k ，其中1k 叫做吸收因子。

一般情况下，1k 收到胃肠蠕动速度、体液
PH 值
等因素影响，但在一定时间段里1k 为常量。

（3）消除因子： 体液排出的速度受到诸多因素干扰，比如温度、运动量等等，但这里假定体液排处体外的速度是匀速的，并且单位时间内排出体外的体液体积为2k ，令V
k k 23 ,称3k 为消除因子，它表示单位体积的体液在单位时间内
排除体外的量。

体液中酒精含量一方面通过胃肠吸收而得，另一方面又随体液排出体外。

所以，体液中酒精得浓度与吸收因子1k 、消除因子3k 以及饮酒的量有密切联系，随着时间变化而发生变化。

同时，我们看到，一定量的酒精进入体内有多种时间方式，譬如，可以在很短时间进入体内（短时饮酒模型）、在较长时间内进入（长时饮酒模型）或每隔一段时间分批量进入体内（间断饮酒模型）等。

本节主要讨
论短时饮酒模型和长时饮酒模型。

3.1. 模型1 短时饮酒模型
在这个模型的实际问题中，饮酒者在很短的时间内（近似瞬间）M 毫升的酒，按照酒的度数计算，假设喝入的酒精质量为m （单位：mg ）,相当于初始时刻体内酒精含量，那么计算t 时刻胃肠中的酒精质量)(t y 可以化为如下微分方程：
⎪⎩
⎪⎨⎧=-=m y t y k dt
t dy )0()
()
(1 （3-1） 由分离变量解得
t
k me
t y 1)(-= （3-2）
建立酒精浓度模型：
在时间段],0[t 上考虑血液内酒精浓度的变化，由假设（2），在t ∆内吸收到体液中的酒精质量约为t t y k ∆)(1，因此在],0[t 时间内吸收到体液中的酒精质量为
⎰t
dt
t y k 01)(。

假设在t 时刻体液中的酒精浓度为)(t p （单位：mg/100ml ）。

由假设（3），在
],0[t 时间内排出体外的酒精质量为
⎰
t
dt
t p k 0
2)(100
，从而t 时刻体液内酒精质量为
⎰
⎰-
t
t
dt
t p k dt t y k 0
20
1)(100
)(，
故t 时刻体液中的酒精浓度为
100
)(100
)(00
21⨯-
⎰⎰
V
dt
t p k dt t y k t
t
，
从而有 )(t p ＝V
dt
t p k dt t y k t
t
⎰⎰
-00
2
1)()(100
对上式两端同时求导可得：
)(100)()(1
2'
t y V
k t p V
k t p =
+
（3-3）
注意到V
k k 23=
，令V
E 100=
,从而（14）式化为
⎩
⎨
⎧=+-00()()(113'）＝p me Ek t p k t p t
k （3-4）
解（3-4）式得)
1
31
21()(t k t
k e
e
k k Emk
t p ----= （3-5）
模型分析： (1) 浓度分析
对（3-5）式求导可得在1
31
3
*k k Lnk
Lnk
t --=
处，0)(*='t p ，
所以在区间],
0[131
3k k Lnk
Lnk
--上)(t p 单调递增，
在],[
1
31
3∞--k k Lnk
Lnk
上)
(t p 单调递减。

这说明一开始血液酒精浓度以较快的速度增长，在1
31
3*k k Lnk
Lnk
t --=
时刻浓度
达到最大值，之后又逐渐降低，随着时间的推移，体液中酒精的浓度越练越低，直到完全消除为止。

(2) 数据拟合
为了检验我们建立模型的合理性，我们选取以下一组数据针对（3-5）中的1
k 和3k 进行数据拟和: 取)(5300mg m =，相当于两瓶酒精浓度为4。

2g/100ml 的啤酒中酒精的含量；)(49000ml V =，相当于一个体重为70kg 的人的体液含量；
t 与)(t p 的一组对应值表如下（选自
2004年大学生数学建模竞赛C 题数据）表1
t 0.25 0.5 0.75 1
1.5 2
2.5 3
3.5 4
4.5 5
P(t) 30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 t
6
7 8 9
10
11 12 13 14 15 16 P(t) 38 35
28
25 18
15 12 10 7
7
4
表1
利用Matlab 软件下的非线性拟合命令nlinfit 对表中的数据进行拟和，得到对应于这组数据的吸收因子和消除因子199.0,98.131==k k ，对照这组数据的散点图，我们看到（3-3）、（3-4）式建立的模型基本符合人体血液中酒精浓度变化的规律，验证了我们所建模型的合理性。

但是，应该看到这里的)(t p 为光滑函数，说明我们建立的模型具有理想化的特点，图4是表1的散点图合)(t p 的图像，黑色的是利用软件拟合的曲线，灰色的是连线后散点图，可以看到两者吻合的很好，在快速饮酒的基础上我们再建立个人长时间的饮酒模型。

图4 两种类型的数据拟合曲线
3.2. 模型2 长时间饮酒模型
设某人在较长时间0T 内，摄入的酒精质量为m ，我们在这里假设这种摄入是匀速进行的，即在0T 时间内酒精以
T m 的速度进入胃肠道。

基本假设：
当0T t ≤时胃肠道中酒精质量为)(1t y ，体液中酒精浓度为)(1t p ，则)(1t y 的变化率为
)(110
t y k T m -，从而假设可以转化为如下初值问题，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=0)0()()(1110
1y t y k T m dt t dy （0T t ≤） (3-6) 解之得)1()(11
01t
k e
k T m t y --= （3-7）
建立模型：
当0T t ≤时, 我们首先来建立)(1t p 模型，类似于前面分析在],0[t 时间内排出体外的酒精质量为
⎰
t
dt
t p k 0
12)(100
，
从而t 时刻体液内酒精质量为⎰
⎰-
t
t
dt
t p k dt t y k 0
120
11)(100
)(，
故t 时刻体液中的酒精浓度为
100
)(100
)(0
1211⨯-
⎰⎰
V
dt
t p k dt t y k t
t
，
从而有 )(1t p ＝
V
dt
t p k dt t y k t
t
⎰⎰
-00
12
11)()(100，
整理得)1()()(10
13'
1t
k e
T Em t p k t p --=
+ （3-8）
（3-8）式中初始条件为0)0(1=p ，解得（3-8）式的解为：
3
11
313
1
31113)11(
)(k A e
k k A e
k k k A t p t
k t
k +
--
--=--，其中0
1T Em A =
当0T t >时，设胃肠道中的酒精质量为)(2t y ，血液中酒精浓度为)(2t p ，则)(2t y 和)(2t p 的变化规律类似于（3-1）、（3-3）式，只是初值不同，直接写出如下方程：
⎪⎩⎪⎨
⎧===+-=)
()(),()()()()()()(0102010
22123'
221'
2T p T p T y T y t y Ek t p k t p t y k t y (3-9) 该一阶线性系统的解为)
(1)
(10120103
))(()(T t k T t k
e
B e B T p t p ----+-= (3-10)
其中1
30111)(k k T y Ek B -=。

这样在整个过程中，血液中的酒精浓度)(t p 的方程为
⎩⎨⎧>≤=0
201),(),()(T t t p T t t p t p (3-11)
3.3. 模型1和2综合分析：
(1) 浓度指标分析
我们选取如下一组参数进行实例分析：199.0,98.131==k k ，小时23=T ，
)(79500mg m =，)(49000ml V =，则181
.0,122.104)2(,576.79)2(111-==≈B p y ，
利用软件计算出两中模型比较之下不能驾车的时间范围，时间长度，最高酒精浓度等指标见表2
最大浓度
最大浓度时
间
禁止时间范围 禁止时间长
度 短时饮酒 125.51 1.2901 [0.07,10.95] 10.88 长时饮酒
118.44
2.6145
[0.57,11.97] 11.40
表2
(2) 饮酒的个体差异
图5 短时和长时间饮酒的浓度比较
利用数学软件画出短时饮酒和长时饮酒的酒精浓度的函数图像如上图5。

由图知，短时饮酒的酒精浓度最大值比长时饮酒的酒精浓度最大值要大。

另外，对于短时饮酒来说在很短时间内，大约在1.3小时，血液中酒精浓度最大；对于长
时饮酒来说，这个时间要晚些，大约在2.6小时，血液中酒精浓度最大，之后又以较慢的速度降低，因此禁止驾驶的时间较长。

显然，喝酒的时间长短不同，其峰值浓度达到有明显的区别。

对于酒量偏低的饮酒者更适于长时间的饮酒。

对于需要在酒后能够快速的醒酒以便工作的饮酒者来说，那么不如在短时间内以较快的速度喝酒。

对于间断喝酒模型的讨论请参考文献。

4. 捕鱼业的收获模型
渔业资源是一种再生资源，再生资源应注意适度开发，不能完全为了的经济利益而“竭泽而渔”，渔业生产应该在持续稳产的前提下追求产量和经济效益。

实际问题
考察一个渔场，其中鱼量在天然环境下按一定的规律增长。

如果捕捞量恰好等于增长量，那么鱼量将保持不，这个捕捞量就可以持续。

本节要建立在捕捞情况下，渔场鱼量遵循的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大，并研究过度捕捞的问题。

建模与求解
为建立模型，做如下假设和记号：
~
)(t x t 时刻渔场中的鱼量；
~
m x 渔场当前条件下所能允许养殖的最大鱼量；
~
)(x r 渔场鱼量的增长率，它通常是当前鱼量的函数，通常随着)(t x 的增大
而减少，这里假定)
1()(m
x x r x r -
=，r 为鱼量的固有增长率，m x t x =)(时，
0)(=x r 。

类似于人口增长的阻滞增长模型，得到自然增长条件下渔场鱼量变
化率的表达式,
)
1(m
x x rx dt
dx -
= (4-1)
假定单位时间内的捕鱼量与渔场的鱼量)(t x 成正比，捕捞率为k ，则得到有
捕捞情况下渔场鱼量变化率的表达式,
kx
x x rx dt
dx m
--
=)1( （4-2）
根据微分方程平衡点的讨论方法，令0)1()(=--=kx x x rx x f m
，
得到(4-2)式的平衡解 m
x r
k r x -=
0 （4-3） 则r
k k x
x r r x f x x m
-=-⋅-
==0
2)(0' （4-4）
所以得到如下结论：
（1）当r k <时，0)(0'<-=r k x f ，0x 是（4-2）式的稳定的平衡解，所以
r
k <是渔业生产必须遵守的规则。

（2）当r k >时，0)(0'>-=r k x f ，0x 是（4-2）式的不稳定的平衡解，所以r k >时就必须改变捕捞方法，以保持鱼量稳定。

解的讨论
下面我们利用图解法讨论在保持鱼量稳定的前提下，如何选择捕捞系数k ，使捕捞量最大。

考察rx
x x r x x rx x g m
m
+-
=-
=2
)1()(和kx x h =)(
显然，)(x g 为抛物线在x 轴上方部分，只有)(x g 和)(x h 相交时，微分方程（4-2）式才会有平衡点0x 。

而r
x x r x g m
+-=2)('，显然r g =)0('，即)(x g 在原
点处切线斜率为r 。

只有当r k <<0时，)(x h 与)(x g 才会有交点。

观察到，当 kx x h =)(过抛物
线顶点0P 时，渔场将获得最大的捕捞量m y ，此时稳定点
4
)1(,2
00m m
m m rx x x rx y x x =
-
==。

所以，当控制捕捞率在2
r k =
或控制捕捞率使渔场鱼量在
2
m x 时，就可以使渔
场鱼量稳定的条件下使捕捞量最大，最大捕捞量4
m m rx y =
效益分析
若我们希望在保持渔场鱼量稳定条件下得到利润函数L 最大，可以重新建模。

设鱼单价为p ，且捕捞成本鱼捕捞率成正比，比率系数为c ，则在保持渔场鱼量稳定的条件下（r k <）单位时间内的利润为ck pkx L -=0。

由（4-3）式得)1(0m
x x r k -
=，代入
L 得到
)1)(()(000m
x x c px r x L -
-= (4-5)
令0)(0'=x L ，得p
c x x m 22
0+
=
此时捕捞量0kx y =m
m m x p rc
rx x x x r 2
2
0044)1(-
=
-
=
捕捞量)
1(2
)1(0m
m
px c r x x r k -=-
=
在效益分析中，最优捕鱼率比最大捕鱼量少m
x p rc
22
4，它与成本的平方成正比，
与鱼价的平方成反比。

捕捞过度
上面的分析是以独家捕捞为基础的，即捕捞行为是理性的。

如果渔场开放，存在多家捕捞企业，每个经营者既不能控制价格，也不能控制捕捞量，这种情况下会导致捕捞过度。

由)1(0m
x x r k -
=得，m
x r
k r x -=
所以ck pkx k L -=0)(
ck r k
pkx m --=)1( (4-6)
令0)(=k L ，解得)1(*m
px c r k -
=，我们得到下面结论
（1）当*k k <时，利润0)(>k L ，经营者会增加捕捞强度，甚至会导致过度捕捞；
（2）当*k k >时，利润0)(<k L ，部分经营者会退出经营。

所以，这里的k 是一个临界值，它恰好是追求效益的垄断捕捞下捕捞量的两倍。

同时，在盲目捕捞下，渔场鱼量p
c x r
k r x m =
-=
*完全由捕捞成本和价格之
比决定，当p
c 增大，*x 就增大，甚至出现捕捞过度的情况。

5. 种群的相互竞争和依存
若在某个自然环境中仅有一个物种，那么它的生长规律接近阻滞增长模型，设)(t x 为t 时刻该生物的数量，)
)(1)(()('m
x t x t rx t x -
=，其中r 是固有的增长率，m
x 是自然资源条件限制所能容纳的最大的人口数量，由在稳定性讨论知m x 是系统的平衡点。

实际问题
假定在一个自然环境中存在两个或两个以上的生物种群，那么他们之间要么存在竞争，要么相互竞争，要么弱肉强食，那么如何对该系统的发展规律进行把握和预测。

设一个生物系统中只有甲乙两个物种，)()(21t x t x 、为t 时刻两个物种的数量，21r r 、为他们的固有增长率，21N N 、分别为两个物种的最大系统容量。

建立模型。