立体几何中最值问题

立体几何中最值问题
【典例1】【20218·陕西西安市·长安一中】
如图，已知三棱柱BCF ADE -的侧面CFED 与ABFE 都是边长为1的正方形，M 、N 两点分别在AF 和CE 上，且AM EN =.
（1）求证：//MN 平面BCF ；
（2）若点N 为EC 的中点，点P 为EF 上的动点，试求PA PN +的最小值.
【思路引导】（1）过点M 作MG EF ⊥交EF 于G ，连结NG ，通过证明平面//MNG 平面BCF 得线面平行；
（2）将平面EFCD 绕EF 旋转到与ABFE 在同一平面内，则当点A 、P 、N 在同一直线上时，PA PN +最小.
【典例2】【2021山西省大同市大同一中期末模拟】
已知梯形ABCD 中，//AD BC ，2ABC BAD π
∠=∠=，24AB BC AD ===，E ，F 分别是AB ，CD
上的点，//EF BC ，AE x =，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF （如图）．
（1）当2x =时，①证明：EF ⊥平面ABE ；②求二面角D BF E --的余弦值；
（2）三棱锥D FBC -的体积是否可能等于几何体ABE FDC -体积的49
？并说明理由． 【思路引导】（1）①可证,EF AE EF BE ⊥⊥，从而得到EF ⊥平面ABE .②如图，在平面AEGD 中，过D 作DG EF ⊥且交EF 于G .在平面DBF 中，过D 作DH BF ⊥且交BF 于H ，连接GH .可证DHG ∠为二面角D BF E --的平面角，求出DG 和GH 的长度后可求二面角的余弦值.
（2）若存在，则5=4
B ADFE D BF
C V V --，利用体积公式可得关于x 的方程，解方程后可得2x =，故假设成立.
【典例3】【北京市昌平区2020届模拟】
如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点（点E 与B 1不重合），且EH ∥A 1D 1. 过
EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ．
（I ）证明：AD ∥平面EFGH ；
（II ） 设AB=2AA 1="2" a .在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机选取一点．记该点取自几何体A 1ABFE-D 1DCGH 内的概率为p ，当点E ，F 分别在棱A 1B 1上运动且满足EF=a 时，求p 的最小值.
【针对训练】
1. 【2021·浙江省杭州市第一中学高三上学期月考】
（高三专题练习）设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的球面上，PAB ∆是面积为33的等边三角形，AC BC ⊥，AC BC =，且平面PAB ⊥平面ABC .
（1）求球O 的表面积；
（2）证明：平面POC ⊥平面ABC ，且平面POC ⊥平面PAB .
（3）与侧面PAB 平行的平面α与棱AC ，BC ，PC 分别交于D ，E ，F ，求四面体ODEF 的体积的最大值.
【思路引导】（1）先取AB 的中点G ,连接PG .根据AC BC ⊥,得出ABC ∆的外心为G .再因为PA PB =,则PG AB ⊥.平面PAB ⊥平面ABC ,平面PAB ⋂平面ABC AB =,所以PG ⊥平面ABC ,球心O 在PG 上.得出O 是线段PG 上靠近点G 的一个三等分点.然后求出球的半径R ,则得出球的表面积为. （2）根据O 在PG 上,则PO ⊥平面ABC ,又PO ⊂平面POC ,则有平面POC ⊥平面ABC .再证平面PAB ⊥平面ABC ,所以有CG ⊥平面PAB ,又CG ⊂平面POC ,即可证得平面POC ⊥平面PAB . （3）先求C 到平面PAB 的距离H .设()01CD CA λλ=<<,C 到平面DEF 的距离为h .由平面PAB 平面DEF ,得到三角形相似DEF ABP ∆∆,则可得DEF ∆的面积,求出3h λ=,得到O 到平面DEF 的距
33λ,则四面体ODEF 的体积()231V λλ=-.转化为函数,利用导函数求得最大值.
2．【安徽省安庆市2020届模拟】
如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，2,3AB EB ==.
（1）求证：DE ⊥平面ADC ；
（2）设AC x =，(x)V 表示三棱锥B ACE -的体积，求函数(x)V 的解析式及最大值.
【思路引导】
（1）要证（1）要证DE ⊥平面ADC ，需证BC ⊥平面ADC ，需证DC BC BC AC ⊥⊥，,用综合法书写即可．
（2）由（1）可知BE ⊥平面ABC ，所以体积为
13
ABC BE S ⨯,2 43AC x BC x EB =-，，均值不等式求解最大值．
3．【2021山东省菏泽市菏泽一中模拟测试】
如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，12AA =，由顶点B 沿棱柱侧面经过棱1AA 到顶点1C 的最短路线与1AA 的交点记为M ，求：
（1）三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2）求该最短路线的长及1A M AM
的值； （3）三棱锥1C ABM -体积.
【思路引导】（1）由正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形求解.
（2）将侧面11AA B B 绕棱1AA 旋转120使其与侧面11AAC
C 在同一平面上，点B 运动到点
D 的位置，连接1DC 交于M ，则1DC 即为所求；然后由DMA △≌11C MA 求解1A M AM
； （3）根据1//CC 平面ABM ，利用等体积法，由1C ABM C ABM M ABC V V V ---==求解.
4．【北京市城六区2019届高三模拟】
已知三棱锥P ABC -（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 2ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：
(I)证明：平面PAC ⊥平面ABC ;
(Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值；
(Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足
CM CP
λ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BN BP 的取值范围．
【思路引导】
⊥，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得第一问取AC中点O，根据等腰三角形的性质求得PO AC
⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立PO OB
空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值μ与λ的关系式，利用函数的有关知识求得结果.
参考答案
【典例1】【20218·陕西西安市·长安一中】
如图，已知三棱柱BCF ADE -的侧面CFED 与ABFE 都是边长为1的正方形，M 、N 两点分别在AF 和CE 上，且AM EN =.
（1）求证：//MN 平面BCF ；
（2）若点N 为EC 的中点，点P 为EF 上的动点，试求PA PN +的最小值.
【思路引导】（1）过点M 作MG EF ⊥交EF 于G ，连结NG ，通过证明平面//MNG 平面BCF 得线面平行；
（2）将平面EFCD 绕EF 旋转到与ABFE 在同一平面内，则当点A 、P 、N 在同一直线上时，PA PN +最小.
【解析】（1）过点M 作MG EF ⊥交EF 于G ，连结NG ，则CN FM FG NE MA GE
==， ∴//NG CF
又NG ⊄面BCF ，CF ⊂面BCF ，∴//NG 面BCF ，
同理可证//MG 面BCF ，又⋂=MG NG G ，∴平面//MNG 平面BCF ，
∵MN ⊂平面MNG ，//MN 面BCF .
（2）如图将平面EFCD 绕EF 旋转到与ABFE 在同一平面内，
则当点A 、P 、N 在同一直线上时，PA PN +最小，
在AEN 中，∵135AEN ∠=，1AE =，22NE = 由余弦定理得2222cos135AN AE EN AE EN =+-⋅，
∴102AN =，即()min 102
PA PN +=.
【典例2】【2021山西省大同市大同一中期末模拟】
已知梯形ABCD 中，//AD BC ，2ABC BAD π
∠=∠=，24AB BC AD ===，E ，F 分别是AB ，CD
上的点，//EF BC ，AE x =，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF （如图）．
（1）当2x =时，①证明：EF ⊥平面ABE ；②求二面角D BF E --的余弦值；
（2）三棱锥D FBC -的体积是否可能等于几何体ABE FDC -体积的49
？并说明理由． 【思路引导】（1）①可证,EF AE EF BE ⊥⊥，从而得到EF ⊥平面ABE .②如图，在平面AEGD 中，过D 作DG EF ⊥且交EF 于G .在平面DBF 中，过D 作DH BF ⊥且交BF 于H ，连接GH .可证DHG ∠为二面角D BF E --的平面角，求出DG 和GH 的长度后可求二面角的余弦值.
（2）若存在，则5=4B ADFE D BFC V V --，利用体积公式可得关于x 的方程，解方程后可得2x =，故假设成立.
【解析】（1）①在直角梯形ABCD 中，因为2ABC BAD π∠=∠=
，故,DA AB BC AB ⊥⊥， 因为//EF BC ，故EF AB ⊥.
所以在折叠后的几何体中，有,EF AE EF BE ⊥⊥，
而AE BE E =，故EF ⊥平面ABE .
②如图，在平面AEFD 中，过D 作DG EF ⊥且交EF 于G . 在平面DBF 中，过D 作DH BF ⊥且交BF 于H ，连接GH .
因为平面AEFD ⊥平面EBCF ，平面AEFD ⋂平面EBCF EF =， DG ⊂平面AEFD ，故DG ⊥平面EBCF ，
因为BF ⊂平面EBCF ，故DG BF ⊥，而DG DH D =， 故BF ⊥平面DGH ，又GH ⊂平面DGH ，故GH BF ⊥， 所以DHG ∠为二面角D BF E --的平面角，
在平面AEFD 中，因为,AE EF DG EF ⊥⊥，故//AE DG ， 又在直角梯形ABCD 中，//EF BC 且()132EF BC AD =
+=， 故//EF AD ，故四边形AEGD 为平行四边形，
故2DG AE ==，1GF =
在直角三角形BEF 中，2tan 3BFE ∠=
，因BFE ∠为三角形内角， 故sin 13BFE ∠=，故1sin 13
GH BFE =⨯∠=， 故2tan 13213DHG ∠=
=，因DHG ∠为三角形内角，故14cos DHG ∠=. 所以二面角D BF E --的平面角的余弦值为1414
.
（2）若三棱锥D FBC -的体积等于几何体ABE FDC -体积的49， 则9=4B ADFE D BFC D BFC V V V ---+即5=4
B ADFE D BF
C V V --.
由（1）的证明可知，DG ⊥平面BEFC ，
同理可证BE
⊥平面AEFD ，AE DG =. 故113B ADFE V BE S -=⨯⨯，其中1S 为直角梯形ADFE 的面积. 而1133
D BFC BCF BCF V DG S A
E S -=⨯⨯=⨯⨯， 在直角梯形ABCD 中，过D 作BC 的垂线，与,E
F BC 分别交于,M N ， 则24FM x =，故2x FM =，所以22
x FE =+，
所以21112242222x x S x x ⎛⎫⎛⎫=++⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 所以()()22111444432262B ADFE
x x V x x x x -⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又()1242
BCF S BE BC x =⨯⨯=-， 故()1243D BFC V x x -=⨯⨯-，所以()()215144246243x x x x x ⎛⎫⨯-⨯+=⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭， 解得2x =，
故当2AE =时，三棱锥D FBC -的体积等于几何体ABE FDC -体积的
49
. 【典例3】【北京市昌平区2020届模拟】
如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点（点E 与B 1不重合），且EH ∥A 1D 1. 过
EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ．
（I ）证明：AD ∥平面EFGH ；
（II ） 设AB=2AA 1="2" a .在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机选取一点．记该点取自几何体A 1ABFE-D 1DCGH 内的概率为p ，当点E ，F 分别在棱A 1B 1上运动且满足EF=a 时，求p 的最小值.
【思路引导】
解法一：
（I ） 证明：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥A 1D 1
又∵EH ∥A 1D 1，∴AD ∥EH.
∵AD ￠平面EFGH EH 平面EFGH
∴AD//平面EFGH.
（II ） 设BC=b ，则长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V=AB·
AD·AA 1=2a 2b ， 几何体EB 1F-HC 1G 的体积V 1=（1/2EB 1 ·
B 1F ）·B 1
C 1=b/2·EB-1·B 1 F ∵EB 12+ B 1 F 2=a 2
∴EB 12+ B 1 F 2≤ （EB 12+ B 1 F 2）/2 = a 2 / 2,当且仅当EB-1=B 1 F=22a 时等号成立 从而V 1≤ a 2b /4 . 故 p=1-V 1/V ≥22412a b a b
-=78 解法二：
（I ） 同解法一
（II ） 设BC=b ，则长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V=AB·
AD·AA 1=2a 2b ， 几何体EB 1F-HC 1G 的体积
V 1=（1/2 EB-1·B 1 F ）·B 1C 1=b/2 EB-1·B 1 F
设∠B 1EF=θ（0°≤θ≤90°），则EB-1=" a" cosθ，B 1 F ="a" sinθ
故EB-1·B 1 F = a 2sinθcosθ=，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.
从而214
a b V ≤
∴p=1- V 1/V≥22412
a b a b
-=78，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立. 所以，p 的最小值等于7/8
【针对训练】
1. 【2021·浙江省杭州市第一中学高三上学期月考】
（高三专题练习）设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的球面上，PAB ∆是面积为33的等边三角形，AC BC ⊥，AC BC =，且平面PAB ⊥平面ABC .
（1）求球O 的表面积；
（2）证明：平面POC ⊥平面ABC ，且平面POC ⊥平面PAB .
（3）与侧面PAB 平行的平面α与棱AC ，BC ，PC 分别交于D ，E ，F ，求四面体ODEF 的体积的最大值.
【思路引导】（1）先取AB 的中点G ,连接PG .根据AC BC ⊥,得出ABC ∆的外心为G .再因为PA PB =,则PG AB ⊥.平面PAB ⊥平面ABC ,平面PAB ⋂平面ABC AB =,所以PG ⊥平面ABC ,球心O 在PG 上.得出O 是线段PG 上靠近点G 的一个三等分点.然后求出球的半径R ,则得出球的表面积为.
（2）根据O 在PG 上,则PO ⊥平面ABC ,又PO ⊂平面POC ,则有平面POC ⊥平面ABC .再证平面PAB ⊥平面ABC ,所以有CG ⊥平面PAB ,又CG ⊂平面POC ,即可证得平面POC ⊥平面PAB . （3）先求C 到平面PAB 的距离H .设()01CD CA λλ=<<,C 到平面DEF 的距离为h .由平面PAB 平面DEF ,得到三角形相似DEF ABP ∆∆,则可得DEF ∆的面积,求出3h λ=,得到O 到平面DEF 的距
33λ,则四面体ODEF 的体积()231V λλ=-.转化为函数,利用导函数求得最大值.
【解析】（1）解：取AB 的中点G ,连接PG .
因为AC BC ⊥,所以ABC ∆的外心为G .
因为PA PB =,所以PG AB ⊥.
又平面PAB ⊥平面ABC ,平面PAB ⋂平面ABC AB =,所以PG ⊥平面ABC ,
所以O 在PG 上.
因为PAB ∆是等边三角形,所以O 是线段PG 上靠近点G 的一个三等分点. 由题意得23334AB =,解得23AB =, 所以球O 的半径32223R AB =
⨯⨯=,球O 的表面积为2416R ππ⨯=. （2）证明：因为O 在PG 上,所以PO ⊥平面ABC ,
又PO ⊂平面POC ,所以平面POC ⊥平面ABC .
连接CG ,则CG AB ⊥,又平面PAB ⊥平面ABC ,所以CG ⊥平面PAB ,
又CG ⊂平面POC ,所以平面POC ⊥平面PAB .
（3）解：因为23AB =,所以C 到平面PAB 的距离3H =.
设()01CD CA λλ=<<,C 到平面DEF 的距离为h .
因为平面PAB 平面DEF ,所以DEF ABP ∆∆,则DEF ∆的面积为233λ.
又3h λ=,所以O 到平面DEF 的距离为33λ
-, 所以四面体ODEF 的体积()()2213333313O DEF V V λλλλ-==
⨯⨯-=-. 设()()()23101f λλλλ=-<<,()()323f λλλ'=-,
当203x <<
时,()0f λ'>；当213x <<时,()0f λ'<. 所以()max 2439
f f λ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 即四面体ODEF 的体积的最大值为
49.
2．【安徽省安庆市2020届模拟】
如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，2,3AB EB ==.
（1）求证：DE ⊥平面ADC ；
（2）设AC x =，(x)V 表示三棱锥B ACE -的体积，求函数(x)V 的解析式及最大值.
【思路引导】
（1）要证（1）要证DE ⊥平面ADC ，需证BC ⊥平面ADC ，需证DC BC BC AC ⊥⊥，,用综合法书写即可．
（2）由（1）可知BE ⊥平面ABC ，所以体积为
13
ABC BE S ⨯,2 43AC x BC x EB =-，，均值不等式求解最大值．
详解：(1)证明：∵四边形DCBE 为平行四边形,∴CD ∥BE ,BC ∥DE .
∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC .
∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ，且DC ∩AC =C .
∴BC ⊥平面ADC .
∵DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ADC ；
(2)∵DC ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ABC .
在Rt △ABE 中,AB =2,EB =3√.
在Rt △ABC 中,∵AC =x ,BC =4−x 2−−−−−√(0<x <2).
∴S △ABC =12AC ⋅BC =12x ⋅4−x 2−−−−−√，
∴V (x )=VE −ABC =3√6x ⋅4−x 2−−−−−√,(0<x <2).
∵x 2(4−x 2)⩽(x 2+4−x 22)2=4,当且仅当x 2=4−x 2,即x =2√时，取等号，
∴x =2√时,体积有最大值为3√3.
3．【2021山东省菏泽市菏泽一中模拟测试】
如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，12AA =，由顶点B 沿棱柱侧面经过棱1AA 到顶点1C 的最
短路线与1AA 的交点记为M ，求：
（1）三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2）求该最短路线的长及1A M AM
的值； （3）三棱锥1C ABM -体积.
【思路引导】（1）由正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形求解.
（2）将侧面11AA B B 绕棱1AA 旋转120使其与侧面11AAC
C 在同一平面上，点B 运动到点
D 的位置，连接1DC 交于M ，则1DC 即为所求；然后由DMA △≌11C MA 求解1A M AM
； （3）根据1//CC 平面ABM ，利用等体积法，由1C ABM C ABM M ABC V V V ---==求解.
【解析】（1）因为正三棱柱111ABC A B C -的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形， 2262210+=
（2）将侧面11AA B B 绕棱1AA 旋转120使其与侧面11AAC
C 在同一平面上， 点B 运动到点
D 的位置，连接1DC 交于M ，
则1DC 是由顶点B 沿棱柱侧面经过棱1AA 到顶点1C 的最短路线， 其长为2222114225D DC C CC =
+=+=， ∵DMA △≌11C MA ，∴1AM AM =，故11A M AM
=； （3）∵1//CC 平面ABM ，
∴1C ABM C ABM M ABC V V V ---==，
111323332ABC S AM =⋅=⨯⨯=4．【北京市城六区2019届高三模拟】
已知三棱锥P ABC -（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 2ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：
(I)证明：平面PAC ⊥平面ABC ;
(Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值；
(Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足
CM CP
λ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BN BP 的取值范围．
【思路引导】
第一问取AC 中点O ，根据等腰三角形的性质求得PO AC ⊥，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得PO OB ⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值μ与λ的关系式，利用函数的有关知识求得结果.
（Ⅰ）方法1：
设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意 2PA PB PC ==1PO =，1AO BO CO ===
因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点
所以PO AC ⊥，
因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，2PB =
所以PO OB ⊥
因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC
所以PO ⊥平面ABC
因为PO ⊂平面PAC
所以平面PAC ⊥平面ABC
方法2：
设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .
因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点
所以PO AC ⊥，
因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO ==
所以POA ∆≌POB ∆≌POC ∆
所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒
所以PO OB ⊥
因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC
所以PO ⊥平面ABC
因为PO ⊂平面PAC
所以平面PAC ⊥平面ABC
方法3：
设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =， 所以PO AC ⊥
设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB .
因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点
所以OQ AB ⊥.
因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点
所以PQ AB ⊥.
因为PQ OQ Q ⋂=，,PQ OQ ⊂平面OPQ
所以AB ⊥平面OPQ
因为OP ⊂平面OPQ
所以OP AB ⊥
因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC
所以PO ⊥平面ABC
因为PO ⊂平面PAC
所以平面PAC ⊥平面ABC
（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则
()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P 由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为()0,1,0OB = 由()1,1,0BC =-，()1,0,1PC =-
设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则
由0
0n BC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得：00
x y x z -=⎧⎨-=⎩ 令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n = 3cos ,31n OB
n OB n OB ⋅===⋅⋅由二面角A PC B --是锐二面角，
所以二面角A PC B --的余弦值为3
（Ⅲ）设BN BP μ=，01μ≤≤，则
()()()1,1,01,0,11,1,BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=-- ()()()1,1,00,1,11,1,AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=- 令0BM AN ⋅=
得()()()11110λμλμ-⋅+-⋅-+⋅= 即1111λ
μλλ
==-++，μ是关于λ的单调递增函数， 当12,33λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,45μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， 所以
12,45BN BP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。