2020-2021学年宁夏固原市隆德县高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2020-2021学年宁夏固原市隆德县高二上学期期末考试数学
（理）试题
一、单选题
1．一个命题与它们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ） A ．真命题与假命题的个数不同 B ．真命题的个数一定是偶数 C ．真命题的个数一定是奇数
D ．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 【答案】B
【分析】根据互为逆否命题的真假性是一致的，得到原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性，真命题是成对出现的． 【详解】解：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题， 原命题与逆否命题具有相同的真假性， 否命题与逆命题具有相同的真假性，
∴真命题是成对出现的， ∴真命题的个数一定是一个偶数．
故选：B ．
【点睛】本题考查命题的四种形式，是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，是一个比较简单的问题，若出现是一个送分题目． 2．若命题“p q ∧”为假，则（ ） A ．p q ∨为假 B ．q 假
C ．q 真
D ．不能判断p 、q
的真假 【答案】D
【分析】由已知条件判断p 、q 的真假，由此可判断各选项中命题的真假. 【详解】由于“p q ∧”为假，则p 、q 中一真一假或p 、q 均为假命题， 因此，不能判断p 、q 的真假， 故选：D.
3．已知a R ∈，则“1a >”是“2a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】直接由12,21a a a a >⇒>>⇒>/可得结论. 【详解】
12,21a a a a >⇒>>⇒>/
∴ “1a >”是“2a >”的必要不充分条件.
故选:B
4．下列命题：①至少有一个x 使x 2＋2x ＋1＝0成立；②对任意的x 都有x 2＋2x ＋1＝0成立；
③对任意的x 都有x 2＋2x ＋1＝0不成立；④存在x 使x 2＋2x ＋1＝0成立． 其中是全称命题的有( ) A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．0个
【答案】B
【详解】试题分析：①和④中用的是存在量词“至少有一个”“ 存在”，属特称命题；②和③用的是全程量词“任意的”，属全程命题，所以B 正确 【解析】全程命题，特称命题
5．双曲线22981x y -=-的渐近线方程是（ ）
A ．13y x =±
B ．3y x =±
C ．9y x =±
D ．19
y x =±
【答案】B
【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求出a 、b 的值，由此可得出该双曲线的渐近线方程.
【详解】双曲线2
2
981x y -=-的标准方程为22
1819
y x -=，则9a =，3b =，
因此，该双曲线的渐近线方程为3a
y x x b
=±=±. 故选：B.
6．已知|a |=1，|b |=，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是 A ．60° B ．30°
C ．135°
D ．45︒
【答案】D
【详解】因为(a -b )与a 垂直，所以(a -b ) 0a =. |a |=1，2 1a b a ==.
设a 与b 的夹角为θ，则2
121,2
a
b cos cos cos θθθ===
所以45θ=︒，故选D.
点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数. 7．若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为10，焦距为6，则椭圆的方程（ ）
A ．22
1916
x y +=
B ．22
12516
x y +
= C ．22
12516x y +=或2
2
5
1162x y += D ．以上都不对
【答案】C
【分析】求得a 、b 、c 的值，由此可得出所求椭圆的方程.
【详解】由题意可得21026a c =⎧⎨=⎩，解得5
3
a c =⎧⎨=⎩，224
b a
c ∴-=，
由于椭圆的对称轴是坐标轴，则该椭圆的方程为22
12516x y +=或2
2
5
1162x y +=.
故选：C.
8．抛物线2
4y x =的焦点到双曲线2
2
13
y x -=的渐近线的距离是（ ）
A ．
12
B ．
32
C ．1
D 3
【答案】B
【分析】由圆锥曲线方程可求得抛物线焦点和双曲线渐近线方程，由点到直线距离公式可求得结果.
【详解】由2
4y x =可知抛物线焦点坐标为()1,0；
由2
2
13
y x -=可知双曲线渐近线方程为3y x =，即30x y -=；
()1,0∴到30x y -=的距离3032
d ±-=
=
. 故选：B.
9．已知空间向量AB 、BC 、AD 、CD 、AD ，则下列结论正确的是（ ）
A ．A
B B
C C
D =+ B ．AD AB BC DC =++ C ．AB DC BC AD -+= D ．BC BD DC =-
【答案】C
【分析】利用空间向量的加法和减法法则可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，BC CD BD AB +=≠，A 选项错误； 对于B 选项，AD AB BC CD AB BC DC =++≠++，B 选项错误； 对于C 选项，AB DC BC AC CD AD -+=+=，C 选项正确； 对于D 选项，BC BD DC BD DC =+≠-，D 选项错误. 故选：C.
10．设(),4,3a x =，()3,2,b z =，且//a b ，则xz 等于（ ） A ．-4 B ．9
C ．-9
D ．
649
【答案】B
【分析】由a b ，根据向量平行（共线）的充要条件得：存在实数λ使λa b ，进而
构造方程求出λ的值，进而求出x ，z 值. 【详解】()(),4,3,3,2,a x b z ==
由于a b 则存在实数λ使λa
b
即()(),4,33,2,x z λ=
3423x z λλλ=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
解得 2λ= 则36,2
x z == 故9xz = 故选：B
【点睛】知识点点睛：向量平行（共线）的充要条件得：存在实数λ使λa
b .
11．设平面α内两向量a ＝(1,2,1)，b ＝(－1,1,2)，则下列向量中是平面α的法向量的是( )
A ．(－1，－2,5)
B ．(－1,1，－1)
C ．(1,1,1)
D ．(1，－1，－1)
【答案】B
【分析】利用非零向量a b ⊥⇔0a b ⋅=即可找出平面的法向量．
【详解】∵（﹣1，1，﹣1）•（1，2，1）=﹣1+2﹣1=0，（﹣1，1，﹣1）•（﹣1，1，2）=1+1﹣2=0，
∴向量（﹣1，1﹣1）是此平面的法向量． 故选B ．
【点睛】正确理解平面的法向量是解题的关键．
12．若“13x <<”是“()()40x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．[]0,1
C ．(][),12,-∞+∞
D ．()(),10,-∞-+∞
【答案】A
【分析】解不等式()()40x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦，根据已知条件可得出集合间的包含关系，由此可求得实数a 的取值范围.
【详解】解不等式()()40x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦可得4a x a ≤≤+.
因为“13x <<”是“()()40x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦”的充分不必要条件，
则()1,3[],4a a +，
由题意可得143a a ≤⎧⎨+≥⎩
，解得11a -≤≤.
因此，实数a 的取值范围是[]1,1-. 故选：A.
【点睛】结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应集合与p 对应集合互不包含．
二、填空题
13．抛物线2
110
x y =的焦点到准线的距离是 ___________. 【答案】5
【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可求得结果.
【详解】抛物线的标准方程为210y x =，则210p =，可得5p =. 因此，抛物线2
110
x y =的焦点到准线的距离是5. 故答案为：5.
14．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M N ，分别是11AA BB ，的中点，则CM 和1D N 所成角的余弦值为__________．
【答案】
19
【分析】以D 为原点建立空间直角坐标系，设棱长为2，根据异面直线所成角的空间向量求法可求得结果.
【详解】以D 为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系
设正方体棱长为2，则()0,2,0C ，()2,0,1M ，()10,0,2D ，()2,2,1N
()2,2,1CM ∴=-，()12,2,1D N =-
1114411cos ,339
CM D N CM D N CM D N
--⋅∴<>=
=
=
⨯⋅ 即异面直线CM 与1D N 所成角的余弦值为19
故答案为：
19
【点睛】本题考查空间向量法求解异面直线所成角的问题，易错点是忽略异面直线所成角的范围为0,
2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
，造成求解余弦值时符号错误.
15．已知方程22
121
x y m m -=++表示双曲线，则实数m 的取值范围为________.
【答案】2m <-或1m >-
【分析】由双曲线方程的特点可得()()210m m ++>，解不等式即可求解.
【详解】若方程22
121
x y m m -=++表示双曲线，
则()()210m m ++>， 解得：2m <-或1m >-， 故答案为：2m <-或1m >-.
16．已知A B C ，，三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量
12
53OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A B C ，，共面，那么λ=____
【答案】2
15
【分析】1/52/31/52/31
2
152
15
A B C O ABC OP OA OB OC P A B C λ
λλ=++∴++==
解：由题意，，三点不共线，点是平面外一点，
若由向量确定的点与，，共面，解得故答案为：
三、解答题
17．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在x 12.1F 、2F 为椭圆的左右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.
（1）求椭圆的标准方程； （2）求1PQF △的周长.
【答案】（1）22
1369
x y +=；
（2）24. 【分析】（1）求出a 、c 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）利用椭圆的定义可得出1PQF △的周长.
【详解】（1）由于椭圆的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，
设所求椭圆的标准方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，焦距为()20c c >，
由已知条件可得212
a c
a b =⎧⎪
⎪=⎨⎪⎪=⎩
，解得63a b c ⎧=⎪=⎨⎪
=⎩，
因此，椭圆的标准方程为22
1369
x y +=；
（2）由椭圆的定义可得1212212PF PF QF QF a +=+==，
因此，1PQF △的周长为11121224PF PQ QF PF PF QF QF ++=+++=. 18．已知(2,3,1),(2,0,3),(0,0,).a b c m =-==
（1）若23(631)a b c +-=-，，,求实数m 的值： （2）若m=2，求()a b c ⋅+的值. 【答案】（1）2；（2）9．
【分析】（1）根据向量运算的坐标表示计算； （2）由数量积的坐标表示计算．
【详解】（1）由题意，23(6,3,73)(631)a b c m +-=--=-，，， 所以731m -=，解得2m =；
（2）(2,0,5)b c +=，所以()22(3)0159a b c ⋅+=⨯+-⨯+⨯=．
19．如图所示，在四面体P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，AB BC CA PC ===，求二面角B AP C --的余弦值.
【答案】
77
【分析】取AC 的中点O ，连接OB ，过点O 在平面PAC 内作OM PA ⊥，垂足为点
M ，连接BM ，说明二面角B AP C --的平面角为BMO ∠，设2AB BC CA PC ====，计算出cos BMO ∠即可得解.
【详解】取AC 的中点O ，连接OB ，
过点O 在平面PAC 内作OM PA ⊥，垂足为点M ，连接BM ，设
2AB BC CA PC ====，
PC ⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，OB PC ∴⊥，
AB AC BC ==，则ABC 为等边三角形， O 为AC 的中点，所以，OB AC ⊥， PC
AC C =，OB ∴⊥平面PAC ，
PA ⊂平面PAC ，OB PA ∴⊥，
OM PA ⊥，OB OM O =，PA ∴⊥平面OBM ，
BM ⊂平面OBM ，PA BM ∴⊥，
所以，二面角B AP C --的平面角为BMO ∠，
PC AC =，PC AC ⊥，则APC △为等腰直角三角形，
OB =2sin 452
OM OA ==
， OB ⊥平面PAC ，OM ⊂平面PAC ，OB
OM ∴⊥，
2BM ∴=
=
，所以，cos OM BMO BM ∠==
因此，二面角B AP
C --. 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：
（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；
（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 20．已知曲线C 的方程为24y x =，直线l 过定点()2,1P -，斜率为k . （1）若曲线C 与直线l 只有一个公共点，求实数k 的值； （2）在（1）的条件下，求直线l 的方程. 【答案】（1）0k =或1k =-或1
2
k =
；（2）1y =或10x y ++=或240x y -+=. 【分析】（1）分0k =和0k ≠两种情况讨论，写出直线l 的方程，根据已知条件可求得实数k 的值；
（2）将（1）中k 的值代入直线l 的方程即可得解.
【详解】（1）当0k =时，直线l 的方程为1y =，联立241y x y ⎧=⎨=⎩，解得141
x y ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩，
此时，直线l 与曲线C 有且只有一个交点； 当0k ≠时，直线l 的方程为()12y k x -=+，
联立()
2
412y x y k x ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，消去x 并整理可得2
4840ky y k -++=，
()164840k k ∆=-+=，整理可得2210k k +-=，解得1k =-或1
2
k =
； （2）当0k =时，直线l 的方程为1y =；
当1k =-时，直线l 的方程为()12y x -=-+，即10x y ++=；
当12k =时，直线l 的方程为()1122
y x -=+，即240x y -+=. 综上所述，直线l 的方程为1y =或10x y ++=或240x y -+=.
【点睛】思路点睛：利用直线与圆锥曲线的位置关系求参数的取值范围，步骤如下： 将直线l 的方程和圆锥曲线的方程联立，消去一个元（x 或y ），得到关于另外一个元的一元二次方程.
①若0∆>，则直线与圆锥曲线有两个交点，直线与圆锥曲线相交；
②若0∆=，则直线与圆锥曲线有且仅有一个交点，直线与圆锥曲线相切；
③若∆<0，则直线与圆锥曲线没有交点，直线与圆锥曲线相离.
21．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．
求证：(1)AC ⊥BC 1；(2)AC 1∥平面CDB 1.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【详解】试题分析：（1）由勾股定理可证得ACB ∆为直角三角形即可证得AC BC ⊥，由直棱柱可知1CC ⊥面ABC ，
可证得1CC AC ⊥，根据线面垂直的判定定理可证得AC ⊥面11BB C C ，从而可得1AC BC ⊥．（2）设1CB 与1C B 的交点为E ，连结DE ，由中位线可证得1//DE AC ，根据线面平行的判定定理可证得1//AC 平面1CDB ．
试题解析：证明：（1）证明：3,4,5AC BC AB ===，
222AC BC AB ∴+=，
ACB ∴∆为直角三角形且90ACB ∠=，即AC BC ⊥．
又∵三棱柱111ABC A B C -为直棱柱，1CC ∴⊥面ABC ，AC ⊂面ABC ，1CC AC ∴⊥，
1BC CC C ⋂= ，
AC ∴⊥面11BB C C ，1BC ⊂面11BB C C ，1AC BC ∴⊥．
（2）设1CB 与1C B 的交点为E ，连结DE ， D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，1//DE AC ∴．
1AC ⊄面1CDB ，DE ⊂面
1CDB ，
1//AC ∴平面1CDB ．
【解析】1线线垂直，线面垂直；2线面平行．
22．在直角坐标系中，点P 到两点(0,3M -、(3N 的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A 、B 两点．
（1）求曲线C 的方程；
（2）若OA OB ⊥，求k 的值．
【答案】（1）2
214y x +=；（2）12k =±. 【分析】（1）本题可根据椭圆的定义求出点P 的轨迹C ；
（2）本题首先可设()11,A x y 、()22,B x y ，然后联立椭圆与直线方程，通过韦达定理得出12234x x k -=+、12224k x x k
-+=+，最后通过OA OB ⊥得出12120x x y y +=，代入12x x 、12x x +的值并计算，即可得出结果.
【详解】（1）因为点P 到两点(0,3M -、(3N 的距离之和等于4， 所以结合椭圆定义易知，点P 的轨迹是以点M 、N 为焦点且24a =的椭圆，
则2a =，3c =221b a c =-=，点P 的轨迹22:14y C x +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2
2141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()
224230k x kx ++-=， 则12234x x k -=+，12224k x x k
-+=+， 因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，
即()()1212110x x kx kx +++=，整理得()
()21212110k x x k x x ++++=，
则2223211044k k k k k
，整理得241k =，解得12k =±. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据椭圆定义求动点轨迹以及直线与抛物线相关问题的求解，椭圆的定义为动点到两个定点的距离为一个固定的常数，考查韦达定理的应用，考查计算能力，是难题.。