【人教版】数学七年级下册《期末考试题》含答案解析

2020-2021学年第二学期期末测试
人教版数学七年级试题
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
一、选择题
1. 下列计算中，正确的是（）
A . （﹣2）0=1
B . 2﹣1=﹣2
C . A 3•A 2=A 6
D . （1﹣2A ）2=1﹣4A 2
2. 下列算式能用平方差公式计算的是（）
A . （3A +
B ）（3B ﹣A ） B .
11
11 66
x x
⎛⎫⎛⎫
+-- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
C . （2x﹣y）（﹣2x+y）
D . （﹣m+n）（﹣m﹣n）
3. 下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（）
A .
B .
C .
D .
4. 下列说法不正确的是（）.
A . “某射击运动员射击一次，正中把靶心”属于随机事件
B . “13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件
C . “在标准大气压下，当温度降到﹣5℃时，水结成冰”属于随机事件
D . “某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件
5. 图1为某四边形A B C D 纸片，其中∠B =70°，∠C =80°．若将C D 迭合在A B 上，出现折线MN，再将纸片展开后，M、N两点分别在A D 、B C 上，如图2所示，则∠MNB 度数为（）度.
A . 90
B . 95
C . 100
D . 105
6. 在边长为1小正方形组成的4×3网格中，有如图所示的A 、B 两个格点在格点上任意放置点C ，恰好能使△A B C 的面积为1的概率是（）
A .
3
10
B .
1
10
C .
1
4
D .
1
5
7. 当A （A ﹣1）﹣（A 2﹣B ）=﹣2时，则
22
2
a b
﹣A B 的值为（）
A . ﹣2
B . 2
C . 4
D . 8
8. 若（t-3）2-2t=1,则t可以取的值有（）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
9. 如图,小辉从家(点O)出发,沿着等腰三角形A OB 的边OA -A B -B O的路径去匀速散步,其中OA =OB ．设小辉距家(点O)的距离为S,散步的时间为t,则下列图形中能大致刻画S与t之间函数关系的图象是（）
A .
B .
C .
D .
10. 两组邻边分别相等的四边形叫做”筝形”，如图，四边形A B C D 是一个筝形，其中A D =C D ，A B =C B ，
在探究筝形的性质时，得到如下结论:①△A B D ≌△C B D ;②A C ⊥B D ;③四边形A B C D 的面积=1
2
A C •B
D ，其中正确的结论有（）
A . 0个
B . 1个
C . 2个
D . 3个
二、填空题
11. 生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上，一个DNA分子的直径约为0.0000002cm．这个数量用科学记数法可表示为___cm．
12. 某市出租车的收费标准是:3千米以内（包括3千米）收费5元，超过3千米．每增加1千米加收1.2元，则路程x （x≥3）时，车费y （元）与路程x （千米）之间的关系式为:_____.
13. 如果（2A +2B +1）（2A +2B ﹣1）=63，那么（A +B ）2=_____．
14. 如图,点P 是∠A OB 外的一点,点M,N 分别是∠A OB 两边上的点,点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN 上,点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上．若PM=2.5C m,PN=3C m,MN=4C m,则线段QR 的长为__________C m ．
三、解答题
15. 化简计算:
（1）﹣12012×[4﹣（﹣3）2]+3÷（﹣
34
） （2）x （x ﹣2y ）﹣（x +y ）2
16. 先化简，再求值:（2+x ）（2﹣x ）+（x ﹣1）（x ﹣5），其中x=
32
． 17. 尺规作图,不写作法,保留作图痕迹
已知:线段A 和∠α
求作:△A B C ，使得A B =A ，B C =2A ，∠A B C =∠α.
18. 如图，已知A B ∥C D ，D A 平分∠B D C ，∠A =∠
C ． （1）试说明:C E ∥A
D ;
（2）若∠C =30°，求∠B 度数．
19. 观察下列各式:
（x﹣1）÷（x﹣1）=1
（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1;
（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1
（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1
（1）根据上面各式的规律可得（x n﹣1）÷（x﹣1）=;
（2）利用（1）的结论，求22018+22017+…+2+1的值;
（3）若1+x+x2+…+x2017=0，求x2018的值．
20. 来自中国、美国、立陶宛、加拿大的四国青年男篮巅峰争霸赛于2014年3月25日-27日在我县体育馆举行．小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票．同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆．如图中线段A B 、OB 分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程S（米）与所用时间t（分钟）之间的图象，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）:
（1）从图中可知，小明家离体育馆米，父子俩在出发后分钟相遇．
（2）求出父亲与小明相遇时距离体育馆还有多远?
（3）小明能否在比赛开始之前赶回体育馆?
21. 如图，在△A B C 中，A B ＝A C ，D ，E，F分别在三边上，且B E＝C D ，B D ＝C F，G为EF的中点．
(1)若∠A ＝40°，求∠B 的度数;
(2)试说明:D G垂直平分EF.
22. 如图1，在△A B C 中，∠B A C =90°，A B =A C ，直线MN过点A 且MN∥B C ，点D 是直线MN上一点，不与点A 重合．
（1）若点E是图1中线段A B 上一点，且D E=D A ，请判断线段D E与D A 的位置关系，并说明理由; （2）请在下面的A ，B 两题中任选一题解答．
A :如图2，在（1）的条件下，连接
B D ，过点D 作D P⊥D B 交线段A
C 于点P，请判断线段
D B 与D P 的数量关系，并说明理由;
B :如图3，在图1的基础上，改变点D 的位置后，连接B D ，过点D 作D P⊥D B 交线段
C A 的延长线于点P，请判断线段
D B 与D P的数量关系，并说明理由．
我选择: ．
答案与解析
一、选择题
1. 下列计算中，正确的是（）
A . （﹣2）0=1
B . 2﹣1=﹣2
C . A 3•A 2=A 6
D . （1﹣2A ）2=1﹣4A 2【答案】A
【解析】
【详解】A .(﹣2)0=1，正确;
B .错误，2﹣1=1 2 ;
C .错误，A 3•A 2=A 5;
D .错误，(1﹣2A )2＝4A 2－4A +1.
故选A .
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．2. 下列算式能用平方差公式计算的是（）
A . （3A +
B ）（3B ﹣A ） B .
11
11 66
x x
⎛⎫⎛⎫
+-- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
C . （2x﹣y）（﹣2x+y）
D . （﹣m+n）（﹣m﹣n）【答案】D
【解析】
【详解】A .不能用平方差公式计算，因为没有相同项也没有相反项;
B .可变成﹣
2
1
x1
6
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
，故不能用平方差公式计算;
C .可变成﹣(2x﹣y)2，故不能用平方差公式计算;
D .(﹣m+n)(﹣m﹣n)=﹣(n﹣m)(n+m)=﹣(n2﹣m2)，故能用平方差公式.
故选D .
【点睛】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
3. 下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（）
A .
B .
C .
D .
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义即可得出答案.
【详解】A 、不是轴对称图形，故本选项错误;
B 、不是轴对称图形，故本选项错误;
C 、不是轴对称图形，故本选项错误;
D 、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D ．
【点睛】本题考查的是轴对称的定义:把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称，这条直线叫做对称轴.
4. 下列说法不正确的是（）.
A . “某射击运动员射击一次，正中把靶心”属于随机事件
B . “13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件
C . “在标准大气压下，当温度降到﹣5℃时，水结成冰”属于随机事件
D . “某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件
【答案】C
【解析】
试题分析:根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．”某射击运动员射击一次，正中把靶心”属于随机事件，说法正确，不合题意;”13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件，说法正确，不合题意;”在标准大气压下，当温度降到﹣5℃时，水结成冰”属于必然事件，不是随机事件，说法错误，符合题意;”某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件，说法正确，不合题意．
故选C ．
考点:随机事件．
5. 图1为某四边形A B C D 纸片，其中∠B =70°，∠C =80°．若将C D 迭合在A B 上，出现折线MN，再将纸片展开后，M、N两点分别在A D 、B C 上，如图2所示，则∠MNB 的度数为（）度.
A . 90
B . 95
C . 100
D . 105
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据折叠的性质得到∠1=∠C =80°，∠2=∠3，再根据三角形外角性质计算出∠4=∠1﹣∠B =10°，接着利用平角定义得到∠2+∠3+∠4=180°，则可求出∠2=85°，然后利用∠MNB =∠2+∠4进行计算即可．【详解】解:如图，
∵将C D 迭合在A B 上，出现折线MN，再将纸片展开后，M、N两点分别在A D 、B C 上，
∴∠1=∠C =80°，∠2=∠3，
∵∠1=∠B +∠4，
∴∠4=∠1﹣∠B =80°﹣70°=10°，
而∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2=180°﹣10°=170°，
∴∠2=85°，
∴∠MNB =∠2+∠4=85°+10°=95°．
故选B ．
【点睛】本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
6. 在边长为1的小正方形组成的4×3网格中，有如图所示的A 、B 两个格点在格点上任意放置点C ，恰好能使△A B C 的面积为1的概率是（）
A .
3
10
B .
1
10
C .
1
4
D .
1
5
【答案】C
【解析】
【详解】
如图，在4×3的网格中共有20个格点，而使得三角形面积为1的格点有5个，
故使得三角形面积为1的概率为51 204
=．
故选C .
【点睛】本题考查了概率的公式，将所有情况都列举出来是解决此题的关键．
7. 当A （A ﹣1）﹣（A 2﹣B ）=﹣2时，则
22
2
a b
+
﹣A B 的值为（）
A . ﹣2
B . 2
C . 4
D . 8
【答案】B
【解析】
【分析】
先把条件化简得到A ﹣B 的值，再把代数式通分后利用完全平方式整理，然后整体代入计算．【详解】解A (A ﹣1)﹣(A 2﹣B )=﹣2，
去括号并整理，得A ﹣B =2，
则
()2
22222
a b
a b a b2ab2
ab2 2222
-
++-
-====.
故选B .
【点睛】本题考查了完全平方公式，解本题的关键是通分后构成完全平方公式，再利用整体代入思想解答即可.
8. 若（t-3）2-2t=1,则t可以取的值有（）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
【答案】B
【解析】
【分析】
幂的结果是1的有:1n=1,(-1)n=1(n为偶数)，x0=1(x≠0),三种情况进行分类讨论即可.
【详解】当2-2t=0时，t=1，此时t-3=1-3=-2，（-2）0=1，
当t-3=1时，t=4，此时2-2t=2-2×4=-6，1-6=1，
当t-3=-1时，t=2，此时2-2t=2-2×2=-2，（-1）-2=1，
综上所述，t可以取的值有1、4、2共3个．
故选B ．
【点睛】考查了有理数的乘方.
9. 如图,小辉从家(点O)出发,沿着等腰三角形A OB 的边OA -A B -B O的路径去匀速散步,其中OA =OB ．设小辉距家(点O)的距离为S,散步的时间为t,则下列图形中能大致刻画S与t之间函数关系的图象是（）
A .
B .
C .
D .
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可以得到各段内小辉距家（点O）的距离为S与散步的时间为t之间的关系，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】解:由题意可得，
△A OB 为等腰三角形，OA =OB ，小辉从家（点O）出发，沿着0A -A B -B 0的路径去匀速散步，
则从O到A 的过程中，小辉距家（点O）的距离S随着时间的增加而增大，
从A 到A B 的中点的过程中，小辉距家（点O）的距离S随着时间的增加而减小，
从A B 的中点到点B 的过程中，小辉距家（点O）的距离S随着时间的增加而增大，
从点B 到点O的过程中，小辉距家（点O）的距离S随着时间的增加而减小，
故选D ．
【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是明确各段内对应的函数图象的形状．
10. 两组邻边分别相等的四边形叫做”筝形”，如图，四边形A B C D 是一个筝形，其中A D =C D ，A B =C B ，在探究筝形的性质时，得到如下结论:①△A B D ≌△C B D ;②A C ⊥B D ;③四边形A B C D 的面积=12
A C •
B D ，其中正确的结论有（ ）
A . 0个
B . 1个
C . 2个
D . 3个 【答案】D
【解析】
【详解】△A B D 与△C B D 中，
AD CD AB CB BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△A B D ≌△C B D （SSS ），
∴∠D A B =∠D C B ，
故①②正确;
四边形A B C D 的面积=S △A D B +S △B D C =
12B D ·OA +12B D ·OC =12
B D ·A
C ， 故③正确;
故选D .
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据”SSS ”证明△A B D 与△C B D 全等
二、填空题
11. 生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA 分子上，一个DNA 分子的直径约为0.0000002cm ．这个数量用科学记数法可表示为___cm ．
【答案】7210-⨯
【解析】
【详解】解:绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯（n 为正整数）， 则70.0000002210-=⨯.
12. 某市出租车的收费标准是:3千米以内（包括3千米）收费5元，超过3千米．每增加1千米加收1.2元，则路程x （x≥3）时，车费y （元）与路程x （千米）之间的关系式为:_____.
【答案】y=1.2x+1.4
【解析】
【分析】
因为路程x≥3（千米）时，行驶x 千米的路程被分为两部分付费，0～3千米5元，3千米以上每千米加收1.2元，所以用x-3求出3千米以上的路程，再乘1.2，然后加上5元即可．
【详解】根据题意得出:
车费y （元）与x （千米）之间的函数关系式为:
y=5+（x-3）×1.2
=5+1.2x-3.6
=1.2x+1.4，
故答案是:y=1.2x+1.4．
13. 如果（2A +2B +1）（2A +2B ﹣1）=63，那么（A +B ）2=_____．
【答案】16
【解析】
【分析】
根据平方差公式以及整体的思想即可求出答案．
【详解】∵原式=(2A +2B )2－1=63，
∴4(A +B )2=64，
则(A +B )2=16.
故答案为16.
14. 如图,点P 是∠A OB 外的一点,点M,N 分别是∠A OB 两边上的点,点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN 上,点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上．若PM=2.5C m,PN=3C m,MN=4C m,则线段QR 的长为__________C m ．
【答案】4.5
【解析】
∵点P、Q关于OA 对称，点P、R关于OB 对称，∴OA 垂直平分PQ，OB 垂直平分PR，
∴QM=PM=2.5C m，NR=PN=3C m，
∴QR=NR+MN-QM=3+4-2.5=4.5（C m）.
三、解答题
15. 化简计算:
（1）﹣12012×[4﹣（﹣3）2]+3÷（﹣3
4
）
（2）x（x﹣2y）﹣（x+y）2
【答案】（1）1;（2）﹣4xy﹣y2．
【解析】
【分析】
（1）根据有理数混合运算顺序和运算法则计算可得;
（2）根据单项式乘多项式法则和完全平方公式计算，去括号、合并同类项即可得．
【详解】解:（1）原式=﹣1×(4﹣9)+3×(﹣4 3 )
=﹣1×(﹣5)﹣4
=5﹣4
=1;
（2）原式=x2﹣2xy﹣（x2+2xy+y2）=x2﹣2xy﹣x2﹣2xy﹣y2
=﹣4xy﹣y2．
16. 先化简，再求值:（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x﹣5），其中x=3
2
．
【答案】﹣6x+9，0．
【解析】
【分析】
根据平方差公式和多项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可得解. 【详解】解:（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x﹣5）
=4﹣x2+x2﹣6x+5
=﹣6x+9，
当x=3
2
时，原式=﹣6×
3
2
+9=﹣9+9=0．
17. 尺规作图,不写作法,保留作图痕迹
已知:线段A 和∠α
求作:△A B C ，使得A B =A ，B C =2A ，∠A B C =∠α.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先作∠B =∠α，分别在∠B 的两边上截取B A =A ，B C =2A ，连接A C ，则△A B C 即为所作．
【详解】如图，先作∠B =∠α，分别在∠B 的两边上截取B A =A ，B C =2A ，连接A C ，则△A B C 即为所求作．
【点睛】考查了复杂作图，解题关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
18. 如图，已知A B ∥C D ，D A 平分∠B D C ，∠A =∠C ．
（1）试说明:C E∥A D ;
（2）若∠C =30°，求∠B 度数．
【答案】（1）详见解析;（2）∠B =120°．
【解析】
【分析】
（1）欲证明C E∥A D ，只需推知∠A D C =∠C 即可;
（2）利用（1）中平行线的性质来求∠B 的度数．
【详解】解:（1）∵A B ∥C D ，
∴∠A =∠A D C （两直线平行，内错角相等），
∵∠A =∠C ，
∴∠A D C =∠C ，
∴C E∥A D （内错角相等，两直线平行）;
（2）由（1）可得∠A D C =∠C =30°，
∵D A 平分∠B D C ，∠A D C =∠A D B ，
∴∠C D B =2∠A D C =60°，
∵A B ∥D C ，
∴∠B +∠C D B =180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠B =180°﹣∠C D B =120°．
【点睛】考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．19. 观察下列各式:
（x﹣1）÷（x﹣1）=1
（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1;
（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1
（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1
（1）根据上面各式的规律可得（x n﹣1）÷（x﹣1）=;
（2）利用（1）的结论，求22018+22017+…+2+1的值;
（3）若1+x+x2+…+x2017=0，求x2018的值．
【答案】（1）x n﹣1+x n﹣2+……+x+1;（2）22019﹣1;（3）1.
【解析】
【分析】
（1）根据题意给出的规律即可求出答案; （2）根据（1），令x=2即可求出答案;
（3）根据（1），令n=2018即可求出答案.【详解】解:（1）由规律可知:x n﹣1+x n﹣2+……+x+1; （2）∵(x n﹣1)÷(x﹣1)=x n﹣1+x n﹣2+……+x+1，∴(22019﹣1)÷(2﹣1)=22018+22017+…+2+1，∴22018+22017+…+2+1=22019﹣1，（3）∵(x n﹣1)÷(x﹣1)=x n﹣1+x n﹣2+……+x+1，∴(x2018﹣1)÷(x﹣1)=x2017+x2016+……+x+1=0，∴x2018﹣1=0，∴x2018=1. 20. 来自中国、美国、立陶宛、加拿大的四国青年男篮巅峰争霸赛于2014年3月25日-27日在我县体育馆举行．小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票．同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆．如图中线段A B 、OB 分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程S（米）与所用时间t（分钟）之间的图象，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）: （1）从图中可知，小明家离体育馆
米，父子俩在出发后分钟相遇．
（2）求出父亲与小明相遇时距离体育馆还有多远?
（3）小明能否在比赛开始之前赶回体育馆?
【答案】（1）3600，15;(2) 900米(3) 小明能在比赛开始之前赶回体育馆．
【解析】
分析:（1）观察图象得到小明家离体育馆有3600米，小明到相遇地点时用了15分钟，则得到父子俩在出发后15分钟相遇;
（2）设小明的速度为x米/分，则他父亲的速度为3x米/分，利用父子俩在出发后15分钟相遇得
到15•x+3x•15=3600，解得x=60米/分，则父亲与小明相遇时距离体育馆还有15x=900米;
（3）由（2）得到从B 点到O点的速度为3x=180米/秒，则从B 点到O点的所需时间=900 180
=5
（分），得到小明取票回到体育馆用了15+5=20分钟，小于25分钟，可判断小明能在比赛开始之前赶回体育馆．
详解:（1）∵O点与A 点相距3600米，∴小明家离体育馆有3600米．
∵从点O点到点B 用了15分钟，∴父子俩在出发后15分钟相遇;
（2）设小明的速度为x米/分，则他父亲的速度为3x米/分，根据题意得:
15•x+3x•15=3600，
解得:x=60米/分，∴15x=15×60=900（米）
即父亲与小明相遇时距离体育馆还有900米;
（3）∵从B 点到O点的速度为3x=180米/秒，∴从B 点到O点的所需时间=900
180
=5（分），
而小明从体育馆到点B 用了15分钟，∴小明从点O到点B ，再从点B 到点O需15分+5分=20分．∵小明从体育馆出发取票时，离比赛开始还有25分钟，∴小明能在比赛开始之前赶回体育馆．点睛:本题考查了函数图象:函数图象反映两个变量之间的变化情况，根据图象提供得信息得到实际问题中的相关的量，然后利用这些量解决问题．
21. 如图，在△A B C 中，A B ＝A C ，D ，E，F分别在三边上，且B E＝C D ，B D ＝C F，G为EF的中点．
(1)若∠A ＝40°，求∠B 的度数;
(2)试说明:D G垂直平分EF.
【答案】（1）70°;（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图，首先证明∠A B C =∠A C B ，运用三角形的内角和定理即可得解;
（2）如图，作辅助线;首先证明△B D E≌△C FD ，得到D E=D F，运用等腰三角形的性质证明D G⊥EF，即可得证．
【详解】解:（1）∵A B =A C ，
∴∠B =∠C ，
∵∠A =40°，
∴∠ B =180402
︒-︒=70°; （2）如图连接D E ，D F ，
在△B D E 与△C FD 中，
BD CF B C BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△B D E ≌△C FD （SA S ），
∴D E=D F （三角形全等其对应边相等），
∵G 为EF 的中点，
∴D G ⊥EF ，
∴D G 垂直平分EF ．
【点睛】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质，解题的关键是灵活运用等腰三角形的判定及其性质，全等三角形的判定及其性质等几何知识点来解答． 22. 如图1，在△A B C 中，∠B A C =90°，A B =A C ，直线MN 过点A 且MN ∥B C ，点D 是直线MN 上一点，不与点A 重合．
（1）若点E 是图1中线段A B 上一点，且D E=D A ，请判断线段D E 与D A 的位置关系，并说明理由; （2）请在下面 A ，B 两题中任选一题解答．
A :如图2，在（1）的条件下，连接
B D ，过点D 作D P ⊥D B 交线段A
C 于点P ，请判断线段
D B 与D P 的数量关系，并说明理由;
B :如图3，在图1的基础上，改变点D 的位置后，连接
B D ，过点D 作D P ⊥D B 交线段
C A 的延长线于点P ，请判断线段
D B 与D P 的数量关系，并说明理由．
我选择: ．
【答案】（1）D E ⊥D A ，详见解析;（2）A 、D B =D P;B 、D B =D P ．详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠B =∠C =45°，根据平行线的性质得到∠D A E=∠B =45°，根据等腰三角形的性质即可得证;
（2）A :根据同角的余角相等得到∠B D E=∠A D P ，证明△D EB ≌△D A P ，根据全等三角形的性质定理证明结论;
B :与题A 的证明方法类似，延长A B 至F ，连接D F ，使D F=D A ，证明△D FB ≌△D A P 即可．
【详解】解:（1）D E ⊥D A ;
证明:∵∠B A C =90°
，A B =A C ， ∴∠B =∠C =45°，
∵MN ∥B C ，
∴∠D A E=∠B =45°（两直线平行，内错角相等），
又∵D A =D E ，
∴∠D EA =∠D A E=45°，
∴∠A D E=90°，即D E ⊥D A ;
（2）A :D B =D P;
证明:∵D P ⊥D B ，
∴∠B D E+∠ED P=90°，
又∵D E ⊥D A ，
∴∠A D P+∠ED P=90°，
∴∠B D E=∠A D P ，
∵∠D EA =∠D A E=45°，
∴∠B ED =135°，∠PA D =135°，
∴∠B ED =∠PA D ，
在△D EB 和△D A P 中，
BED PAD BDE PDA DE DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△D EB ≌△D A P （A A S ），
∴D B =D P （三角形全等其对应边相等）． B :D B =D P;
证明:如图3，延长A B 至F ，连接D F ，使D F=D A ，
由（1）得，∴∠D FA =∠D A F=45°， ∴∠A D F=90°，
又∵D P ⊥D B ，
∴∠FD B =∠A MP ，
∵∠B A C =90°，∠D A F=45°， ∴∠PA M=45°，
∴∠B FD =∠PA M ，
在△D FB 和△D A P 中，
FDB AMP
DF DA BFD PAM
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，
∴△D FB ≌△D A P （A SA ）， ∴D B =D P （三角形全等其对应边相等）．。