第7课时 与椭圆有关的弦长问题

题型二：中点弦问题
例2、已知椭圆
过点P(2,1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：（1）当斜率不存在时，显然不合题意
（2）当斜率存在时，
韦达定理→中点坐标→斜率 方程组思想判别式法：利用韦达定理及中点坐标公式来处理
题型三：中点弦问题
例 2、已知椭圆
过点P(2,1)引一弦，使弦在这点被
当x1≠x2时，
根与系数关 系
可推广到任意二次曲线
弦长公式：
| AB |
1 k 2 | xA xB |
1 1 k2 | yA yB |
当x1=x2时， | AB || yA yB |
题型一：弦长公式
例1：已知斜率为1的直线l 过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
的右焦点，
解 :由椭圆方程知 : a2 4,b2 1, c2 3.
复习回顾 直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离
2.判别方法：方程组思想判别式法
联立直线与椭圆的方程组成方程组 消元得到一个二元一次方程：
通法
(1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点；
(2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点；
(3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
探究
弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
平分,则这条弦所在的直线方程是___x___2__y___4____0___.
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法； 方程组思想，判别式法
2、弦长的计算方法：
弦长公式： |AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
11 Biblioteka 2·（y1y2）4
y1
y2
（适用于任何曲线）
3、中点弦问题的处理方法： （1）方程组思想，判别式法； （2）差分法；
36 9
么这弦所在直线方程为（
）
A、x-2y=0
D
B、x+2y- 4=0
C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0
2、过椭圆 x2+2y2=4 1的6 左焦点作倾斜角为300的直线，
则弦长 |AB|= _____5__ ,
3、过椭圆 x2 y2 1 内一点 M(2,1) 引一条弦,使弦被点 M 16 4
右焦点F ( 3, 0). 直线l方程为: y x 3.
y x 3
由 x2 4
设A( x1
y2 , y1),
消y整理得：5x
1
B(x2 , y2 )
则
x1
x2
2
8
83 5
3x 8 0
x1
x2
8 5
AB
1 k 2 x1 x2
1 k2
(x1 x2 )2 4x1 x2
8 5
思考题： 试确定实数 m 的取值范围,使得椭圆 x2 y2 1 上
43 存在关于直线 y 2x m 对称的点.
分析：存在直线y 1 x b与椭圆交与两点， 2
且两交点的中点在直线y 2x m上。
解: 假设椭圆上存在关于直线y 2x m对称的两点A, B
则AB两点的直线可设为：y 1 x b 2
平分，求此弦所在直线的方程.
作差
因式分解
显然x1≠x2
差分法：利用弦的端点在曲线上，坐标满足方程，作差通 过因式分解构 造出中点坐标和斜率．
归纳
中点弦问题的处理方法： （1）方程组思想，判别式法； （2）差分法；
均体现了设而 不求的思想！
课堂练习
1、如果椭圆被 x2 y2 1 的弦被（4，2）平分，那