平稳随机过程

x1 , , t n

即 ： t 1 , t n 和 t 1 , , t n 为强平稳过程。
具 有 相 同 的 分 布 ， 称 t
强平稳过程的一切有穷维分布函数不随时间的变化而变化，这样的 要求过于苛刻，同时要判断一个过程是否为强平稳过程也是相当困 难的.
E t t R

与 t 无 关 ， 则 称 t , t T 为 弱 平 稳 过 程 （ 简 称 平 稳 过 程 ） 。 当 T 为 离 散 集 时 ， t , t T 为 平 稳 时 间 序 列 。 一般说来，强平稳过程未必是弱平稳过程，显然弱平稳 过程更不是强平稳过程。 强平稳过程 二阶矩过程 弱平稳过程
2 平稳过程的相关函数
自相关函数的意义： 平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过 自相关函数来描述 自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联 系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函 数的性质
设 X t 和 Y t 是 平 稳 相 关 过 程 ， R X , R Y 和 R X Y 分别是它们的自相关函数和互相关函数。 相关函数具有如下的性质：
定 义 6 .1 .2 t , t T 为 二 阶 矩 过 程 ， 且 满 足 ： （ 1） 对 一 切 t T ，
t
E t 常 数 C
（ 2） 对 任 意 的 t , t T ， R
t ,t
0 , X t2
t1 同 分 布 ， 因 此 自 相 关
函 数 仅 是 时 间 差 t1 t 2 的 函 数 。 从 而 协 方 差 函 数 C X 方差函数

R X X ，
2 2
DX t C X 0 RX 0 X 是 常 数 。

1. RX 0 E X

2
2 t X
0
2 . R X R X , ( 偶 函 数 ) R X Y R Y X , (既 不 是 奇 函 数 ， 也 不 是 偶 函 数 ) 证 明 ： X R X t , t E [ X ( t ) X ( t )] R E [ X ( t ) X t ] E [ X ( t ) X ( t )] R X ; R X Y R X Y t , t E [ X ( t )Y ( t )] E [ X ( t )Y ( t )] E [ Y ( t ) X ( t )] R Y X .

2
RX 0
2
4 . R X 是 非 负 定 的 ， 即 对 任 意 数 组 t1 , t 2 , , t n T 和 任 意 n 个 不 全 为 零 的 实 数 a 1 , a 2 , , a n， 都 有 ： R X t i t j a i a j 0
因为产生随机现象的主要因素不随时间而变，所以随机 过程的统计特性不随时间推移而变——平稳过程
定 义 6 .1 . 1 设 t , t T 为 随 机 过 程 ， 若 对 任 意 的 正 整 数 n 及 实 数 t i , x i ( i 1, n ) 及 ， 有 ： P t1 x 1 , t n x n P t1 xn
t s t s
故该随机过程是广义平稳的。
定 义 3： X t 和 Y t , t T 是 两 个 平 稳 过 程 ,如 果 它 们 的 互 相 关 函 数 也 只 是 时 间 差 的 函 数 ， 记 为 R X Y , 即 : R X Y t , t E X t Y t R X Y , Y t 表 示 Y ( t ) 的 共 轭 函 数 , 对 于 实 函 数 Y t Y ( t ). 称 X t 和 Y t 平 稳 相 关 ， 或 这 两 个 过 程 是 联 合 宽 平 稳 的
第9章 平稳随机过程
1、平稳过程 2、平稳过程的相关函数 3、 随机分析 4、各态历经性
1 平稳随机过程的概念
在自然界中有一类随机过程，它的特征是产生随机现象 的主要因素不随时间而变。例如
无 线 电 设 备 中 热 噪 声 电 压 X (t )是 由 于 电 路 中 电 子 的 热 运 动 引起的，这种热扰动不随时间而变； 连 续 测 量 飞 机 飞 行 速 度 产 生 的 测 量 误 差 X ( t )， 是 由 很 多 因 素（如仪器振动、电磁波干扰、气候等）引起的，但主要因 素不随时间而变； 棉纱各处直径不同是由于纺纱机运行，棉条不均，温湿度 等引起的，这些主要因素也不随时间而变。
2 2 2 2 m
]＝ 0
故 对 任 意 整 数 ： R X ( n , n - ) E [ X n X n - ] 0
2
＝0 0
因 此 { X n , n 0 , 1, }是 平 稳 过 程 。
例 2： 设
X k,k
0 , 1, 2 , 是 例 1中 的 随 机 序 列 ， 作 Y n
t t t t
3.
R X

RX 0
2 2
由 许 瓦 兹 不 等 式 E[ X ( t )X ( t )] E X ( t )X ( t )
2 X(t) E X(t ) E 2
即 R X

1
s in 2 td 0
0
R X ( s, t ) E X (s) X (t ) 1
1

1 0
s in 2 t s in 2 s d
c o s 2 ( t - s ) - c o s 2 ( t s ) d 2
0
1 2 0
a
k 0
N
k
X nk
n 0 , 1, 2 , ， 其 中 N 是 自 然 数 ， a 0 , a 1 , , a N 是 常 数 . 证 明 ： 而
Y n , n
0 , 1, 2 , 是 平 稳 序 列 .
证 ： E Yn
a
k 0
N
k
E X nk
严平稳过程的数字特征： 设严平稳过程
X t ,t T 是 二 阶 矩 过 程 ， 则
0 ＝ ＝ X 常 数
记为
(1) X t E X t E X 则 X t 与 X
证 明 ： X t 与 X t h 同 分 布 ， 取 h t，
下面我们提到的平稳过程均指弱平稳过程。
例 6 .1 设 { X n , n 0 , 1, }是 实 的 互 不 相 关 随 机 变 量 序 列 ， 且 E X n 0 , D X n .试 讨 论 随 机 X n , n 0 , 1, }是 实 的 互 不 相 关 随 机 变 量 序 列 , 则 对 n m， C O V ( X n , X m ) 0, 即 C O V ( X n , X m )＝ E [ X n X m ]－ E X n E X m ＝ E [ X n X DX n E[X n ] [EX n ] E[X n ]
0 同 分 布 ， 从 而 有 相 同 的 数 学 期 望 。 0 X t1 t 2
记为
(2 ) R X t1 , t 2 E X t1 X t 2 E X
R X 0 , t1 t 2 ＝ ＝ R X t1 t 2 证 明 ： X t1 , X t 2 与 X t1 h , X t 2 h 同 分 布 ， 取 h t1 则 X t1 , X t 2 与 X
i , j 1 n
事 实 上 ， R X ti t j a i a j
i , j 1
n
E X ti X t j a i a j i , j 1

n
n n E X ti a i X t j a j E X ti a i i , j 1 i 1

0
又 自 相 关 函 数 RY n , n m E YnYn m
N N E ak X nk a j X nm j j0 k 0

a
k 0 j0
N
N
k
a j E X nk X nm j
但要确定一个过程的分布函数，并判定其平稳性在实际中 不易办到，因此，通常只在二阶矩过程范围内考虑宽平稳过程。
广义平稳随机过程
平稳随机过程的定义对于一切n都需成立， 这在实际 应用上很复杂。由平稳随机过程的均值是常数， 自相 关函数是τ的函数还可以引入另一种平稳随机过程的定 义：若随机过程ξ(t)的均值为常数，自相关函数仅是τ 的函数， 则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过 程。 严格平稳：全部统计特性平稳 广义平稳：部分统计特性平稳 均值平稳 自相关平稳

k 0 0m k N

N
a k a m k , 它 与 n无 关 ， 所 以 Yn是 平 稳 序 列 。
2
例3 设有状态连续时间离散的随机过程 X(t)=sin2Θ t,其中随机变量Θ在(0,1)上服从均 匀分布，t=1，2，...。试考察X(t)的平稳性。 解：
EX (t )
2
0
自相关函数的非负定性是平稳过程最本质的特性，因为任一连续函 数，只要具有非负定性，那么该函数必是某平稳过程的自相关函数。
定 义 ： X t 是 平 稳 过 程 ， 若 满 足 条 件 P X t T 0 X t 1, 则 称 X t 为 周 期 为 T 0的 平 稳 过 程 。 5 . X t 是 周 期 为 T 0的 平 稳 过 程 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 其 自 相 关 函 数 是 周 期 为 T 0的 函 数 。 即 : P X t T 0 X t 1 R X T 0 R X . [证 明 见 下 页 ]
严平稳随机过程的定义说明：当取样点在时间轴 上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数 是不变的。 推论：一维分布与时间t无关， 二维分布只与时
间间隔τ有关。从而有
E [ X ( t )]


x1 f 1 ( x1 ) d x1 a
R t1 , t 2 E X t1 X t1 R ( )