非对称损失函数下Burr XII型分布可靠性指标的Bayes估计

非对称损失函数下Burr XII型分布可靠性指标的Bayes估计史建红;关丽娜
【摘要】Suppose Χ and Y are two independent but not identically distributed Burr-type XD random variables. The problem of Bayes estimation of P(Y < X) is considered under two asymmetric loss functions. Explicit approximation of the Bayes estimators are also derived based on Lindley's approximation method. A simulation study is conducted to investigate and compare the performance of the Bayes estimators obtained under different loss functions.%本文研究了R=P(Y＜X)在两种非对称损失函数下的Bayes估计问题,其中随机变量X和Y相互独立且服从不同的Burr XII型分布.利用Lindley近似方法,获得了Bayes估计的显式近似表达式,通过随机模拟比较了不同损失函数下的Bayes估计的性质.
【期刊名称】《数学杂志》
【年(卷),期】2012(032)001
【总页数】8页(P121-128)
【关键词】Burr XII型分布;Bayes估计;LINEX损失函数;GE损失函数;Lindley近似算法
【作者】史建红;关丽娜
【作者单位】山西师范大学数学与计算机科学学院,山西临汾041004;山西师范大学数学与计算机科学学院,山西临汾041004
【正文语种】中文
【中图分类】O212.8
双参数Burr XII型分布[1]在社会科学,经济科学,环境科学,保险精算学等诸多领域内有广泛的应用.双参数BurrⅫ型分布,记为Burr(c,k),其概率密度函数和分布函数分别为
对于Burr(c,k)分布,文献[2]分别在完全数据和删失数据下获得了参数的极大似然估计和区间估计;文献[3]研究了当参数的先验分布选取连续型分布时,参数的贝叶斯估计问题;文献[4]中选取c的先验分布为离散型分布,而k的先验分布为连续型分布,得到了参数的贝叶斯估计;文献[5]利用删失数据,采用线性指数损失函数获得了参数的经验贝叶斯估计.
针对Burr X型分布,文献[6]在非对称损失函数下研究了可靠性指标R=P(Y＜X)的Bayes估计问题.事实上在可靠性问题中经常会遇到估计寿命分布的可靠性指标
R=P(Y＜X)的估计问题,例如,文献[7]和[8]分别研究了正态分布和伽玛分布情况下,可靠性指标R的估计问题;文献[9]和[10]研究了指数分布和二维指数分布情况下,可靠性指标R的估计问题.下文将研究双参数Burr XII型分布的可靠性指标R的Bayes估计问题,考虑到在许多实际问题中,正误差(过高估计)与负误差(过低估计)所引起的损失并不相同,因此本文在以下两种非对称损失函数下研究双参数Burr XII 型分布可靠性指标的Bayes估计问题.
定义1.1 LINEX损失函数[11]:令△=-u表示估计u的估计误差,则LINEX损失函数为如下的凸函数
其中a是该损失函数的尺度参数.
定义1.2 GE损失函数[12]:设eu为参数u的一个估计,则GE损失函数为
当q=1时,GE损失函数为熵损失函数;当q＞0时,过高估计造成的后果比过低估计
造成的后果严重.
引理1.1 在LINEX损失函数下,u的Bayes估计为其中Eu(·)代表后验分布的均值. 引理1.2 在GE损失函数下,u的Bayes估计为其中Eu(·)代表后验分布的均值.
以上两个引理的证明分别见文献[11]和[12].
设随机变量X,Y相互独立且分别服从Burr(c,k1)分布和Burr(c,k2)分布,其中
c,k1,k2为参数.于是
可以看出,R只与参数k1,k2有关,而与参数c无关.
假设X1,X2,…,Xn和Y1,Y2,…,Ym 分别为来自总体X 和Y 的一组样本.当c已知时,由文献[13]知R的极大似然估计为
文献[13]在参数c为一指定的正的常数,且参数k1和k2的先验分布分别为k1～Γ(ν1,µ1), k2～Γ(ν2,µ2), µi＞0,νi＞ 0,i=1,2 的假设下,在平方损失函数下获得了 R 的Bayes估计为
下面我们采用与文献[13]同样的先验分布假设,计算在非对称损失函数LINEX损失函数和GE损失函数下R的Bayes估计.
定理 2.1 设X1,X2,…,Xn和Y1,Y2,…,Ym 分别为来自独立总体 Burr(c,k1)和
Burr(c,k2)的样本.c已知且c＞ 0,k1和k2的先验分布分别为k1～Γ(ν1,µ1), k2～Γ(ν2,µ2), µi＞0,νi＞ 0,i=1,2.则
(1)在LINEX损失函数下R的Bayes估计为
(2)在GE损失函数下R的Bayes估计为
其中T1和T2由(2.5)式定义.
证由于k1～Γ(ν1,µ1),k2～Γ(ν2,µ2),通过计算得(k1,k2)的联合后验密度函数为进一步计算可获得R的后验密度函数为
(1)由引理1.1知,在LINEX损失函数下R的Bayes估计为
由(2.4),(2.6)和(2.7)可以看出,利用Bayes估计方法得到的R估计结果都是积分形
式,无法得到显式解,不利于应用.下一节我们利用文献[14]提出的Lindley近似方法对和进行近似计算.
文献[14]考虑了如下形式的积分比的近似计算
其中λ ≡ (λ1,...,λN),L(λ)是似然函数的对数形式,ω(λ)和g(λ)是λ 的任意函数.假设g(λ)是λ 的先验密度函数,ω(λ)=U(λ)g(λ).则给定x ≡ (x1,x2,...,xn)的时候,U(λ)的后验期望为
其中ρ(λ)=logeg(λ),Q(λ)=L(λ)+ ρ(λ) 为λ 后验分布的对数形式. 将ρ(λ),L(λ) 关于λ的极大似然估计展成泰勒形式或者把Q(λ)关于λ的后验均值展开,Lindley得到了E[U(λ)|x]的近似表达式.
于是,由(3.6)式及Lindley近似方法可以导出:
(1)在平方损失函数下,R的Bayes估计为
(2)在LINEX损失函数下,R的Bayes估计为
(3)在GE损失函数下,R的Bayes估计为
注意到R的贝叶斯估计与先验分布中的参数有关,因此还需给出这些参数的估计.本文采取文献[13]中的方法,取先验分布中的参数分别为
为了比较R的极大似然估计和平方损失函数,LINEX损失函数和GE损失函数下的贝叶斯估计,我们采用Monte Carlo方法进行模拟.模拟步骤如下:
(1)由U(0,1),独立抽取n个随机数u1,…,un.
(2)对于给定的c,k1,通过计算i=1,2,…,n得到服从Burr(c,k1)分布的样本.
(3)同理,我们得到服从Burr(c,k2)分布的样本yi,i=1,2,…,m.
(4)代入公式(2.3)便可得到极大似然估计 bR1.给定参数a,q,代入公式(3.10),(3.11)和(3.12)便可以得到R在平方损失函数,LINEX损失函数和GE损失函数下的贝叶斯估计的近似值.
(5)对于不同(n,m),上述步骤重复1000次,然后计算误差和(-R)2.进而,计算估计的平
均值和均方误差.
所得结果分别列于表1–4中.表1和2分别显示不同参数下R的各种估计的平均值和均方误差,括号内为相应的均方误差.表3和4显示不同参数a,q下,R的各种估计的均方误差.
通过对表1–4的分析,我们发现采用近似方法计算的贝叶斯估计的平均值比较接近于真值.另外,贝叶斯估计的均方误差明显小于极大似然估计的均方误差,在此意义下,贝叶斯估计优于极大似然估计.表3和4显示R在LINEX损失函数和GE损失函数下的贝叶斯估计对参数a,q非常敏感.因此,我们可以根据实际问题来灵活选取参数.通过选用非对称损失函数,解决了我们在实际问题中对过高估计还是过低估计侧重点不同的问题.尤其是在可靠性问题中,非对称损失函数往往优于对称损失函数.
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