湖北省黄冈市麻城市实验高中2020届高三第四次模拟考试数学(理)试卷

理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．已知集合{}
)1ln(-==x y x A ，{}
)12>=x x B ，则B A I =
A ．),1[+∞
B ．),1(+∞
C ．),0(+∞
D ．)1,0(
2．复数z 满足1)2
321(=+-
z i ，则z 的共轭复数为 A ．
i 2321+ B ．i 2321+- C ．i 2321-- D ．i 2
321- 3.设a 1
1
32411
log 2,(),()23b c ===,则a,b,c 的大小关系为
A.a>b>c
B. c>b> a
C. b>a >c
D. b>c> a
4．如图，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（2，4）．函数2
)(x x f =，若在矩形ABCD 内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为 A ．
31 B ．21 C ．32 D ．12
5
5．3
4
)21()1(x x -+展开式中6x 的系数为
A ．20
B ．20-
C ．44
D ．40 6．某多面体的三视图如图所示，该多面体的各个面中有若干个是三角形，这些三角形的面积之和为
A ．16
B ．12
C ．248+
D ．648+ 7．已知函数2)6
(sin 2)6(cos )(22++-+=π
π
x x x f ．则关于它有关性质的说法中，正确的是（ ）
A ．周期为π2
B ．将其图象向右平移6
π
个单位，所得图象关于y 轴对称
C ．对称中心为))(0,2
12
(
Z k k ∈+
ππ
D ．]20[π
，上单调递减
8．函数()()
2
2x
f x x x e =-的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．为推进长三角一体化战略，长三角区域内5个大型企业举办了一次协作论坛．在这5个
企业董事长A ，B ，C ，D ，E 集体会晤之前，除B 与E ，D 与E 不单独会晤外，其他企业董事长两两之间都要单独会晤．现安排他们在正式会晤的前两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多只进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有（ ） A ．48种 B ．36种 C ．24种 D ．8种
10．已知函数f （x ）的定义域为R ．其图象关于原点成中心对称，且当x ＞0时
1)(--=x e x f x ，则不等式2
ln
)1(e
x f ≤-的解集为（ ） A ．]12ln ,12ln [++- B ．]12ln ,12ln [---
C ．),2(ln )2ln ,(+∞--∞Y
D ．),()0,(+∞-∞e Y
11.已知P,A,B,C 是半径为3的球面上四点,其中PA 过球心,2,23,AB BC AC ===则三棱锥P- ABC 的体积是
.3 .22B 26
.
C 215
D 12.已知斜率为k(k >0)的直线l 过抛物线2:6C y x =的焦点F,与抛物线C 交于A,B 两点,过
A,B 作x 轴的垂线,垂足分别为11,.A B 若
1
1
2,ABB ABA S S =V V 则直线l 的斜率k 等于
A.1 .3B
22.C
5.D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量|a |=3，|b |=2，|2a +b |=72，则a ，b 的夹角为 ．
14．设x ，y 满足约束条件21030330x y x y x y --≥⎧⎪
+-≤⎨⎪--≤⎩
，则z=3x －2y 的最大值为 ．
15.已知双曲线22
22:1(0)x y C a b a b -=>>的左顶点为A,过A 作双曲线两条渐近线的垂线,垂足分
别为M,N,且4
||||5
MN OA =（O 为坐标原点),则此双曲线的离心率是＿＿＿.
16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C 、D ，使得AC=DB=
1
4
AB ，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图二中的最上方的线段EF 作相同的操作，得到图3中的图形；依式类推，我们就得到了以下一系列图形；
记第n 个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为S n ，若对任意的正整数n ，都有S n ＜9．则正数a 的最大值为 ．
三、填空题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （一）必考题：共60分。

17.（本小题满分12分）
记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34,2n n a S a λ==+
（1）求λ的值以及数列14
log n a ⎧⎫⎨⎬⎩
⎭
前n 项的和n T ；
（2）求证：11
2n
i i
S =<∑
18.（本小题满分12分）
如图1，在多边形ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，
1AB AF BC ===，2AD DE ==，四边形ADEF 为直角梯形，//AF DE ，90DAF ∠=︒．以AD 为折痕把等腰梯形ABCD 折起，使得平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图2所示．
（1）证明：AC ⊥平面CDE ．
（2）求直线CF 与平面EAC 所成角的正切值．
19．（本小题满分12分）
已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的离心率为3，且经过点31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
. （1）求椭圆C 的方程； （2）过点
(
)
3,0作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，试问在x 轴上是否存在定
点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分12分）
某工厂改造一废弃的流水线M，为评估流水线M的性能，连续两天从流水线M生产零件上随机各抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：记抽取的零件直径为X.
第一天
第二天
经计算，第一天样本的平均值165
μ=，标准差
1
2.2.
σ=第二天样本的平均值
2
65
μ=，标准差2 2.
σ=
（1）现以两天抽取的零件来评判流水线M的性能.
（i）计算这两天抽取200件样本的平均值μ和标准差σ（精确到0.01）；
（ii）现以频率值作为概率的估计值，根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的概率），①()0.6826
P X
μσμσ
-<≤+≥；②()
2 20.9544
P X
μσμσ
-<≤+≥；③
()
330.9974
P X
μσμσ
-<≤+≥评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为优；仅满足其中两个，则等级为良；若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格，试判断流水线M的性能等级.
（2）将直径X在(]
2,2
μσμσ
-+范围内的零件认定为一等品，在(]
3,3
μσμσ
-+范围以外的零件认定为次品，其余认定为合格品.现从200件样本除一等品外的零件中抽取2个，设ξ为抽到次品的件数，求ξ分布列及其期望.
2.102
≈ 6.648
≈，21.024
≈；标准差σ=.
21. (本小题满分12分)
已知函数()ln(1)sin .x f x e x a x =+++
(1)当a=0时,求f(x)在(0 f(0))处的切线方程;
(2)若f(x)≥1对任意x ∈[0,π]恒成立,求实数a 的取值范围.
（二）选考题:共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
共60分。

22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y ϕ
ϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．以坐
标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρ=．
（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（2）设P 是曲线1C 上一点，此时参数4πϕ=
，将射线OP 绕坐标原点O 逆时针旋转3
π
交曲线2C 于点Q ，记曲线1C 的上顶点为T ，求OTQ ∆的面积。

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2||3|f x mx x =-+-
（1）若3m =，求不等式()6f x >的解集；
（2）若关于x 的不等式()3f x x -≤解集包含[2,4]，求实数m 的取值范围.
理科数学参考答案
1-6 BDCDBD 7-12 BBAADC
3
2.
13π 9.14
2
5.
15
5
9.
16
17、（1）依题意，由2n n S a λ=+，令1n =，可得112S a λ=+，解得1a λ=-， 令2n =，可得21222S a a a λ=+=+，即222a a λλ-+=+，解得22a λ=-， 令3n =，可得3322a a λλλ--+=+，解得34a λ=-，
又由34a =，即44λ-=，解得1λ=-，所以21n n S a =-，
当1n =时，11a = ；当2n ≥时，可得1121,21n n n n S a S a --=-=-，
两式相减可得122n n n a a a -=-，故12n n a a -=，即1
2n
n a a -=， 故数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，故1
2n n a -=，
所以14
1log 2n n a -=，所以21(1)[]224n n n n n
T n +-=-=
. ..........................6分 （2）由（1）知，21n
n S =-，
当2n ≥，可得
1111212
n n n S -=<-， 则
111121
111111112...1...2212222n
n n n i i n
S S S S --=-
=+++<+++==-<∑..............12分
18、（1）证明：取AD 的中点M ，连接CM ，如下图所示：
1AB AF BC ===，//BC AM ，
由四边形ABCM 为菱形，可知1
2
AM AD =， 在ACD V 中，在90ACD ∠=︒， 所以AC DC ⊥．
又平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD I 平面ADEF AD =，//AF DE ，
90DAF ∠=︒，
所以DE AD ⊥，DE ⊂平面ADEF ，
所以DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以DE AC ⊥，又因为DE DC D ⋂=， 所以AC ⊥平面CDE ． ..........................5分
（2）由平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图取AD 的中点为O ，以O 为原点，以OA 为x 轴，其中y 轴，轴分别在平面ADEF 平面ABCD 中，且与AD 垂直，垂足为O 建立空间直角坐际系O xyz -．
因为()
1,1,0F
，13,0,2C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，()1,2,0E -，()
1,0,0A ，33,0,2CA ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r ，()2,2,0AE =-u u u r ，33,1,2
CF ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r ．
设平面CAE 的法向量(),,n x y z =r ，则00CA n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v
v u u u v v ，即330
220
x z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，
不妨令1x =
，得(n =r ．..........................9分
设直线CF 与平面EAC 所成的角为θ
，则sin 10CF n CF n
θ⋅==
=⋅u u u r r u u u r r ，
所以tan 19
θ=
． ..........................12分 19、【解析】(1)
c
a =，22131a
4b +=，又222a b c -=，
解得2
a 4=，2
b 1=.所以，椭圆C 的方程为2
2x y 14
+= ........................4分
(2)
存在定点Q 3⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.
设直线l
的方程为x my 0+-=，与椭圆C 联立，整理得，(
)2
2
4m y
10+--=.
设()22B x ,y ，
11x x
y y 12
+=，定点()Q t,0.(依题意12t x ,t x )≠≠
则由韦达定理可得，12y y +=
1221y y 4m -=+. ..........................6分 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数.
所以，
1212y y
0x t x t
+=--，即得()()1221y x t y x t 0-+-=.
又11x my 0+=
，22x my 0+=，
所以，
))
122
1y my t y my t 0-+-=，
)
()1212t y y 2my y 0+-=.
从而可得，
)21
t2m0
4m
-
-⋅=
+
，
即()
2m40
-=，
所以，当t=
，即Q,0
3
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
时，直线QA与直线QB恰关于x轴对称成
立. ..........................10分
特别地，当直线l为x
轴时，Q
⎫
⎪⎪
⎝⎭
也符合题意. 综上所述，存在x
轴上的定点
Q
⎫
⎪⎪
⎝⎭
，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称...........................12分
20、【解析】（1）（i）依题意：200个零件的直径平均值为65
μ=由标准差公式得：
第一天：()
100
22
1
1
65100484
i
i
Xσ
=
-==
∑，第二天：()
100
22
2
1
65100400
i
i
Xσ
=
-==
∑，
则()
200
2
2
1
11
65(484400) 4.42
200200
i
i
X
σ
=
=-=+=
∑
故 2.10
σ=≈（注：如果写出
1
(2.202) 2.10
2
σ=+=不给分）.........................3分（ii）由（1）可知：
164
()(62.967.1)0.820.6826
200
P X P X
μσμσ
-<≤+=<≤==≥，
189
(22)(60.869.2)0.9450.9544
200
P X P X
μσμσ
-<≤+=<≤==<，
196
(33)(58.771.3)0.980.9974
200
P X P X
μσμσ
-<≤+=<<==<
仅满足一个不等式，判断流水线M的等级为合格...........................6分
（2）可知200件零件中合格品7个，次品4个，ξ的可能取值为0，1，2，则
2721121(0)55C P C ξ===，117421128(1)55C C P C ξ===，242116(2)55
C P C ξ===， ξ的分布列
6801255555511
E ξ=⋅
+⋅+⋅= .........................12分
21.解：（1）当0a =时，()ln(1)x
f x e x =++，(0)1f ∴= ……………………2分 1'()1
x f x e x =++Q ，0'(0)12k f e ∴==+= ()f x ∴在(0(0))f ，处的切线方程为21y x =+ ……………………4分
（2）Q 当[0,]x π∈时，()ln(1)sin 1x
f x e x a x =+++≥成立
当0a ≥时， []0,sin 0()ln(1)sin ln(1)1x x x x f x e x a x e x π∈∴≥∴=+++≥++≥Q ()1f x ∴≥ ……………………………6分 当0a <时， 1'()cos 1x f x e a x x =+++，令1()cos 1
x g x e a x x =+++， 则21'()sin (1)x g x e a x x =--+，2
11,1,sin 0(1)x e a x x ≥≤-≥+Q '()0()g x g x ∴≥∴在[0,]π上单调递增，即()f x '在[0,]π上单调递增，又'(0)2f a =+ …………………8分
①当 2a ≥-时，'(0)20f a =+≥，()0f x '∴≥'()f x 在[0,]x π∈上单调递增， 则'()f x ≥'(0)20f a =+≥，∴ ()f x 在[0,]x π∈上单调递增；又(0)1f = ()f x ∴≥(0)1f =恒成立 …………………10分 ②当2a <-时，(0)20g a =+<Q ，()0g π> (0)()0g g π∴⋅< (0)()0f f π''∴⋅< '()f x Q 在[0,]π上单调递增，∴存在唯一的零点0(0,)x π∈，使得'()0f x =， ∴当0(0,)x x ∈时，'()0f x <∴ ()f x 在0[0,]x x ∈上单调递减，0()f x <(0)1f = ∴2a <-时，()f x ≥1不恒成立
∴当[0,]x π∈时，()f x ≥1恒成立，则2a ≥- …………………12分
22【解析】（1）由22
cos sin 1ϕϕ+=，--------------------------------------------1分 所以1C 的普通方程为2
212
x y +=，---------------------------2分 由222
x y ρ=+------------------------------------------------------3分 可得222:2C x y +=的直角坐标方程为--------------------4分
（2）设点Q 的横坐标为Q x ，则由已知可得1||||2
OTQ Q S OT x ∆=⋅，
且直角坐标
P ，极坐标)2P θ，
其中sin
θθ==)3Q πθ+，。