高中数学必修二 第六章 平面向量及其应用 章末测试(基础)(含答案)

第六章 平面向量及其应用 章末测试(基础)
一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)
1．(2021·全国·高一课时练习)在△ABC 中，若A=60°，BC=AC=B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．45°或135°
【答案】B
【解析】由正弦定理，得
sin sin BC AC A B =，则sin B=sin 2AC A BC = 因为BC>AC ，所以A>B ，而A=60°，所以B=45°.故选：B 2．(2021·宁夏·海原县第一中学)已知向量,a b 满足1,1a a b =⋅=-，则()2a a b ⋅-=( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
【答案】B 【解析】
1,1a a b =⋅=-，
()
()2
2222213a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅=--=
故选：B
3．(2021·吉林·延边二中高一期中)在Rt ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 外一点，点P 满足1
()2
OP OA AB AC =++，则||AP 等于( )
A ．2
B ．1
C ．1
2
D ．4
【答案】B 【解析】
1
()2
OP OA AB AC =++，
∴1
()2OP OA AB AC -=+，1()2
AP AB AC =+，
AP ∴为Rt ABC 斜边BC 的中线，∴||1AP =． 故选：B ．
4．(2021·河北定州·高一期中)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()sin 2sin sin c C a b B a b A -+=-，则C =( ) A ．6
π
B ．
3
π或23π
C ．
23
π
D ．6π或
56
π
【答案】C
【解析】依题意，由正弦定理得()()2
2c a b b a b a -+=-，
2
2
2
2c ab b a ab --=-，222
a b c ab +-=-，
2221
22
a b c ab +-=-， 即1
cos 2
C =-.由于0C π<<，
所以23
C π=
. 故选：C
5．(2021·全国 )若非零向量,a b 满足3a b =，()
23a b b +⊥，则a 与b 的夹角为( ) A ．6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 【答案】C 【解析】
(
)23a b b +⊥，()
223230a b b a b b ∴+⋅=⋅+=，2
32
a b b ∴⋅=-
又3a b = 2223312223cos 3b
a b b b b b b
a θ--⋅∴===-⋅⋅=
， 又向量夹角范围为[0,]π，所以a 与b 的夹角为23
π， 故选：C.
6．(2021·安徽·寿县第一中学高一月考)在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 向量()2,sin ,m b c C =+向量()sin ,2n B c b =+，且满足2sin ,m n a A ⋅=则角A =( ) A ．6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 【答案】C
【解析】由已知2sin ,m n a A ⋅=得()()2sin 2sin 2sin .a A b c B c b C =+++
再根据正弦定理有，()()2
222a b c b c b c =+++，即222a b c bc =++.
由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-,所以1
cos ,2
A =-
因为()0,,A π∈所以2.3
A π= 故选：C
7．(2021·广东·广州大学附属中学 )如图所示的ABC 中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则DE →
=( )
A ．1136BA BC →→--
B ．1163
BA BC →→
-- C ．5
16
3
BA BC →
→
-- D ．516
3
BA BC →
→
-+
【答案】B
【解析】依题意，
11111113233263
DA AE AC BA B DE C BA BA BA BC →→→→→→→→→→+=--=-+-=--=， 故选：B
8．(2021·福建省厦门集美中学高一月考)已知在ABC 中，90C ∠=︒，24AB AC ==，点D 沿A C B →→运动，则AD BD ⋅的最小值是( ) A ．3- B ．1- C ．1 D ．3
【答案】A
【解析】在ABC 中，90C ∠=︒，24AB AC ==，可得BC = 当点D 在AC 上运动时，设()01AD AC λλ=≤≤，则()1CD AC λ=-，所以()
AD BD AD BC CD AD BC AD CD ⋅=⋅+=⋅+⋅，
又因为90C ∠=︒，所以AD BC ⊥，所以0AD BC ⋅=， 所以()2
2
11412AD BD AD CD AC λλλ⎛
⎫⋅=⋅=-=-- ⎪⎝
⎭，
当1
2
λ=时，AD BD ⋅取得最小值1-.
当点D 在BC 上运动时，设()01BD BC λλ=≤≤，则()1CD BC λ=-， 所以()
AD BD AC CD BD AC BD CD BD ⋅=+⋅=⋅+⋅， 又因为90C ∠=︒，所以AC BD ⊥，所以0AC BD ⋅=，
所以()2
2
111232AD BD CD BD BC λλλ⎛
⎫⋅=⋅=-=-- ⎪⎝
⎭，
当1
2
λ=时，AD BD ⋅取得最小值3-， 综上可得，AD BD ⋅的最小值是3-. 故选：A.
二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)
9．(2021·江苏·镇江市实验高级中学高一月考)已知向量()()()2,13,21,1a b c =-=-=，
，，则( ) A ．//a b B ．()
a b c +⊥ C ．a b c += D ．53c a b =+
【答案】BD
【解析】()()()2,13,21,1a b c =-=-=，
，， 对于A ，因为221(3)⨯≠-⨯-，所以,a b 不共线，所以A 错误；
对于B ，因为()(1,1)(1,1)110a b c +⋅=-⋅=-+=，所以()
a b c +⊥，所以B 正确； 对于C ，因为(1,1)a b +=-，(1,1)c =，所以a b c +≠，所以C 错误；
对于D ，因为535(2,1)3(3,2)(1,1)a b +=-+-=，(1,1)c =，所以53c a b =+，所以D 正确， 故选：BD
10．(2021·吉林·延边二中高一月考)在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B b
C a c
=-，
ABC S =
△3b =，则
A ．1cos 2
B =
B ．cos B =
C ．a c +=
D ．a c +=【答案】AD 【解析】
cos sin cos 22sin sin B b B
C a c A C
==--. 整理可得: sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-
可得 sin cos sin cos sin()sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==
A 为三角形内角, sin 0A ≠ 1
cos ,2
B =
故A 正确，B 错误.
(0,)B π∈3
B π∴=
3ABC
S
b =
=
11sin 22ac B a c ==⨯⨯ 解得 3ac =,
由余弦定理得 22229()3()9a c ac a c ac a c =+-=+-=+-
解得a c +=故C 错误，D 正确. 故选: AD.
11．(2021·全国·高三专题练习(理))已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为钝角
B ．向量a 在b
C ．2m +n =4
D ．mn 的最大值为2 【答案】CD
【解析】对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；
对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为
2
2a b b ⋅=
，错误；
对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；
对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12= (2m •n )1
2
≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为
2，正确； 故选：CD.
12．(2021·全国·高一课时练习)已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列四个命题中正确的命题是( ) A ．若
cos cos cos a b c
A B C
==，则ABC 一定是等边三角形 B ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形
C ．若cos ccos b C B b +=，则ABC 一定是等腰三角形
D ．若222+>0a b c -，则ABC 一定是锐角三角形 【答案】AC
【解析】因为ABC 的内角,,A B C ，所以0,0,0A B C πππ<<<<<<， 由
cos cos cos a b c A B C
==，利用正弦定理可得sin sin sin cos cos cos A B C
A B C ==，即tan tan tan ,A B C A B C ====，ABC 是等边三角形，A 正确；
由正弦定理可得sin cos sin cos sin2sin2A A B B A B =⇒=，22A B =或22A B π+=，
ABC 是等腰三角形或直角三角形，B 不正确；
由正弦定理可得sin cos sin cos sin B C C B B +=，即sin()sin ,sin sin B C B A B +==， 则,A B ABC =等腰三角形，C 正确；
由余弦定理可得222
cos 02a b c C ab +-=>，角C 为锐角，角,A B 不一定是锐角，D 不正确，
故选：AC.
三、填空题(每题5分，共20分)
13．(2021·全国·高一课时练习)已知,a b 为单位向量，且0a b ⋅=，若25c a b =-，则cos ,a c <>=__. 【答案】2
3
【解析】∵,a b 为单位向量，∴||||1a b ==，
.又0a b ⋅=，25c a b =-，
∴222||4||5||459c a b a b =+-⋅=，
∴||3c =，又22||52502a c a a b ⋅=-⋅=-⨯=，
∴cos ,||||a c a c a c ⋅<>=
⋅22
133
==⨯.
故答案为：2
3
14．(2021·福建·福清西山学校高三月考)如图，在矩形ABCD 中，AB BC ＝2，点E 为BC 的中点，
点F 在边CD 上，若AB AF ⋅AE BF ⋅的值是________．
【解析】
∵AF AD DF =+，0AB AD ⋅=，
∴()
22AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅==， ∴1DF =，21CF =，
∴()()
AE BF AB BE BC CF AB BC AB CF BE BC BE CF ⋅=++=⋅+⋅+⋅+⋅，
∵)
0,0,1AB BC BE CF AB CF AB CF cos π⋅=⋅=⋅=⋅=,
122BE BC BE BC ⋅=⋅=⨯= ,)
2
1222AE BF AB CF BE BC ∴⋅=⋅+⋅=-+=-
15．(2021·辽宁·东港市第三中学高一期末)在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角60α=︒，在塔底C 处测得点A 的俯角45β=︒，已知铁塔BC 部分高32米，山高CD =_______．
【答案】1)米
【解析】由60α=︒，45β=︒易得
60BAD ∠=︒，45CAD ∠=︒，
设AD x =，
则tan tan 45CD AD CAD AD x =⋅∠=⋅︒=，
tan tan 60BD AD BAD AD =⋅∠=⋅︒=，
32BC BD CD x ∴=-=-=，
1)
x ∴=
=．
16．(2021·湖北 )如图，在凸四边形ABCD 中，1DA DC ==，AB =，若2
B π
=，则四边形ABCD 面
积的最大值为________．
【解析】如图连接AC ，设∠ADC 2α=，由1DA DC ==，AB =，2
B π
=，
可知2sin ,sin ,AC BC AB ααα===，
∴四边形ABCD 面积：
211sin 2sin 22)22S αααααϕ===-其中tan ϕ=，当sin(2)1αϕ-=
时，max S =
. 四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分) 17．(2021·全国·高一课时练习)已知()=1,2a ，()=3,1b - (1)求2a b -；
(2)设a ，b 的夹角为θ，求cos θ的值; (3)若向量a kb +与a kb -互相垂直，求k 的值.
【答案】(1)()70，
；(2)(3)k=. 【解析】(1)()()()21,223,17,0a b -=--=；
(2)(1321cos 1014a b a b
θ⨯-+⨯⋅=
=
=-
+⋅
(3)因为向量a kb +与a kb -互相垂直，
所以()()
0a kb a kb ⋅-=+，即22
2a k b 0-=，
因为2
2
5,10a b ==，所以5-10k 2=0，解得k=
18．(2021·浙江·高一单元测试)已知在ABC 中，cos A =，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边. (1)求tan2A ；
(2)若sin 23B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，c =ABC 的面积.
【答案】(1).
【解析】(1)因为cos A =且(0,),sin A A π∈==
∴sin tan cos A A A =
=
∴22tan tan 21tan A
A A
=
=-
(2)由sin 2B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，得cos B =
由(0,)B π∈，所以1sin 3
B ==，
则sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=
，
由正弦定理，得sin 2sin c A
a C
=
=，
∴ABC 的面积为1sin 23
S ac B =
=
. 19．(2021·浙江·高一单元测试)在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sin sin 2
B C
b a B +=，③sin cos()6
a B
b A π
=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：ΔABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 2b c +=，______，求A 和C ． 注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分． 【答案】选择见解析；3
A π=
，512
C π=
． 【解析】(1)选择条件①，由()2
2sin sin sin sin sin B C A B C -=-及正弦定理知，
()
2
2b c a bc -=-，整理得，222b c a bc +-=；
由余弦定理可得，2221
cos 222b c a bc A bc bc +-===；
又因为()0,A π∈，所以，3
A π=
．
2b c +=sin 2sin A B C +=；
由23
B C π=
-2sin 2sin 33C C π
π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
；
整理得，sin 6C π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
因为20,3C π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以，,662C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，
从而64C ππ-=，解得512
C π
=
(2)选择条件②，因为A B C π++=，所以222
B C A
π+=-； 由sin
sin 2B C b a B +=得，cos sin 2
A
b a B = 由正弦定理知，sin cos sin sin 2sin cos sin 222
A A A
B A B B ==； 又sin 0B >，sin
02
A >，可得1
sin 22A =；
又因为()0,A π∈，所以，
26A π
=，故3
A π=．
2b c +=sin 2sin A B C +=；
由23B C π
=-2sin 2sin 33C C ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
；
整理得，sin 6C π⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，,662C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 从而64C ππ-=，解得512
C π=． (3)选择条件③，由sin cos 6a B b A π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭及正弦定理知， sin sin sin cos 6A B B A π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
又sin 0B >，从而1sin cos sin 62A A A A π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，
解得tan A =
又因为()0,A π∈，所以，3A π
=．
2b c +=sin 2sin A B C +=；
由23B C π
=-2sin 2sin 33C C ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
；
整理得，sin 6C π⎛⎫- ⎪⎝
⎭， 因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，,662C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 从而64C ππ-=，解得512
C π=． 20．(2021·重庆第二外国语学校高一月考)在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 5
A =. (1)若ABC 的面积为3，求A
B A
C ⋅的值；
(2)设2sin ,12B m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,cos 2B n B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//m n ，求()sin 2B C -的值.
【答案】(1)92AB AC ⋅=；(2)()sin 2B C -=.
【解析】(1)0A π<<，sin 0A ∴>，则4sin 5
A ==， ABC 的面积为114sin 3225
ABC S bc A bc =
=⨯⨯=△，152bc ∴=. 因此，1539cos 252AB AC cb A ⋅==⨯=；
(2)2sin ,12B m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,cos 2B n B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//m n ，所以，2sin cos cos 22B B B =，即sin cos B B =，tan 1B ∴=. 0B π<<，4
B π∴=. 223337sin 2sin 2sin 2cos 212cos 124
2525C A A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 334324cos 2cos 2cos 2sin 22sin cos 2425525C A A A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=-⨯⨯=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
因此，())247sin 2sin 2cos 2sin 242
2252550B C C C C π⎛⎫⎛⎫-=-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21．(2021·福建省建瓯市芝华中学高一月考)如图，在平行四边形ABCD 中， 4AB =，2AD =， 60BAD ︒∠=，E ， F 分别为AB ， BC 上的点，且2AE EB =， 2=CF FB ．
(1)若DE x AB y AD =+，求 x ，x 的值；
(2)求AB DE ⋅的值；
(3)求cos BEF ∠．
【答案】(1)2,13x y ==-；(2)203；【解析】(1)∴23DE AE AD AB AD =-=-∴2,13
x y ==- (2)AB DE ⋅=222()33AB AB AD AB AB AD ⋅-=-⋅22120442323
=⨯-⨯⨯= (3)设,EB EF 的夹角为θ
22128|()|
39
EF AB AD =+= ， ∴27EF =又216420
999EF EB EB BF EB ⋅=+⋅=+=，43
EB =
∴20
cos 2||EB EF EB EF θ⋅
===
22．(2021·全国·高一课时练习)已知函数2()cos 22f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭
(1)求函数f (x )的单调性；
(2)
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a =c ＝1，求△ABC 的面积. 【答案】(1)在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增，在511,1212k k πππ
π⎛⎤++ ⎥⎝⎦上单调递减，k ∈
Z ；
【解析】1)())sin 21cos 2sin 222sin 23f x x x x x x π⎛⎫=++==- ⎪⎝
⎭， 由222232k x k πππππ--+，得51212k x k ππππ-+，k ∈Z ； 由3222232k x k π
π
πππ+<-+，得5111212
k x k ππππ+<+，k ∈Z . 故f (x )在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦上单调递增，在511,1212k k ππππ⎛
⎤++ ⎥⎝⎦上单调递减，k ∈Z ； (2)2sin 23A f A π⎛⎫
⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
， ∵A ∈(0，π)，∴33A π
π
-=，即23
A π=，
由正弦定理得，sin sin a c A C =1sin C =，解得1sin 2C = ，∴6C π=或56π， 当C ＝56π时，A +C ＞π，舍去，所以
6C π=，故
6B π=， ∴111sin 1222ABC S ac B ∆==⨯=。