8.4 直线、平面垂直的判定和性质

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直线 l 和平面 α 的位置关系 θ 的取值或范围 或 lʊα lʅα θ= l 和 α 斜交 θɪ 0,
个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.
㊀ ㊀ (3) 最小角定理:斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平 面内的直线所成的一切角中㊀ 最小㊀ 的角. 3. 平面与平面垂直的性质定理 αʅ β aʅl 两个平面垂直,则一个平面内 ㊀ 垂直于交线 ㊀ 的直线与另一个 αɘ β = l ï a⊂α
在空间内,从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线
4. 二面角的概念及计算
ý ⇒aʅβ. ï ï þ
角㊀ . 这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
(1) 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 ㊀ 二面 棱为 AB,面分别为 α㊁β 的二面角记作二面角 α - AB - β, 如果
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2. 直线与平面所成的角( 设为 θ)
同㊀ 垂直㊀ 于一个平面的两直线平行. (1) 斜线与平面所成的角的定义:过平面的一条斜线和它在这 (2) 当一条直线垂直于平面时,规定它们所成的角是 ㊀ 直角㊀ ;
l⊂α θ=0
个平面内的㊀ 射影㊀ 所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 的角.
当一条直线和平面平行或在平面内时, 规定它们所成的角为 ㊀0ʎ ㊀
解题导引 由正三角形和面面垂 直的性质得线面垂直 利用线面垂直的 性质得线线垂直 所以 AD 2 + BD 2 = AB 2 ,所以 BDʅAD. 又侧面 PADʅ底面 ABCD,平面 PADɘ底面 ABCD = AD, 所以 BDʅ平面 PAD,所以 BDʅPA. (2) 解法一:如图,取 PD 的中点 M,连接 AM,BM. 因为әPAD 为正三角形,所以 AMʅPD. (2 分) (4 分) (6 分) (8 分)
线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面; 用数学符号表示: 已 知 m⊂α,n⊂α,mɘn = B,lʅm,lʅn,则 lʅα. 2. 点到平面的距离㊁线到面的距离 离,叫做这个点到这个平面的距离. 3. 斜线在平面内的射影 (1) 从平面外一点引平面的一条垂线,这个点和垂足间的距 (2) 一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这 (1) 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线, 过垂足与斜足 (2) 斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
(3) 利用面面平行的性质( aʅα,αʊβ⇒aʅβ) . (4) 利用面面垂直的性质( β ʅ α, α ɘ β = l, a ⊂ α, a ʅ l ⇒ a ʅ
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88 ㊀
5 年高考 3 年模拟㊀ B 版( 教师用书)
是㊀ 直二面角㊀ ,就说这两个平面互相垂直. 记作 αʅβ. 两个平面互相垂直. 符号表示为}⇒βຫໍສະໝຸດ α.二㊁线面㊁面面垂直的性质
对应学生用书起始页码 P180
方法 1㊀ 线面垂直的判定及性质的解题策略
㊀ ㊀ 1. 直线与平面垂直的判定定理的应用, 应注意直线垂直于 平面内两相交直线,解题思路:线线垂直⇒线面垂直. 直⇒线线垂直. 3. 证明直线与平面垂直的常用方法 (1) 利用判定定理. (2) 利用平行线垂直于平面的性质( aʊb,aʅα⇒bʅα) . β) . 2. 直线与平面垂直的性质定理的应用的解题思路: 线面垂 ㊀ ( 2017 浙江名校新高考联盟第四次联考, 19 ) 如图, 在四面体 ABCD 中, 平面 ACD ʅ 平面 BCD,øBCA = 90ʎ , AC = 1, AB = 2,әBCD 为等边三角形. (1) 求证:ACʅ平面 BCD; (2) 求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值.
π 2
(
π 2
)
的直线叫做斜线在这个平面内的射影, 垂足与斜足间的线段叫 做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影. 4. 垂线段和斜线段长定理
ü ï
平面垂直. 符号表示为
段中:(1) 垂线段最短;(2) 射影相等的两条斜线段相等, 两条斜 线段相等,它们的射影也相等;(3) 射影较长的斜线段也较长, 较 长的斜线段的射影也较长. 这就是垂线段和斜线段长定理, 应当 注意:定理中涉及的垂线段和斜线段都是从平面外同一点引出 的,缺少这个条件,结论不成立. 5. 平面与平面垂直 (1) 定义:一般地,平面 α 和 β 相交,如果它们所成的二面角 (2) 判定定理:一个平面经过另一个平面的 ㊀ 一条垂线 ㊀ , 则这 aʅα a⊂β
第八章㊀ 立体几何
87 ㊀
ɦ 8. 4㊀ 直线 ㊁ 平面垂直的判定和性质
对应学生用书起始页码 P179
考点 ㊀ 垂直的判定和性质
一㊁线面㊁面面垂直的判定
1. 直线与平面垂直
1. 直线与平面垂直的性质定理
内的㊀ 任意一条㊀ 直线都垂直,则称这条直线和这个平面互相垂直.
(1) 定义:如果一条直线和一个平面相交, 并且和这个平面 (2) 判定定理:如果一条直线和一个平面内的 ㊀ 两条相交 ㊀ 直
棱为 l,那么这个二面角记作 α - l - β. (2) 在二面角 α - l - β 的棱 l 上任取一点 O, 以点 O 为垂足, 在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB, 则射线 OA 和 OB 构成的øAOB 叫做二面角的㊀ 平面角㊀ . 做㊀ 直二面角㊀ . 是多少度,就说这个二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫 二面角的大小可以用它的平面角来度量, 二面角的平面角
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