高中三年级数学一轮复习同步检测试题

山东省滕州市善国中学2016-2017学年高三一轮复习数学同步检测试题
第I 卷（选择题）
一、选择题
1.设集合A={x|2x ≤4}，集合B={x|y=lg （x ﹣1）}，则A∩B 等于（ ） A ．（1，2） B ．[1，2]
C ．[1，2）
D ．（1，2]
2.若集合{|21}x A x =>，集合{|lg 0}B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.已知函数f(x)在实数集R 上具有下列性质：①f(x+2)=−f(x)；②f(x+1)是偶函数；③当x 1≠x 2∈时，(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)<0，则f(2011),f(2012),f(2013)的大小关系为（ ） A 、f(2011)> f(2012)> f(2013) B 、f(2012)> f(2011)> f(2013) C 、f(2013)>f(2011)>f(2012) D 、f(2013)> f(2012)>f(2011)
4.设函数()f x 的图像关于点(1,2)对称，且存在反函数1()f x -,若(4)0f =，则1(4)f -=（ ） A ．0
B ．4
C ．2-
D ．2
5.已知定义在R 上的奇函数)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，当01<≤-x 时，
)(log )(2
1x x f --=，则方程02
1
)(=-
x f 在)6,0(内的零点之和为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．16
6.已知y=f （x ）是奇函数，当x ＜0时，f （x ）=x 2+ax ，且f （3）=6，则a 的值为（ ） A ．5
B ．1
C ．﹣1
D ．﹣3
7.等比数列{}n a 的各项均为正数，且299a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++＝（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．2＋3log 5
8.设数列{}n a 满足121,3,a a ==且112(1)(1),n n n na n a n a -+=-++则20a 的值是（ ）
9.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50︒的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65︒，那么B 、C 两点间的距离是（ ） A 、10
海里 B 、10
海里 C 、20
里 D 、20
海里
10.在ΔABC 中，若(tanB+tanC)=tanBtanC −1，则sin2A=（ ）
A 、−
2 B 、2 C 、−12 D 、12
11.设非零向量、
、满足
，则向量
与向量的夹角为（ ）
A ．150°
B ．120°
C ．60°
D ．30°
12.若实数，满足约束条件
,则的取值范围是
A ．
B ．
C ．
D ．
13.如图是某几何体的三视图（单位：cm ），正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆，侧视图是直角梯形．则该几何体的体积等于
A. 28 πcm 3
B. 14πcm 3
C. 7πcm 3
D. 56πcm 3
14.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入 的整数i 的最大值为
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
15.函数f （x ）=x 3+4x+5的图象在x=1处的切线在x 轴上的截距为（ ） A ．10 B ．5
C ．﹣1
D ．
第II 卷（非选择题）
二、填空题
16.如图，在边长为1的正方形OABC 中任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为 ．
17.曲线()2
3f x x x
=
+在点()()1,1f 处的切线方程为 . 18.已知函数f （x ）是定义在R 上的可导函数，其导函数记为f′（x ），若对于任意的实数x ，有f （x ）＞f′（x ），且y=f （x ）﹣1是奇函数，则不等式f （x ）＜e x 的解集为 ．
19.定积分
（2x+e x ）dx ．
20.已知函数f （x ）=x 3+（1﹣a ）x 2﹣a （a+2）x （a ∈R ）在区间（﹣2，2）不单调，则a 的取值范围是 ． 三、解答题
21.已知函数2()e ()x f x x ax -=+在点(0,(0))f 处的切线斜率为2． （1）求实数a 的值；
（2）设3
()(e g x x x t t =---∈R ）()，若()()g x f x ≥对[0,1]x ∈恒成立，求t 的取值范围；
（3）已知数列{}n a 满足11a =，11
(1)n n a a n
+=+，
求证：当2,n n ≥∈N 时 11213()()()62e n a a a f f f n n n n -⎛⎫
+++<⋅+ ⎪⎝⎭
（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈)．
22.（本题满分12分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．
已知函数2())2sin ()()612f x x x x R ππ
=-+-∈． （1）化简并求函数()f x 的最小正周期； （2）求使函数()f x 取得最大值的x 集合． 23.
已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，且abc=1． （Ⅰ）证明：（1+a ）（1+b ）（1+c ）≥8； （Ⅱ）证明
：
．
24.（本小题满分13分）
如图4，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，侧面是正方形，0
60=∠DAB ，E 是棱
CB 的延长线上一点，经过点A 、1C 、E 的平面交棱1BB 于点F ，BF F B 21=．
⑴求证：平面⊥E AC 1平面11B BCC ； ⑵求二面角C AC E --1的平面角的余弦值．
25.市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快.已知每投放a （14a ≤≤，且a R ∈）个单位的洗衣液在一定量水 的洗衣机中，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （分钟）变化的
函数关系式近似为()y af x =，其中()()()16
1048.154102
x x
f x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩.若多次投放，则某一时刻水中
的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用.
（1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可能达几分钟？
（2）若第一次投放个2单位的洗衣液，6分钟后再投放a 个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求a 的最小值（精确到0.1，参考数据
取1.4）.
试卷答案
1.D
【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．
【分析】解指数不等式求出集合A ，求出对数函数的定义域即求出集合B ，然后求解它们的交集． 【解答】解：A={x|2x ≤4}={x|x ≤2}， 由x ﹣1＞0得x ＞1
∴B={x|y=lg （x ﹣1）}={x|x ＞1} ∴A∩B={x|1＜x ≤2} 故选D ． 2.B
试题分析：{
}
{}0|12|>=>=x x x A x
，{}{}1|0lg |>=>=x x x x B ，由A x ∈不能推出B x ∈，
由B x ∈能推出A x ∈，“A x ∈”是“B x ∈”的必要不充分条件，故答案为B. 考点：充分条件、必要条件的判断. 3.D
试题分析：由(2)()f x f x +=-得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以函数是以4为周期的周期函数，又(1)f x +是偶函数，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，即()(2)f x f x =-，由
()()2121()()0f x f x x x --<可知函数()f x 在区间[1,3]上是减函数，
(2012)(4503)(0)(2)f f f f =⨯==，(2011)(45023)(3)f f f =⨯+=，(2013)(45031)(1)f f f =⨯+=，
所以(1)(2)(3)f f f >>，即(2013)(2012)(2011)f f f >>，故选D. 考点：函数的单调性、奇偶性与周期性. 4.C
试题分析：根据题意可知点(4,0)在函数()f x 的图像上，结合着图像的对称性，可知点(2,4)-在函数的图像上，所以有(2)4f -=，所以有1(4)f -=2-，故选C. 考点：函数的图像的对称性，反函数. 5.C
【知识点】函数图象零点与方程
【试题解析】因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x);所以当
时，
，
得到：时，所以令得:
又的图象关于直线
对称，
所以
所以
所以函数的周期为4。

所以令，得：
故方程在内的零点之和为：12．
6.A
【考点】函数奇偶性的性质． 【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】推出f （﹣3）的值代入函数表达式可得a ． 【解答】解：∵y=f（x ）是奇函数，且f （3）=6， ∴f（﹣3）=﹣6， ∴9﹣3a=﹣6． 解得a=5． 故选A ．
【点评】考查了奇函数的性质，属于基础题． 7.B
试题分析：由299a a ⋅=知2919a q ⋅=，所以，3132310
log log log a a a ++
+
1012...931231031log (...)log ()a a a a a q +++=⋅⋅⋅⋅=⋅9(19)10
29552
31313log []log ()log 910a q
a q ⨯+=⋅=⋅==，选B .
考点：1.等比数列及其性质；2.对数的运算法则. 8.D
【知识点】数列的递推关系 【试题解析】由题知：
故
所以
9.A
试题分析：如下图所示，由题意可知，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，1
40202
AB =⨯
=，所以1801053045C ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理得sin sin BC AB
BAC C
=
∠∠，
所以sin sin AB
BC BAC C
=
⨯∠=∠，故选A.
考点：正弦定理. 10.B
试题分析：tan )tan tan 1B C B C +=-得tan tan tan()1tan tan B C B C B C ++=
=-，又因
为,B C 为三角形内角，所以150B C +=︒，30,260A A =︒=︒，所以sin 2A =
，故选B. 考点：三角恒等变换. 11.C
【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用．
【分析】由+=可得﹣=，两边平方，结合向量的数量积的性质和定义，即可得到所求夹
角．
【解答】解：设||=||=||=t ，
由+=可得﹣=，
平方可得，（﹣）2=
2，
即有||2+||2﹣2•=||2，
即为2•=||2=t 2，
即有2t 2cos ＜，＞=t 2，
即为cos ＜，＞=，
则向量
与向量的夹角为60°．
故选：C ．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．
12.C 13.B
试题分析：由三视图可得几何体是下底面为半径等于4的半圆面，上底面为半径等于1的半圆面，高等于4的圆台的一部分，因此该几何体的体积()
ππ14444113
1
2122=⋅+⋅+⋅⋅=V ，故答案为B. 考点：由三视图求体积. 14.B
试题分析：第一次执行循环体后，1,2==n S ，继续执行循环体，第二次执行循环体后，
2,5==n S ，继续执行循环体，第三次执行循环体后，3,10==n S ，继续执行循环体，第四次
执行循环体后，4,19==n S
，在直线循环体，输出的值大于20，不符合题意，i 的最大值4，故答案为B. 考点：程序框图的应用. 15.D
【考点】导数的几何意义． 【专题】计算题．
【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，由此求得切线的斜率值，再根据x=1求得切点的坐标，最后结合直线的方程求出切线在x 轴上的截距即得． 【解答】解：∵f（x ）=x 3+4x+5，∴f′（x ）=3x 2+4， ∴f′（1）=7，即切线的斜率为7， 又f （1）=10，故切点坐标（1，10），
∴切线的方程为：y ﹣10=7（x ﹣1），当y=0时，x=﹣，
切线在x 轴上的截距为﹣， 故选D ．
【点评】本小题主要考查导数的几何意义、直线方程的概念、直线在坐标轴上的截距等基础知识，属于基础题．
16.1
3
试题分析：根据题意，
可以求得阴影部分的面积为
3
1231
2
211
)()|
333
S x dx x x
==-=
⎰，故该
点落在阴影部分中的概率为
1
1
3
13 P==.
考点：几何概型.
17.40
x y-+=
18.（0，+∞）
【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据条件构造函数令g（x）
=，由求导公式和法则求出g′（x），根据条件判断出g′（x）的符号，得到函数g（x）的单调性，再由奇函数的结论：f（0）=0求出g（0）的值，将不等式进行转化后，利用g（x）的单调性可求出不等式的解集．
【解答】解：由题意令g（x）
=，
则
=，
∵f（x）＞f′（x），
∴g′（x）＜0，
即g（x）在R上是单调递减函数，
∵y=f（x）﹣1为奇函数，
∴f（0）﹣1=0，即f（0）=1，g（0）=1，
则不等式f（x）＜e x等价为＜1=g（0），
即g（x）＜g（0），
解得x＞0，
∴不等式的解集为（0，+∞），
故答案为：（0，+∞）．
【点评】本题主要考查导数与函数的单调性关系，奇函数的结论的灵活应用，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想．19.e
【考点】定积分．
【专题】导数的综合应用．
【分析】直接利用定积分运算法则求解即可．
【解答】解：（2x+e x）dx=（x2+e x）=1+e﹣1=e．
故答案为：e．
【点评】本题考查定积分的运算法则的应用，考查计算能力．
20.
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】综合题；导数的综合应用．
【分析】由题意可得f′（x ）=3x 2+（2﹣2a ）x ﹣a （a+2）=0在区间（﹣2，2）上有解，再利用二次函数的性质分类讨论求得a 的范围．
【解答】解：由题意可得f′（x ）=3x 2+（2﹣2a ）x ﹣a （a+2）=0在区间（﹣2，2）上有解，
故有
①，或 f′（﹣2）f （2）＜0 ②．
可得，a 的取值范围是．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查函数的单调性与导数的关系，二次函数的性质应用，属于中档题． 21.（1）2=a ；（2）1≥t ；（3）证明略.
试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()()0,0f 处的切线方程，注意这个点的切点，利用导数的几何意义求切线的斜率()20='f ；（2）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）
()x f a ≥恒成立()max x f a ≥⇔，（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔；（3）利用导数方法证明
不等式()()x g x f >在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数()()()x g x f x h -=，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数()0>x h ，其中一个重要的技巧就是找到函数()x h 在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式；（4）定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”.
试题解析：（1）22()e ()e (2)e (2)x x x f x x ax x a x ax x a ---'=-+++=-+--，…………………1分 由(0)()2f a '=--=，得2a =．…………………………………………3分 （2）2()e (2)x f x x x -=+．
（3）∵11
(1)n n a a n
+=+，
∴11n n a n a n ++=，又11a =， ∴2n ≥时，3
2112
123112
1
n n n a a a n
a a n a a a n -=⋅
⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅⋅
=-，对1n =也成立， ∴n a n =．……………………………10分 ∵当[0,1]x ∈时，2()e (2)0x f x x -'=-->， ∴()f x 在[0,1]上单调递增，且()(0)0f x f ≥=．
又∵1()i f n n
⋅(11,)i n i ≤≤-∈N 表示长为()i
f n ，宽为1n 的小矩形的面积，
∴1
1()()i n i n
i
f f x dx n n +⋅<⎰(11,)i n i ≤≤-∈N ， ∴111201112
1()()(
)()()(
)()n a a
a n f f f f f f f x dx n n n
n n n n
n --⎡⎤⎡⎤
+++=+++<⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎰．…… 12分
又由（2），取1t =，得23
()()(1)e
f x
g x x x ≤=-++，
∴1132
1
0011313
()()(1)32e
62e
f x dx
g x dx x x ≤=-++=
+⎰⎰，
∴112113()()()62e
n f f f n n n n -⎡⎤+++<+⎢⎥⎣⎦， ∴11213()()()62e n a a a f f f n n n n -⎛⎫
+++<⋅+ ⎪⎝⎭
．…………………………………………14分
考点：1、导数的几何意义；2、恒成立的问题；3、证明不等式.
22.（1）T π= （2）5|,12
x x k k Z p
p 禳镲
=+?睚
镲铪
考
点：余弦的倍角公式，辅助角公式，函数的周期，函数取最大值时自变量的取值情况. 23.
【考点】不等式的证明． 【专题】推理和证明． 【分析】（Ⅰ）利用
，相乘即可证明结
论．
（Ⅱ）利用
，
，
，
，相加证明即可．
【解答】证明：（Ⅰ）
，
相乘得：（1+a ）（1+b ）（1+c ）≥8abc=8．
实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，且abc=1．（1+a ）（1+b ）（1+c ）≥8﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）
，
，
，
，
相加得：
﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查综合法证明不等式的方法的应用，考查逻辑推理能力．
24.（1）证明见解析；（2. 试题分析：（1）要证明面面垂直，要先证明线面垂直，即在一个平面内找一条直线与另一平面垂直，题中直四棱柱有平面11BCC B ⊥平面ABCD ，因此平面ABCD 内与BC 垂直的直线必定与平面11BCC B 垂直，因此我们想要找的垂线可能是待证平面1AEC 与平面ABCD 的交线AE ，下面只要证明；AE ⊥平面11BCC B 即可；（2）要求二面角，可根据二面角定义作出其平面角，由（1）只要作CH ⊥1EC 于H ，则CH ⊥平面1AEC ，作1CG AC ⊥，垂足为G ，连GH ，便可得到
HGC ∠为所求的平面角，也可建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角.
试题解析：⑴设四棱柱1111D C B A ABCD -的棱长为a ∵BF F B 21=，F C B 11∆∽BEF ∆，∴2
a
BE =
……1分 由ABE DAB ∠==∠060，0
120=∠ABC ，得2
3a
AE =
，a AC 3=……2分 ∵2
3a CE =
，∴2
22AC CE AE =+，CE AE ⊥……3分
1111D C B A ABCD -是直四棱柱，ABCD C C ⊥1，又ABCD AE ⊂，∴AE C C ⊥1，∵C CC CE =1 ，∴⊥AE 平面11B BCC ……4分
∵⊂AE 平面E AC 1，∴平面⊥E AC 1平面11B BCC ……5分
⑵（方法一）过C 作1AC CG ⊥于G ，F C CH 1⊥于H ，连接GH ……6分 由平面⊥E AC 1平面11B BCC ，平面 E AC 1平面E C B BCC 111=，
⊥CH 平面E AC 1……7分
∴1AC CH ⊥，又1AC CG ⊥，C CH CG = ，∴⊥1AC 平面CGH ，GH AC ⊥1，CGH ∠是二面角C AC E --1的平面角……9分 在1ACC Rt ∆中，a AC 3=
，a CC =1，a AC 21=，a CG 2
3
=
，在1ECC Rt ∆中，a CE 2
3
=
，a CC =1，a EC 2131=，a CH 13133=（a CG 23=、a CH 13133=求得任何一个给2分，两个全对给3分）……12分
a CH CG GH 263922=
-=，13
13cos ==∠CG GH CGH ……13分 （方法二）以E 为原点，EC 、EA 所在直线为x 轴、y 轴，平行于1BB 的直线1EE 为z 轴建立空间直角坐标系……6分，则
)0 , 0 , 0(E ，)0 , 23
, 0(a A ，) , 0 , 2
3
(1a a C ……7分 设平面1EAC 的一个法向量为) , , ( r q p n =，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=⋅==⋅0
23 023
1ar ap EC n aq n ……9分， 即⎩⎨
⎧=+=0
230r p q ，不妨取)3 , 0 , 2( -=n ……10分，由⑴知)0 , 0 , 21
(a B ，
)0 , 23
, (a a D ……11分，平面11B BCC 的一个法向量为)0 , 2
3
, 21(1a a BD n ==……12分， 二面角C AC E --1的平面角的余弦值13
13
cos 11=
=
θ……13分
考点：（1）面面垂直；（2）二面角.
25.。