精品试卷沪科版八年级数学下册第18章 勾股定理专题测试试卷(精选含答案)

八年级数学下册第18章勾股定理专题测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、图中字母A所代表的正方形的面积为（）．
A．64 B．8 C．16 D．6
2、如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的边长为（）
A．64 B．16 C．8 D．4
3、如图，在三角形ABC，222
+=，AB AC
AB AC BC
且，H是BC上中点，F是射线AH上一点．E
=
是AB上一点，连接EF，EC，BF FE
=，点G在AC上，连接BG，2
∠=∠，AE=
ECG GBC
AG=CF的长为（）
A ．
B ．
C ．
D ．9
4、下列四组数据中，不能．．
作为直角三角形的三边长的是（ ） A ．5，13，12 B ．6，8，10 C ．9，12，15 D ．3，4，6
5、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点()4,4A ，点(),0M m ()0m >，()0,N n ，且AM AN =满
足．若MON ∆的面积为92
，则22m n +的值不可能为（ ） A ．18 B ．46 C ．82 D ．55
6、下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A ．1
B
C ．6，7，8
D ．2，3，4
7、如图所示，∠B =∠C =90°，E 是BC 的中点，AE 平分∠DAB ，则下列说法正确的个数是（ ）
（1）DE 平分∠CDA ；（2）△EBA ≌△EDA ；（3）△EBA ≌△DCE ；（4）AB +CD =AD ；（5）AE 2+DE 2=AD 2
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
8、如图，在ABC 中，5AB AC ==，8BC =，D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）．若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
9、如图，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，CD ＝2，AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，∠AED ＝120°，设AB ＝x ，CE ＝y ，则下列式子可以表示线段AD 长的是（ ）
A ．x +y
B ．x +2
C ．x +12y +2
D ．x +y 10、如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的点B '处，点A 的对应点为点A '，3B C '=，则AM 的长为（ ）
A ．1.8
B ．2
C ．2.3
D 第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D 处，折痕交另一直角边于E ，交斜边于F ，则CDE △的面积__．
2、如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，且AD ＝3，BC ＝8，则AB 的长为_____．
3、把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形．最少只需要剪_________刀．
4、如图，在ACB △和DCE 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，CA CB =，CD CE =，点A 在边DE 上，若23DE =，8AD =，则2AC =______．
5、如图，在平面直角坐标系中，5AB AC ==，点B ，C 的坐标分别是()5,2，()5,8，则点A 的坐标是______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，过点A 作AE BC ⊥于E ，E 恰好为BC 的中点，2AE BE =．
（1）直接写出AE 与AD 之间的数量关系：______；位置关系：______；
（2）点P 在BE 上，作EF DP ⊥于点F ，连接AF ．求证：
DF EF -．
2、利用几何图形研究代数问题是建立几何直观的有效途径．
（1）如图①，点A 的坐标为（4，6），点B 为直线y ＝x 在第一象限的图象上一点，坐标为（b ，b ）． ①AB 2可表示为 ；（用含b 的代数式表示）
②当AB 长度最小时，求点B 的坐标．
（2）借助图形，解决问题：对于给定的两个数x ，y ，求使（x ﹣b ）2＋（y ﹣b ）2达到最小的b ．
3、在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 给出如下定义：点P 到图形1G 上各点的最短距离为1d ，点P 到图形2G 上各点的最短距离为2d ，若12d d =，就称点P 是图形1G 和图形2G 的一个“等距点”．
已知点()6,0A ，()0,6B ．
（1）在点()6,0D -，()3,0E ，()0,3F 中，______是点A 和点O 的“等距点”；
（2）在点()2,1G --，()2,2H ，()3,6I 中，______是线段OA 和OB 的“等距点”；
（3）点(),0C m 为x 轴上一点，点P 既是点A 和点C 的“等距点”，又是线段OA 和OB 的“等距点”．
①当8m =时，是否存在满足条件的点P ，如果存在请求出满足条件的点P 的坐标，如果不存在请说明理由；
②若点P 在OAB 内，请直接写出满足条件的m 的取值范围．
4、如图，用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ．可选取若干直角三角形纸板拼图，并根据拼图验证勾股定理． 请画出一种示意图并写出验证过程．
5、如图，在△ABC 中，AB ＝7cm ，AC ＝25cm ，BC ＝24cm ，动点P 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度运动至点B ，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以6cm/s 的速度运动至点C ，P 、Q 两点同时出发．
（1）求∠B 的度数；
（2）连接PQ ，若运动2s 时，求P 、Q 两点之间的距离．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
根据勾股定理和正方形的性质即可得出结果．
【详解】
解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：
以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，
所以A=289-225=64．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式，勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．
2、C
【分析】
根据勾股定理求出正方形A的面积，根据算术平方根的定义计算即可．
【详解】
解：由勾股定理得，正方形A的面积＝289－225＝64，
∴字母A
8，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
3、D
【分析】
延长EA 到K ，是的AK =AG ，连接CK ，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，∠ACB =∠ABC =45°，由BF =FE ，得到∠FBE =∠FEB ，设∠BFE =x ，则
()11=180=9022
EBF BFE x ︒-︒-∠∠，然后证明CB =FC =FE ，得到∠FBC =∠FCA ，∠AFB =∠AFC 则1902FCA x ∠=︒-，()11=180=9022EBF BFE x ︒-︒-∠即可证明==90EFC AFE AFC +︒∠∠∠，推出
CF =；设22ECG GBC y ==∠∠，证明△ABG ≌△ACK ，得到==45K AGB ACB GBC y =+︒+∠∠∠∠，==45ACK ABG ABC GBC y -=︒-∠∠∠∠，即可推出
∠ECK =∠K ，得到EK =EC ，则EK AE AK AE AG =+=+=
【详解】
解：延长EA 到K ，是的AK =AG ，连接CK ，
∵在三角形ABC ，222AB AC BC +=，AB AC =且，
∴△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，
∴∠ACB =∠ABC =45°，
∵BF =FE ，
∴∠FBE =∠FEB ，
设∠BFE =x ，则()11=180=9022
EBF BFE x ︒-︒-∠∠， ∵H 是BC 上中点，F 是射线AH 上一点，
∴AH ⊥BC ，
∴AH 是线段BC 的垂直平分线，∠FAC =45°，
∴CB =FC =FE ，
∴∠FBC =∠FCA ，∠AFB =∠AFC ∴1902FCA x ∠=︒-，()11=180=9022
EBF BFE x ︒-︒-∠
∴1180452
AFB AFC FAC FCA x ∠=∠=︒-∠-∠=︒+， ∴1==452
AFE AFB BFE x -︒-∠∠∠， ∴==90EFC AFE AFC +︒∠∠∠，
∴222EF CF CE +=，
∴2
CF =， 设22ECG GBC y ==∠∠，
∵AG =AK ，AB =AC ，∠KAC =∠GAB =90°，
∴△ABG ≌△ACK （SAS ），
==45K AGB ACB GBC y =+︒+∠∠∠∠，==45ACK ABG ABC GBC y -=︒-∠∠∠∠，
∴==45ECK ACE ACK a +︒+∠∠∠，
∴∠ECK =∠K ，
∴EK =EC ，
∵EK AE AK AE AG =+=+=
∴EF EK ==
∴9CF =，
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
4、D
【分析】
根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】
解：A、222
+=，故A不符合题意．
51213
B、222
6810
+=，故B不符合题意．
C、222
+=，故C不符合题意．
91215
D、222
+≠，故D符合题意．
346
故选：D．
【点睛】
本题主要是考查了勾股定理的逆定理，熟练利用勾股定理来判定三角形是否为直角三角形，是解决本题的关键．
5、D
【分析】
=可得一个关于,m n的等式，再根据三角形的面积公式可得
先根据两点之间的距离公式和AM AN
m n=，然后分0
9
n<两种情况，利用完全平方公式进行变形运算即可得．
n>和0
【详解】
解：由题意得：AM
AN
=，
AM AN
=2288m m n n -=-，
()(8)0m n m n ∴-+-=，
()(),0,0,M m N n ，MON △的面积为92
， 1922
m n ∴=，即9m n =， （1）当0n >时，则9mn =，
由()(8)0m n m n -+-=得：m n =或8m n +=，
①当m n =时，则29mn m ==，
此时22222918m n m +==⨯=；
②当8m n +=时，
此时2222()282946m n m n mn +=+-=-⨯=；
（2）当0n <时，则9mn -=，0m n ->，
所以由()(8)0m n m n -+-=得：8m n +=，
此时2222()282982m n m n mn +=+-=+⨯=；
综上，22m n +的所有可能的值为18，46，82，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了两点之间的距离公式、因式分解、完全平方公式等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．
6、A
【分析】
根据勾股定理的逆定理逐项判断即可得．
解：A、222
+==，此项能构成直角三角形；
13
B、222
6
+=≠，此项不能构成直角三角形；
C、222
+=≠，此项不能构成直角三角形；
67858
D、222
+=≠，此项不能构成直角三角形；
23134
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
7、B
【分析】
作EF⊥AD于F，证明△EBA≌EFA，故（2）不正确；证明Rt△DCE≌DFE，得到DE平分∠CDA；故（1）正确；当△EBA≌△DCE时，得到AB=CD，与原图矛盾，故（3）不正确；根据△EBA≌EFA，Rt△DCE≌DFE，得到AB=AF，DC=DF，得到AB+CD=AF+DF=AD，故（4）正确；证明∠AED=90°，得到AE2+DE2=AD2，故（5）正确．问题得解．
【详解】
解：如图，作EF⊥AD于F，则∠AFE=∠DFE=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B=∠AFE=90°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠FAE=∠BAE，
∵AE=AE，
∴△EBA≌EFA，故（2）不正确；
∵△EBA≌EFA，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴EF=EC，
又∵DE=DE，
∴Rt△DCE≌DFE，
∴∠CDE=∠FDE，
∴DE平分∠CDA；故（1）正确；
当△EBA≌△DCE时，AB=EC，BE=CD，
由题意得BE=CE，可得AB=CD，与原图矛盾，故（3）不正确；∵△EBA≌EFA，Rt△DCE≌DFE，
∴AB=AF，DC=DF，
∴AB+CD=AF+DF=AD，故（4）正确；
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠CDA=180°，
∵∠FAE=∠BAE，∠CDE=∠FDE，
∴∠EDA+∠EAD=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE2+DE2=AD2，故（5）正确．
故选：B
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据题意添加辅助线，证明△EBA≌EFA、Rt△DCE≌DFE是解题关键．
8、B
【分析】
首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
【详解】
解：如图：过A作AE⊥BC于E，
∵在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，
∴当AE⊥BC，EB=EC=4，
∴AE3，
∵D是线段BC上的动点(不含端点B，C).若线段AD的长为正整数，
∴3⩽AD<5，
∴AD=3或AD=4，
当AD =4时，在靠近点B 和点C 端各一个，
故符合条件的点D 有3点.
故选B .
【点睛】
本题主要考察了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理的计算.
9、B
【分析】
在AD 上截取AG ＝AB ，DH ＝DC ，连接EG 、EH ，证明△ABE ≌△AGE （SAS ），△DEH ≌△DEC （SAS ），由全等三角形的性质得出BE ＝GE ，∠AEB ＝∠AEG ，CE ＝HE ，∠CED ＝∠HED ，证明△EGH 是含30度角的直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：如图，在AD 上截取AG ＝AB ＝x ，DH ＝DC ，连接EG 、EH ，
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE ＝∠GAE ，
在△ABE 和△AGE 中，
AB AG BAE GAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABE ≌△AGE （SAS ），
∴∠AEB ＝∠AEG ，∠AGE ＝∠B ＝90°，
∵DE平分∠ADC，
同理可证：△DEH≌△DEC（SAS），
∴∠DEH＝∠DEC，EH＝EC＝y，
∵∠AED＝120°，∠AEB+∠CED＝180°﹣120°＝60°，∴∠AEG+∠HED＝60°，
∴∠GEH＝60°，
∵∠EGF＝90°，
∴∠EHG＝30°，
∴EG＝1
2EH＝1
2
y，
∴GH，
∵AD＝AG+GH+HD＝x+2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
10、B
【分析】
连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．
【详解】
解：连接BM，MB′，
设AM=x，
在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，
在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，
∵折叠，
∴MB=MB′，
∴AB2+AM2= MD2+DB′2，
即92+x2=(9-x)2+(9-3)2，
解得x=2，
即AM=2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．二、填空题
1、165
32
或
10
3
【分析】
折叠是一种轴对称变换，根据轴对称的性质、折叠前后图形的形状和大小不变．【详解】
解：如图，当锐角B翻折时，点B与点D重合，
DE =BE ，
D 为AC 的中点
116322
CD AC ∴==⨯= 设CE =x
在Rt CDE △中，222CD CE DE +=
2223(8)x x ∴+=-
96416x ∴=- 解得5516
x = 155165321632
S ∴=⨯⨯= 如图，当锐角A 翻折时，点A 与点D 重合，
DE =AE ，
D 为BC 的中点
118422
CD BC ∴==⨯= 设CE =x
在Rt CDE △中，222CD CE DE +=
2224(6)x x ∴+=-
163612x ∴=- 解得53
x =
15104233S ∴=⨯⨯= 故答案为：
16532或103
． 【点睛】 本题考查图形的翻折变换、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 2、5
【分析】
由三线合一定理可得BD ＝CD ＝4，AD ⊥BC ，由此利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BC＝8，
∴BD＝CD＝4，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
由勾股定理得：5
AB=，
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查了三线合一定理和勾股定理，熟知三线合一定理是解题的关键．
3、2
【分析】
利用使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，结合图形得出即可．
【详解】
解：如图所示：由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大
2刀．
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查了图形的剪拼，勾股定理及无理数的计算，结合利用勾股定理得到四边形四条边相等是解题关键．
4、2892
【分析】
连接BE ，根据题意可以证明AEB △是直角三角形，然后根据三角形全等和勾股定理即可证明2222AE AD AC =+，即可求AC 的值．
【详解】
解：如图所示，连接BE ，
∵在ACB △和ECD 中，∠ACB=∠DCE=90°，CA CB =，CE CD =，
90ECA ACD ACE ECB ∴∠+∠=∠+∠=︒，45CEA CDE ∠=∠=︒，45CAB CBA ∠=∠=︒，
DCA ECB ∴∠=∠，
又∵CE CD =，CA CB =
()DCA ECB SAS ∴≅△△，
AD BE ∴=，CEB CDA ∠=∠，
90BEA CEB CDA CEA CDA ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，
AEB ∴是直角三角形，
222AE BE AB ∴+=，
在Rt ACB 中，AC BC =，22222AC BC AC AB +==，
2222AC AE BE ∴=+，
∵8AD =，23DE =，
∴23815AE DE AD =-=-=
222
815289=22AC +∴= 故答案为：
2892
． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是找到
2222AE AD AC =+．
5、()1,5A
【分析】
如图，过A 作AD BC ⊥于,D 证明BC x ⊥轴，则AD x ∥轴，826,BC 再利用等腰三角形的性质求解3,BD = 利用勾股定理求解4,AD = 从而可得答案.
【详解】
解：如图，过A 作AD BC ⊥于,D
5,2,5,8,B C
BC x ∴⊥轴，则AD x ∥轴，826,BC
5,AB AC
3,BD CD 224,AD
AB BD 541,325,A A D x y y
1,5.A
故答案为：()1,5A
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理的应用，掌握“坐标与线段长度的关系”是解本题的关键.
三、解答题
1、（1）AE AD =；AE AD ⊥；（2）见解析
【分析】
（1）由点E 为BC 中点，可得2BC BE =，再由已知条件给出的等式，等量代换可得AE AD =；由已知AD BC ∥和AE BC ⊥可得AE AD ⊥．
（2）过点A 作AH AF ⊥交DP 于点H ，易证AEF ADH ≅△△，AFH 是等腰直角三角形，通过等腰直角三角形斜边和直角边的关系，等量代换可出求证的等式成立．
【详解】
（1）解：∵点E 为BC 中点
∴2BC BE =
∵2AE BE =
∴AE BC =
∵AD BC =
∴AE AD =
∵AE BC ⊥
∴90AEC ∠=︒
∵AD BC ∥
∴90AEC EAD ∠=∠=︒
∴AE AD ⊥
故答案为：AE AD =，AE AD ⊥．
（2）证明：过点A 作AH AF ⊥交DP 于点H
则90DAE FAH ∠=∠=︒，∴DAE EAH FAH EAH ∠-∠=∠-∠，
即DAH EAF ∠=∠
∵1180EAD ADP ∠+∠+∠=︒，2180EFD AEF ∠+∠+∠=︒，
且12∠=∠，90DAE EFD ∠=∠=︒
∴AEF ADF ∠=∠
∵DAH EAF ∠=∠，AD AE =
∴AEF ≌ADH （ASA ），
∴DH EF =，AF AH =
在Rt AFH △中，90FAH ∠=︒，
由勾股定理得：222FH AF AH =+
∴FH =
∵DF FH HD =+
∴DF EF =
∴
-．
DF EF
【点睛】
本题考查全等三角形的证明和勾股定理，合理做出辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键．2、（1）①2b2﹣20b+52；②B（5，5）；（2）1
（x+y）
2
【分析】
（1）①由平面直角坐标系中两点间距离公式可直接得到；
②利用配方法及平方的非负性可求得最小值；
（2）由“垂线段最短”可求得最小值．
【详解】
解：（1）①∵点A的坐标为（4，6），点B坐标为（b，b），
∴AB2＝（4﹣b）2+（6﹣b）2＝2b2﹣20b+52；
故答案为：2b2﹣20b+52．
②AB2＝2b2﹣20b+52＝2（b﹣5）2+2，
∵（b﹣5）2≥0，
∴当（b﹣5）2＝0时，即b＝5时，AB最小，
此时B（5，5）；
（2）如图，设A（x，y），B（b，b），则点B在直线y＝x上，欲求（x﹣b）2+（y﹣b）2的最小值，只要在直线y＝x上找到一点B′（b0，b0），使得AB的值最小即可．
根据垂线段最短可知，当AB′⊥直线y＝x时，（x﹣b）2+（y﹣b）2的有最小值．
∵（x﹣b）2+（y﹣b）2
＝（x﹣b0+b0﹣b）2+（y﹣b0+b0﹣b）2
＝[（x﹣b0）2+（y﹣b0）2]+2[（x﹣b0）+（y﹣b0）]（b0﹣b）+2（b0﹣b）2，
由图，我们可以把（x﹣b）2+（y﹣b）2看作AB2，（x﹣b0）2+（y﹣b0）2看作AB′2，2（b0﹣b）2可以看作BB′2，
由勾股定理可知：2[（x﹣b0）+（y﹣b0）]（b0﹣b）＝0，
∴x﹣b0+y﹣b0＝0，
（x+y）．
∴b0＝1
2
（x+y）．
即使（x﹣b）2+（y﹣b）2达到最小的b为1
2
【点睛】
本题考查勾股定理，规律型问题，两点之间距离公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3、（1）点E；（2）点H；（3）①存在，点P的坐标为（7，7）；②60
-<<
m
【分析】
（1）根据“等距点”的定义，即可求解；
（2）根据“等距点”的定义，即可求解；
（3）①根据点P 是线段OA 和OB 的“等距点”，可设点P （x ，x ）且x ＞0，再由点P 是点A 和点C 的“等距点”，可得22AP CP = ，从而得到()()22
2286x x x x -+=-+ ，即可求解；
②根据点P 是线段OA 和OB 的“等距点”， 点P 在∠AOB 的角平分线上，可设点P （a ，a ）且a ＞0，根据OA =OB ，可得OP 平分线段AB ，再由点P 在OAB 内，可得0<<3a ，根据点P 是点A 和点C 的“等距点”，可得22AP CP = ，从而得到()()22226a m a a a -+=-+，整理得到
()()()2666m a m m -=+-，即可求解． 【详解】
解：（1）根据题意得：()6612AD =--= ，633AE =-= ，AF = ， 6OD = ，3OE = ，3OF = ， ∴AE OE = ，
∴点()3,0E 是点A 和点O 的“等距点”；
（2）根据题意得：线段OA 在x 轴上，线段OB 在y 轴上，
∴点()2,1G --到线段OA 的距离为1，到线段OB 的距离为2，
点()2,2H 到线段OA 的距离为2，到线段OB 的距离为2，
点()3,6I 到线段OA 的距离为6，到线段OB 的距离为3，
∴点()2,2H 到线段OA 的距离和到线段OB 的距离相等，
∴点()2,2H 是线段OA 和OB 的“等距点”；
（3）①存在，点P 的坐标为（7，7），理由如下：
∵点P 是线段OA 和OB 的“等距点”，且线段OA 在x 轴上，线段OB 在y 轴上，
∴可设点P （x ，x ）且x ＞0，
∵点P 是点A 和点C 的“等距点”，
∴22AP CP = ，
∵点C （8，0），()6,0A ，
∴()()22
2286x x x x -+=-+ ，
解得：7x = ，
∴点P 的坐标为（7，7）；
②如图，
∵点P 是线段OA 和OB 的“等距点”，且线段OA 在x 轴上，线段OB 在y 轴上，
∴点P 在∠AOB 的角平分线上，
可设点P （a ，a ）且a ＞0，
∵()6,0A ，()0,6B ．
∴OA =OB =6，
∴OP 平分线段AB ，
∵点P 在OAB 内，
∴当点P 位于AB 上时， 此时点P 为AB 的中点，
∴此时点P 的坐标为6060,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭
，即()3,3 ， ∴0<<3a ，
∵点P 是点A 和点C 的“等距点”，
∴22AP CP = ，
∵点(),0C m ，()6,0A ，
∴()()22
226a m a a a -+=-+， 整理得：()()()2666m a m m -=+- ，
当6m = 时，点C （6，0），
此时点C 、A 重合，则a =6（不合题意，舍去），
当6m ≠时，62
m a += ， ∴6032
m +<<，解得：60m -<< ， 即若点P 在OAB 内，满足条件的m 的取值范围为60m -<<．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系内两点间的距离，点到坐标轴的距离，等腰三角形的性质，角平分线的判定等知识，理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键．
4、222+=a b c ，见解析．
【分析】
如图所示，进行拼接图形，然后根据大正方形面积=四个直角三角形的面积+小正方形面积验证即可．
【详解】
解：拼图如下：
由图形可得，大正方形的边长为a b +，面积为222()2a b a b ab +=++． 四个直角三角形的面积为：1
422ab ab ⨯=．
小正方形的边长为c ，面积为2c ．
由题意可得：222+22a b ab ab c +=+．
化简可得222+=a b c ．
（方法不唯一，合理即可）
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键在于正确构造图形求解．
5、（1）∠B ＝90°；（2）P 、Q 两点之间的距离为13cm
【分析】
（1）如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形就是直角三角形．依据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）依据运动时间和运动速度，即可得到BP 和BQ 的长，再根据勾股定理进行计算，即可得到PQ 的长．
【详解】
解：（1）∵AB ＝7cm ，AC ＝25cm ，BC ＝24cm ，
∴AB 2+BC 2＝625＝AC 2，
∴△ABC是直角三角形且∠B＝90°；
（2）运动2s时，AP＝1×2＝2（cm），BQ＝2×6＝12（cm），
∴BP＝AB﹣AP＝7﹣2＝5（cm），
Rt△BPQ中，13cm
PQ===，
∴P、Q两点之间的距离为13cm．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，解题的关键在于能够根据题意求出∠B＝90°．。