怎么求两个面相交于一线的那根线的方程

怎么求两个面相交于一线的那根线的方程这个问题可以使用向量法或者解析几何法来求解。

下面分别介绍两种方法。

一、向量法：
假设有两个平面：$A:ax+by+cz+d_{1}=0$和$B:ax+by+cz+d_{2}=0$，它们相交于一条直线L。

为了求解L的方程，我们需要求出L上一点$P$和L的方向向量$\boldsymbol{v}$。

1.求解L上一点P：
考虑用系数表示法，将平面方程化简为向量形式：
$$\mathbf{n_{1}} \cdot \mathbf{r}+d_{1}=0$$
$$\mathbf{n_{2}} \cdot \mathbf{r}+d_{2}=0$$
其中$\mathbf{n_{1}}=(a,b,c)$和$\mathbf{n_{2}}=(a,b,c)$分别是平面A 和B的法向量，$\mathbf{r}=(x,y,z)$表示任意一点。

由于直线L在两个平面上，因此$L\perp\mathbf{n_{1}}$和
$L\perp\mathbf{n_{2}}$。

因此L的方向向量$\boldsymbol{v}$就是
$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{n_{1}}\times \boldsymbol{n_{2}}$。

然后我们可以随便选取平面上的一个点$P_{0}$，求出该点到两个平面的距离分别为$d_{1}$和$d_{2}$。

于是可以得到一个方程组：
$$\left\{\begin{array}{l} a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}+d_{1}=0 \\ a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}+d_{2}=0 \end{array}\right.$$
解该方程组，即可求得$P_{0}$点的坐标$(x_{0},y_{0},z_{0})$。

2.求解L的方向向量：
由于$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{n_{1}}\times \boldsymbol{n_{2}}$，因此可以求得L的方向向量$\boldsymbol{v}$。

3.求解L的方程：
已知L上的一点$P_{0}$和方向向量$\boldsymbol{v}$，则L的参数方程为：
$$\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r_{0}}+t\boldsymbol{v}=(x_{0}+tv_{x},y _{0}+tv_{y},z_{0}+tv_{z})$$
将该参数方程化简即可得到L的标准方程。

二、解析几何法：
假设有两个平面：$A:ax+by+cz+d_{1}=0$和$B:ax+by+cz+d_{2}=0$，它们相交于一条直线L。

为了求解L的方程，我们需要求出L上一点$P$和L的方向向量$\boldsymbol{v}$。

1.求解L上一点P：
先将两个平面的方程表示为一般式：
$$A x+B y+C z+D_{1}=0$$
$$A x+B y+C z+D_{2}=0$$
其中$A=a,B=b,C=c,D_{1}=d_{1},D_{2}=d_{2}$。

我们将两个平面的一般式相减，得到一个新的平面的一般式：
$$(D_{1}-D_{2})+A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0$$
其中$(x_{0},y_{0},z_{0})$是L上的一个点。

这是一个点法式方程，可以直接将$\boldsymbol{n}=(A,B,C)$作为L的方向向量。

为了求解$(x_{0},y_{0},z_{0})$，我们先将第一个平面方程中的(x,y,z)代入第二个平面方程中，然后解出$(x_{0},y_{0},z_{0})$，即可求得L
上的一点$P$。

2.求解L的方向向量：
由于$\boldsymbol{n}=(A,B,C)$，即可求得L的方向向量
$\boldsymbol{v}$。

3.求解L的方程：
已知L上的一点$P_{0}$和方向向量$\boldsymbol{v}$，则L的参数方程为：
$$\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r_{0}}+t\boldsymbol{v}=(x_{0}+tv_{x},y _{0}+tv_{y},z_{0}+tv_{z})$$
将该参数方程化简即可得到L的标准方程。

综上所述，求解两个面相交于一条直线的方程，可以使用向量法或者解析几何法。

无论用哪种方法，都需要先求解出L上的一个点$P$和L 的方向向量$\boldsymbol{v}$。

然后通过参数方程化简即可求解L的标准方程。