1718正方体的性质及其应用
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(1)(2)(3) ． 其中正确结论的序号是________
(资料P45:例3)
栏目 导引
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
五.课堂小结
性质1:若正方体棱长为 a ，外接球直径为 AC1 3a. 性质2:平面A1BD // 平面D1B1C. 性质3: AC1
平面A1BD,
AC1 平面D1B1C. Ａ1 1 性质4: AE EF FC1 AC1. E 3 Ｄ 性质5: E是A1 BD的中心, F是D1 B1C的中心.
求证：平面ACC′A′⊥平面A′BD．(资料P42:跟踪训练1) 证明：在正方体ABCD-A′B′C′D′中， A′A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴A′A⊥BD． ∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD． 由于A′A∩AC＝A， ∴BD⊥平面ACC′A′. 而BD⊂平面A′BD， ∴平面ACC′A′⊥平面A′BD．
栏目 导引
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
一.课前预习检测
练一练：如图，已知 P 是 △ABC 所在平面外一点， PA，PB，PC两两互相垂直，H是△ABC的垂心． 求证：PH⊥平面ABC．
栏目 导引
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
练一练：如图，已知 P是 △ABC 所在平面外一点， PA ， PB， PC 两两互
(参见资料P43:例3)
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
四.变式训练
练一练：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1， 过 A 点作平面 A1BD 的垂线，垂足为点 H ，有下列 三个结论： (1)点H是△A1BD的中心． (2)AH垂直于平面CB1D1. (3)AC1与B1C所成的角是90°.
(资料P40:例3)
∵AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC且AB∩BC＝B，
∴PH⊥平面ABC．
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
二.正方体的性质探索
性质1:若正方 体棱长为 a ， 则面对角 线 AC 2a 体线对角 AC1 3a .
Ｄ1 Ａ1 Ｄ Ａ Ｂ Ｂ1
Ｃ1
Ｃ
正方体外接球直径为AC1 3a.
Ｄ1
性质3:与正方体 Ａ1 Ｂ1 一条体对角线 AC1 的两个顶点分别 Ｄ Ｃ 相连的三个顶点 所在的平面与这 Ａ Ｂ 条体对角线垂直. 即 AC1 平面A1BD, AC1 平面D1B1C.
栏目 导引
Ｃ1
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
二.正方体的性质探索
性质4:与正方体 O1 一条体对角线 AC1 Ａ1 F 的两个顶点分别 E Ｄ 相连的三个顶点 O 所在的平面把这 Ａ 条体对角线三等 1 分.即 AE EF FC1 AC1.
[解] 如图，连接 BC 1 交 B 1C 于点 O， 连接 A1O .因为 A1 B1⊥B 1C 1，A 1B1 ⊥B1B， 所以 A1B 1⊥平面 BCC 1B1， 所以 A1B 1⊥BC 1 .又因为 BC1⊥B1C， 所以 BC1 ⊥平面 A 1B 1CD ． 所以 A1O 为斜线 A 1B 在平面 A1 B1CD 内的射影，∠BA 1 O 为 A1B 与平面 A1 B1CD 所成的角． 设正方体的棱长为 a，在 Rt △A1BO 中，A 1B ＝ 2a， 2 1 BO＝ a，所以 BO ＝ A1B ，∠BA 1O＝30°. 2 2 因此，直线 A1 B 和平面 A1 B1 CD 所成的角为 30°.
栏目 导引
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
二.正方体的性质探索
Ｄ1
性质2:与正方体 一条体对角线 AC1 的两个顶点分别 相连的三个顶点 所在的平面平行.
Ｃ1
Ａ1
Ｄ Ａ
Ｂ1
Ｃ Ｂ
即 平面A1BD // 平面D1B1C.
(参见课本P57:例2)
栏目 导引
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
二.正方体的性质探索
Ａ
Ｄ1
O1 F
O Ｂ Ｂ1
Ｃ1
Ｃ
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ห้องสมุดไป่ตู้ 第二章
点、直线、平面之间的位置关系
六．作业布置
必做：课本P78:A5 选做：课本P79:B2.
栏目 导引
相垂直，H是△ABC的垂心．求证：PH⊥平面ABC．
[证明] ∵PC⊥AP，PC⊥BP，AP∩BP＝P，
AP⊂平面APB，BP⊂平面APB,
∴PC⊥平面APB． ∵AB⊂平面APB，∴PC⊥AB． 连接CH，∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB． ∵PC∩CH＝C，PC⊂平面PHC，CH⊂平面PHC， ∴AB⊥平面PHC． ∵PH⊂平面PHC，∴AB⊥PH. 同理可证PH⊥BC．
栏目 导引
O1
Ｃ1
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
三.例题解析
例 1 ：如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， 求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．
O
栏目 导引
例 1 ：如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求直线 A1B 和
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
平面A1B1CD所成的角．(课本P66资料P40:例2)
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点、直线、平面之间的位置关系
三.例题解析
例2：如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中， 求证：平面ACC′A′⊥平面A′BD．
思路1：由性质3可知
AC′ 平面A′ BD
思路2：由正方体性质可知
BD⊥平面ACC′A′
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点、直线、平面之间的位置关系
三.例题解析
例2：如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，
外 心． (2)若 PA＝PB＝PC，则点 O 是△ABC 的________ 解析：(1)∵PA＝PB＝PC， Ｐ Ｐ ∴ OA＝ OB＝OC（斜线相等，射影 相等,可利用三角形全等或勾股定理 证明）．又∵∠C＝90°， ∴O点是AB边的中点． ＡＡ O O (2)∵PA＝PB＝PC， 则OA＝OB＝OC， Ｃ Ｃ ∴O是△ABC的外心．
Ｂ Ｂ
图 图 21
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
一.课前预习检测 课本P67练习2 3若PA PB, PB PC, PC PA,
则O是△ABC的_____心．
解析：(3)∵ PA PB, PC PA, Ｐ
且PC PB P, PA 平面PBC, Ｂ Ａ O 又 BC 平面PBC, PA BC, Ｃ 又 PO BC, 且PO PA P， 图2 BC 平面PAO, 又 AO 平面PAO, AO BC, 同理BO AC, CO AB， ∴O是△ABC的垂心．
Ｄ1
Ｃ1 Ｂ1 Ｃ Ｂ
3
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点、直线、平面之间的位置关系
二.正方体的性质探索
Ｄ1
性质5:与正方体 Ａ1 Ｂ1 F 一条体对角线 AC1 E Ｄ Ｃ 的两个顶点分别 O 相连的三个顶点 Ａ Ｂ 所在的平面与这 条体对角线的交 即E是A1 BD的中心, 点是各对应三角 F 是 D B C 的中心 . 1 1 形的中心.
3pbpa?papc?bcppa平面??pb?ppc?且bcpbc平面又??bc??pa且又ppapobco????pbc??aoaopbc平面??同理abcoacb??oaopao平面又????3papcpcpbpbpa???若则o是是abc的心
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
正方体的性质及其应用
正方体是空间图形 中特殊且内涵丰富的几 Ｄ1 何图形之一，是长方体 的特殊情况，是我们最 Ａ1 熟悉的一种几何体．正 方体的性质也是我们应 Ｄ 该熟知的知识，也是高 考中经常要考查的知识 Ａ 点．那么正方体的性质 有哪些呢？
Ｃ1 Ｂ1
Ｃ Ｂ
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
一.课前预习检测
1．过△ ABC 所在平面 α 外一点 P，作 PO⊥α，垂足为 O， 连接 PA，PB，PC． ∠C＝90° (1)若 PA＝PB＝PC， ， 则点 O 是 AB 边的________ 中 点；
(资料P45:例3)
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
五.课堂小结
性质1:若正方体棱长为 a ，外接球直径为 AC1 3a. 性质2:平面A1BD // 平面D1B1C. 性质3: AC1
平面A1BD,
AC1 平面D1B1C. Ａ1 1 性质4: AE EF FC1 AC1. E 3 Ｄ 性质5: E是A1 BD的中心, F是D1 B1C的中心.
求证：平面ACC′A′⊥平面A′BD．(资料P42:跟踪训练1) 证明：在正方体ABCD-A′B′C′D′中， A′A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴A′A⊥BD． ∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD． 由于A′A∩AC＝A， ∴BD⊥平面ACC′A′. 而BD⊂平面A′BD， ∴平面ACC′A′⊥平面A′BD．
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
一.课前预习检测
练一练：如图，已知 P 是 △ABC 所在平面外一点， PA，PB，PC两两互相垂直，H是△ABC的垂心． 求证：PH⊥平面ABC．
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
练一练：如图，已知 P是 △ABC 所在平面外一点， PA ， PB， PC 两两互
(参见资料P43:例3)
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
四.变式训练
练一练：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1， 过 A 点作平面 A1BD 的垂线，垂足为点 H ，有下列 三个结论： (1)点H是△A1BD的中心． (2)AH垂直于平面CB1D1. (3)AC1与B1C所成的角是90°.
(资料P40:例3)
∵AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC且AB∩BC＝B，
∴PH⊥平面ABC．
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
二.正方体的性质探索
性质1:若正方 体棱长为 a ， 则面对角 线 AC 2a 体线对角 AC1 3a .
Ｄ1 Ａ1 Ｄ Ａ Ｂ Ｂ1
Ｃ1
Ｃ
正方体外接球直径为AC1 3a.
Ｄ1
性质3:与正方体 Ａ1 Ｂ1 一条体对角线 AC1 的两个顶点分别 Ｄ Ｃ 相连的三个顶点 所在的平面与这 Ａ Ｂ 条体对角线垂直. 即 AC1 平面A1BD, AC1 平面D1B1C.
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Ｃ1
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
二.正方体的性质探索
性质4:与正方体 O1 一条体对角线 AC1 Ａ1 F 的两个顶点分别 E Ｄ 相连的三个顶点 O 所在的平面把这 Ａ 条体对角线三等 1 分.即 AE EF FC1 AC1.
[解] 如图，连接 BC 1 交 B 1C 于点 O， 连接 A1O .因为 A1 B1⊥B 1C 1，A 1B1 ⊥B1B， 所以 A1B 1⊥平面 BCC 1B1， 所以 A1B 1⊥BC 1 .又因为 BC1⊥B1C， 所以 BC1 ⊥平面 A 1B 1CD ． 所以 A1O 为斜线 A 1B 在平面 A1 B1CD 内的射影，∠BA 1 O 为 A1B 与平面 A1 B1CD 所成的角． 设正方体的棱长为 a，在 Rt △A1BO 中，A 1B ＝ 2a， 2 1 BO＝ a，所以 BO ＝ A1B ，∠BA 1O＝30°. 2 2 因此，直线 A1 B 和平面 A1 B1 CD 所成的角为 30°.
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
二.正方体的性质探索
Ｄ1
性质2:与正方体 一条体对角线 AC1 的两个顶点分别 相连的三个顶点 所在的平面平行.
Ｃ1
Ａ1
Ｄ Ａ
Ｂ1
Ｃ Ｂ
即 平面A1BD // 平面D1B1C.
(参见课本P57:例2)
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点、直线、平面之间的位置关系
二.正方体的性质探索
Ａ
Ｄ1
O1 F
O Ｂ Ｂ1
Ｃ1
Ｃ
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ห้องสมุดไป่ตู้ 第二章
点、直线、平面之间的位置关系
六．作业布置
必做：课本P78:A5 选做：课本P79:B2.
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相垂直，H是△ABC的垂心．求证：PH⊥平面ABC．
[证明] ∵PC⊥AP，PC⊥BP，AP∩BP＝P，
AP⊂平面APB，BP⊂平面APB,
∴PC⊥平面APB． ∵AB⊂平面APB，∴PC⊥AB． 连接CH，∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB． ∵PC∩CH＝C，PC⊂平面PHC，CH⊂平面PHC， ∴AB⊥平面PHC． ∵PH⊂平面PHC，∴AB⊥PH. 同理可证PH⊥BC．
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O1
Ｃ1
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
三.例题解析
例 1 ：如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， 求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．
O
栏目 导引
例 1 ：如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求直线 A1B 和
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
平面A1B1CD所成的角．(课本P66资料P40:例2)
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
三.例题解析
例2：如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中， 求证：平面ACC′A′⊥平面A′BD．
思路1：由性质3可知
AC′ 平面A′ BD
思路2：由正方体性质可知
BD⊥平面ACC′A′
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点、直线、平面之间的位置关系
三.例题解析
例2：如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，
外 心． (2)若 PA＝PB＝PC，则点 O 是△ABC 的________ 解析：(1)∵PA＝PB＝PC， Ｐ Ｐ ∴ OA＝ OB＝OC（斜线相等，射影 相等,可利用三角形全等或勾股定理 证明）．又∵∠C＝90°， ∴O点是AB边的中点． ＡＡ O O (2)∵PA＝PB＝PC， 则OA＝OB＝OC， Ｃ Ｃ ∴O是△ABC的外心．
Ｂ Ｂ
图 图 21
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
一.课前预习检测 课本P67练习2 3若PA PB, PB PC, PC PA,
则O是△ABC的_____心．
解析：(3)∵ PA PB, PC PA, Ｐ
且PC PB P, PA 平面PBC, Ｂ Ａ O 又 BC 平面PBC, PA BC, Ｃ 又 PO BC, 且PO PA P， 图2 BC 平面PAO, 又 AO 平面PAO, AO BC, 同理BO AC, CO AB， ∴O是△ABC的垂心．
Ｄ1
Ｃ1 Ｂ1 Ｃ Ｂ
3
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
二.正方体的性质探索
Ｄ1
性质5:与正方体 Ａ1 Ｂ1 F 一条体对角线 AC1 E Ｄ Ｃ 的两个顶点分别 O 相连的三个顶点 Ａ Ｂ 所在的平面与这 条体对角线的交 即E是A1 BD的中心, 点是各对应三角 F 是 D B C 的中心 . 1 1 形的中心.
3pbpa?papc?bcppa平面??pb?ppc?且bcpbc平面又??bc??pa且又ppapobco????pbc??aoaopbc平面??同理abcoacb??oaopao平面又????3papcpcpbpbpa???若则o是是abc的心
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
正方体的性质及其应用
正方体是空间图形 中特殊且内涵丰富的几 Ｄ1 何图形之一，是长方体 的特殊情况，是我们最 Ａ1 熟悉的一种几何体．正 方体的性质也是我们应 Ｄ 该熟知的知识，也是高 考中经常要考查的知识 Ａ 点．那么正方体的性质 有哪些呢？
Ｃ1 Ｂ1
Ｃ Ｂ
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
一.课前预习检测
1．过△ ABC 所在平面 α 外一点 P，作 PO⊥α，垂足为 O， 连接 PA，PB，PC． ∠C＝90° (1)若 PA＝PB＝PC， ， 则点 O 是 AB 边的________ 中 点；