2013年高考数学典型题选编-导数

2013年全国高考数学试题分类汇编之导数与积分（曹吉龙编）一、选择题1 ．（2013年湖北卷）已知a 为常数,函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <,则 （ ）A ．121()0,()2f x f x >>- B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><-D ．121()0,()2f x f x <>-2 ．（2013新课标Ⅱ）已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（ ）A ．0x ∃∈R,0()0f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形 C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减 D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =3 ．（2013江西卷）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为（ ）A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<4 ．（2013辽宁数学设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， （ ） A ．有极大值,无极小值B ．有极小值,无极大值 C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值5 ．（2013福建）设函数()f x 的定义域为R,00(0)x x ≠是()f x 的极大值点,以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点6 ．（2013北京）直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A ．43B ．2C ．83D 7 ．（2013浙江）已知e 为自然对数的底数,设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ,则（ ）A ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值B ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值二、填空题8 ．（2013年高考江西卷（理））设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且()x x f e x e =+,则/(1)f =______________9 ．（2013年高考湖南卷（理））若209,Tx dx T =⎰则常数的值为_________.10．（2013年广东省数学（理）卷）若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.三、解答题11．（2013新课标Ⅱ卷数学（理））已知函数)ln()(m x e x f x+-=.(Ⅰ)设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)当2m ≤时,证明()0f x >.12．（2013辽宁数学（理）试题）已知函数()()()[]321,12cos .0,12e xx f x x g x ax x x x -=+=+++∈当时，(I)求证:()11-;1x f x x≤≤+ (II)若()()f x g x ≥恒成立,求实数a 取值范围.13．（2013江苏卷）设函数ax x x f -=ln )(,ax ex g x-=)(,其中a 为实数.(1)若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数,且)(x g 在),1(+∞上有最小值,求a 的取值范围; (2)若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数,试求)(x f 的零点个数,并证明你的结论.14．（2013广东省（理））设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .15．（2013年高考江西卷（理））已知函数1()=(1-2-)2f x a x ,a 为常数且>0a . (1) 证明:函数()f x 的图像关于直线1=2x 对称; (2) 若0x 满足00(())=f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为函数()f x 的二阶周期点,如果()f x 有两个二阶周期点12,,x x 试确定a 的取值范围; (3) 对于(2)中的12,x x 和a , 设x 3为函数f(f(x))的最大值点,A(x 1,f(f(x 1))),B(x 2,f(f(x 2))),C(x 3,0),记△ABC 的面积为S(a),讨论S(a)的单调性.16．（2013重庆数学（理））设()()256ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.(1)确定a 的值; (2)求函数()f x 的单调区间与极值.17．（2013年四川卷）已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩,其中a 是实数.设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <. (Ⅰ)指出函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,求21x x -的最小值; (Ⅲ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围.18．（2013年高考湖南卷（理））已知0a >,函数()2x af x x a-=+.(I)记[]()0,4f x a 在区间上的最大值为g(),求a g()的表达式;(II)是否存在a ,使函数()y f x =在区间()0,4内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由.19．（2013年福建数学（理））已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈(1)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程; (2)求函数()f x 的极值.20．（2013年高考新课标1（理））(本小题满分共12分)已知函数()f x =2x ax b ++,()g x =()x e cx d +,若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P(0,2),且在点P 处有相同的切线42y x =+ (Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值;(Ⅱ)若x ≥-2时,()f x ≤()kg x ,求k 的取值范围.21．（2013年高考湖北卷（理））设n 是正整数,r 为正有理数.(I)求函数()()1()111(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值;(II)证明:()()11111111r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++;(III)设x R ∈,记x ⎡⎤⎢⎥为不小于x 的最小整数,例如22=⎡⎤⎢⎥,4π=⎡⎤⎢⎥,312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥.令S =+++,求S ⎡⎤⎢⎥的值. (参考数据:4380344.7≈,4381350.5≈,43124618.3≈,43126631.7≈)22．（2013年高考陕西卷（理））已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 若直线y =kx +1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值; (Ⅱ) 设x >0, 讨论曲线y =f (x) 与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数.(Ⅲ) 设a <b , 比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小, 并说明理由. 23．（2013年山东数学（理）试题）设函数2()x x f x c e=+(e =2.71828是自然对数的底数,c R ∈).(Ⅰ)求()f x 的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于x 的方程ln ()x f x =根的个数.24．（2013年浙江数学（理）试题）已知R a ∈,函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f(1)求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程;(2)当]2,0[∈x 时,求|)(|x f 的最大值.25．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x xλ++-+(I)若0x ≥时,()0f x ≤,求λ的最小值; (II)设数列{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n=+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明： 26．（2013年天津数学（理））已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<. 27．（2013年高考北京卷（理））设L 为曲线C:ln xy x=在点(1,0)处的切线. (I)求L 的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线L 的下方.。