北师大版九年级数学下册3.8：圆内接正多边形 同步练习

2019-2020学年初中数学北师大版九年级下册3.8圆内接正多边形同步练习
一、单选题
1.如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（）
A. 30°
B. 40°
C. 45°
D. 50°
2.以半径为1的圆内接正三角形，正方形，正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）
A. B. C. D.
3.半径为r的圆的内接正三角形的边长是（）
A. 2r
B.
C.
D.
4.如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（）
A. π
6a2 B. （π
6
−√3
4
）a2 C. √3
4
a2 D. （π
3
−√3
4
）a2
5.已知圆内接正三角形的面积为√3，则该圆的内接正六边形的边心距是（）
A. 2
B. 1
C. √3
D. √3
2
6.如图，将正五边形绕其中心O顺时针旋转ɑ角度，与原正五边形构成新的图形，若要使该图形是中心对称图形，则ɑ的最小角度为（）
A. 30°
B. 36°
C. 72°
D. 90
7.如图，雯雯开了一家品牌手机体验店，想在体验区(图1阴影部分)摆放图2所示的正六边形桌子若干张．体验店平面图是长9米、宽7米的矩形，通道宽2米，桌子的边长为1米；摆放时要求桌子至少离墙1米，且有边与墙平行，桌子之间的最小距离至少1米，则体验区可以摆放桌子（）
A. 4张
B. 5张
C. 6张
D. 7张
8.正六边形的边心距与边长之比为（）
A. 1 : 2
B. √2：2
C. √3：1
D. √3：2
9.以下说法正确的是( )
A. 每个内角都是120°的六边形一定是正六边形
B. 正n边形的对称轴不一定有n条．
C. 正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．
D. 正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．
10.已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）
A. 1.4
B. 1.1
C. 0.8
D. 0.5
二、填空题
11.如图，点G是正六边形ABCDEF的CD边的中点，AG与CF交于H点．则∠AHF+∠HGC=________度，若AB=a，则FH=________（用含a的代数式表示）．
12.如图，边长相等的正五边形和正六边形拼接在一起，则∠ABC的度数为________．
13.如图，连接正十边形的对角线AC与BD交于点E，则∠AED＝________°.
14.如图，△ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是________ (结果用含π的式子表示)．
15.刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.设⊙O的半径为1，若用⊙O的外切正六边形的面积S来近似估计⊙O的面积，则S=________.（结果保留根号）
16.小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经
cm2，则该圆的半径为________cm．
过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为49√3
2
三、解答题
17.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
18.如图，圆O的半径为r．
（1）在图①中，画出圆O的内接正△ABC，简要写出画法；求出这个正三角形的周长．
（2）在图②中，画出圆O的内接矩形ABCD，简要写出画法；若设AB=x，求出矩形的周长.
（3）如图③，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA．设AB=x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并探究L是否有最大值，若有，请指出x为何值时，L取得最大值；若没有，请说明理由．
19.如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O 相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；
（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．
20.如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD,正五边形ABCDE,、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B,C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动（1）求图10－1中∠APN的度数；
（2）图10－2中，∠APN的度数是________，图10－3中∠BPN的度数是________。

（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
21.如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s 速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：①当
t=________s时，四边形PBQE为菱形；②当
t=________s时，四边形PBQE为矩形．
22.如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B，C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是________，图③中∠APB的度数是________；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
23.已知线段a及如图形状的图案.
（1）用直尺和圆规作出图中的图案，要求所作图案中圆的半径为a（保留作图痕迹）
（2）当a=6时，求图案中阴影部分正六边形的面积.
参考答案
一、单选题
1. C
2. D
3.B
4.B
5. B
6.B
7. A
8.D
9. A 10. C
二、填空题
11.120；12.24°13.126 14.4π−3√315.2√316.8
三、解答题
17.（1）解：连接OB，OC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠P= 1
∠BOC=45°
2
（2）解：
∵OB=OC=8，∠BOC=90°，
∴OB2+OC2=CB2，
∴BC=√82+82=√128=8√2
18.解：（1）首先把圆六等份，然后连接三个不相邻的顶点即可作出．△ABC就是所求的三角形；
（2）在直角△ABD中，AD=√AC2−AB2=√4r2−x2，
则BC=AD=√4r2−x2，CD=AB=x．
则矩形的周长是：2x+2√4r2−x2，
（3）连接AC，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
又∵CG⊥AD于点G．
∴CD2=DG•AD，
∴DG=CD2
AD =x2 2r
，
∴BC=EF=AD﹣2DG=2r﹣x2
r
．
则L=4x+4r﹣2x2
r
．
当x=﹣4
−4
x
=r时，L取得最大值．最大值是：6r．
19.（1）解：连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．
所以r：a=1：1；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b=AO：BO=sin60°= √3：2.
（2）解：T1：T2的边长比是√3：2，
所以S1：S2=（a：b）2=3：4．
20.（1）图1:∵点M、N分别从点B. C开始以相同的速度在O上逆时针运动，∴劣弧BM=劣弧CN
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°。

（2）90°；108°
（3）由（1）、（2）可知，∠APN=它所在的正多边形的内角度数。

180(n−2)
n
21.（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP=DQ=t，PF=QC=4﹣t，
在△ABP和△DEQ中，
{AB=DE
∠A=∠D
AP=DQ
，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP=EQ，同理可证PE=QB，
∴四边形PEQB是平行四边形
（2）2；0或4
22.（1）解：∠APB=120°
图1：∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=60°．
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=180°﹣∠APN=120°；
（2）90°；72°
（3）解：由（1）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，360°
n
．23.（1）解：所作图形如下图所示：
（2）解：如下图，
连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，则由题意可得：OA=OB=6，∠AOB=120°，∠OEB=90°，AE=BE，△BOC，△AOD都是等腰三角形，△OCD的三边三角形，
∴∠ABO=30°，BC=OC=CD=AD，
∴BE=OB·cos30°= 3√3，OE=3，
∴AB= 6√3，
∴CD= 2√3，
∴S△OCD= 1
×2√3×3=3√3，
2
∴S阴影=6S△OC D= 18√3.。