2019年浙江舟山中考数学试题(解析版)

2019年省市中考数学试卷
考试时间：分钟满分：分
{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共小题，每小题分，合计分．
{题目}1．（2019年浙江省舟山）－2 019的相反数是 ············································（）
A．2 019 B．－2 019 C．
1
2019
D．
1
2019
{答案}A
{解析}本题考查了相反数的意义，符号不同、绝对值相等的两个数叫做互为相反数．∵－2019与2019的符号不同，它们的绝对值都等于2019，所以－2019的相反数是2019，因此本题选A．
{分值}3
{章节:[1-1-2-3]相反数}
{考点:相反数的定义}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}2．（2019年浙江省舟山）2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器飞行约380 000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆．数据380 000用科学记数法表示为 ········（）A．38×104B．3.8×104C．3.8×105D．0.38×106
{答案}C
{解析}本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．380 000用科学记数法表示时a＝3.8，此时小数点向左移动了5位，所以n＝5．∴380 000＝3.8×105，因此本题选C．
{分值}3
{章节:[1-1-5-2]科学计数法}
{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}3．（2019年浙江省舟山）右图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为 ··························································································
····（）{答案}B
{解析}本题考查了几何体的三视图，从几何体的上方向下看到的图形叫做俯视图．由于几何体是由四个相同的小正方体组成的，从上方看能看到三个小正方形，且从左到右共有两列，第一列有两个正方形，第二列的上方有一个正方形，因此本题选B．
{分值}3
{章节:[1-29-2]三视图}
{考点:作图－三视图}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}4．（2019年浙江省舟山）2019年5月26日第5届中国国际大数据产业博览会召开，某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图．下列说法正确的是·····················（）A．B．C．D．
A ．签约金额逐年增加
B ．与上一年相比，2019年的签约金额的增长量最多
C ．签约金额的年增长速度最快的是2016年
D ．2018年的签约金额比2017年降低了22.98%
{答案}C
{解析}本题考查了数据整理中的折线统计图，折线统计图能看出数据的变化过程和趋势．观察折线统计图，2016年到2017年折线呈下降趋势，选项A 不正确；与上一年相比，2019签约金额的增长量为422.33－221.63＝200.7（亿元），2016签约金额的增长量为381.35－40.9＝340.45（亿元），而200.7＜340.45，选项B 不正确；由折线统计图知，签约金额的增长是2016年、2019年，而200.7＜340.45，所以签约金额的年增长速度最快的是2016年，选项C 正确；∵(244.61-221.63)÷244.61≈9%，选项D 不正确．因此本题选C ． {分值}3
{章节:[1-10-1]统计调查} {考点:折线统计图} {类别:常考题} {难度:2-简单}
{题目}5．（2019年浙江省舟山）如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a 可以是 ········································································································ （ ）
A ．tan 60°
B ．－1 D ．12 019
{答案}D
{解析}本题考查了一元一次方程的应用．因为2×2的方阵中每行的两数和相等，所以0382+＝2a +-，即2＋1＝a ＋2，解得a ＝1．∵12019＝1，因此本题选D ． {分值}3
{章节:[1-28-2-1]特殊角}
{考点:一元一次方程的应用（其他问题）} {考点:立方根}
{考点:绝对值的性质} {考点:零次幂}
{考点:特殊角的三角函数值} {考点:有理数乘方的定义} {类别:高度原创} {难度:2-简单}
某市在五届数博会上的产业签约金额统计图
签约金额（亿元）
年份
2015 2016 2017 2018 2019 100
200 300 400 500 40.9
381.35
244.61
221.63
422.33
3
8
02a
2
-
{题目}6．（2019年浙江省舟山）已知四个实数a，b，c，d，若a＞b，c＞d，则··········（）
A．a＋c＞b＋d B．a－c＞b－d C．ac＞bd D．a
c ＞
b
d
{答案}A
{解析}本题考查了不等式的基本性质．∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d．选项A正确；∵c＞d，∴－c＜－d．又∵a＞b，∴a－c与b－d的大小关系不确定；由于不知a，b，c，d的正负性，所以
ac与bd、a
c 与
b
d
的大小关系都不确定，选项C、选项D都不正确，，因此本题选A．
{分值}3
{章节:[1-9-1]不等式}
{考点:不等式的性质}
{类别:易错题}
{难度:2-简单}
{题目}7．（2019年浙江省舟山）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径QC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为 ····················································（）
A．2 B
C
D．1
2
{答案}B
{解析}本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理．如答图，连接OA，∵∠ABC＝30°，∠AOC＝2∠ABC，∴∠AOC＝60°．∵AP是⊙O的切线，∴OA⊥AP．∴∠P＝30°．∵半径OC＝
1，∴OA＝1．在Rt△AOP中，tan∠P＝AO
AP ，∴tan30°＝
1
AP
．∴AP
B．
{分值}3
{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}
{考点:含30度角的直角三角形}
{考点:圆周角定理}
{考点:切线的性质}
{考点:特殊角的三角函数值}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}8．（2019年浙江省舟山）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 ·······················（）
A．
4638
3548
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
．
B．
4648
3538
y x
y x
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
．
C ．46485338x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，
．
D ．46483538x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，
．
{答案}D
{解析}本题考查了二元一次方程组的应用．由相等关系“马四匹、牛六头，共价四十八两”得4x ＋6y ＝48；由相等关系“马三匹、牛五头，共价三十八两”得3x ＋5y ＝38．因此本题选D ． {分值}3
{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组} {考点:二元一次方程组的应用} {类别:常考题} {难度:2-简单}
{题目}9．（2019年浙江省舟山）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC 的顶点A （1，2），B
（3，3）．作菱形OABC 关于y 轴的对称图形OA ′B ′C ′，再作图形OA ′B ′C ′关于点O 的中心对称图形OA ″B ″C ″，则点C 的对应点C ″的坐标是 ················································· （ ） A ．（2，－1） B ．（1，－2） C ．（－2，1） D ．（－2，－1）
{答案}A
{解析}本题考查了轴对称、中心对称的意义、点的坐标定义，先按题意分别画出四边形OA ′B ′C ′，四边形OA ″B ″C ″，再根据点的坐标的意义确定出点C ″的坐标．如答图所示，因此本题选A ．
{分值}3
{章节:[1-23-2-1]中心对称} {考点:作图－轴对称} {考点:中心对称} {考点:点的坐标} {类别:常考题} {难度:2-简单}
{题目}10．（2019年浙江省舟山）小飞研究二次函数y ＝－(x －m )2-m ＋1（m 为常数）性质时，有
如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y ＝－x ＋1上；②存在一个m 的值，使得函数
图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1＋x2＞2m，则y1＜y2；④当－1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m 的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是 ················································（）A．①B．②C．③D．④
{答案}C
{解析}本题考查了二次函数的性质．∵y＝－(x－m)2-m＋1，∴顶点坐标为（m，－m＋1）．在y ＝－x＋1，当x＝m时，y＝－m＋1．∴函数y＝－(x－m)2-m＋1的顶点始终在直线y＝－x＋1上，
①正确．∵在y＝－(x－m)2-m＋1中，当y＝0时，0＝－(x－m)2-m＋1，解得x＝m
象的顶点与x轴的两个交点坐标为M（m0），N（，0），∴MN＝m
(m-＝P，则P（m，1-m）．由对称性知，PM＝PN．若△PMN是等腰直角三角形，则∠MPN＝90°．设抛物线的对称轴交x轴于点Q，则点Q为MN的中点，PQ＝1-
m，MN＝2PQ．∴2(1-m)．解得m＝0，此时二次函数为y＝－x2＋1，顶点及与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，选项B正确；当m＝0时，此时二次函数为y＝－x2＋1，若点A、B在对称轴右侧，则y随x的增大而减小．此时0＜x1＜x2，x1＋x2＞0，即满足x1＜x2，x1＋x2＞
2m，但y1＞y2，选项C不正确；当－1＜x＜2时，y随x的增大而增大，∴此时x的值应在对称轴直线x＝m的左侧（含顶点），∴m≥2，选项D正确．因此本题选D．
{分值}3
{章节:[1-22-1-4]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质}
{考点:二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象}
{考点:抛物线与一元二次方程的关系}
{考点:含参系数的二次函数问题}
{类别:易错题}
{难度:4-较高难度}
{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共小题，每小题分，合计分．
{题目}11．（2019年浙江省舟山）分解因式：x2-5x＝________．
{答案}x(x－5)
{解析}本题考查了多项式的因式分解，多项式x2-5x的各项都含有公因式x，∴x2-5x＝x(x－5)．{分值}4
{章节:[1-14-3]因式分解}
{考点:因式分解－提公因式法}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}12．（2019年浙江省舟山）从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为________．
{答案}2 3
{解析}本题考查了等可能条件下的概率，根据等可能条件下的概率公式P＝m
n
进行计算．∵从甲、
乙、丙三人中任选两人甲被选中，∴所有可能出现的结果是：①甲、乙；②甲、丙；③乙、
丙，∴n＝3，m＝2．∴P（甲被选中）＝2
3
．
{分值}4
{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {考点:两步事件不放回}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}13．（2019年浙江省舟山）数轴上有两个实数a ，b ，且a ＞0，b ＜0，a ＋b ＜0，则四个数a ，b ，－a ，－b 的大小关系为________（用“＜“号连接）．{答案}b ＜－a ＜a ＜－b
{解析}本题考查了实数的大小比较，数轴，相反数，有理数加法等知识点．∵a ＞0，b ＜0，∴－a ＜0，－b ＞0．∵a ＞0，b ＜0，a ＋b ＜0，∴由“异号两数相加，取绝对值较大加数的符号”可知，b ＞a ，∴b 与－b 到原点的距离大于a 与－a 到原点的距离．在数轴上表示如下：
∴b ＜－a ＜a ＜－b ． {分值}4
{章节:[1-1-3-1]有理数的加法} {考点:数轴表示数} {考点:相反数的定义}
{考点:相反数与数轴的综合} {考点:两个有理数相加} {类别:易错题} {难度:2-简单}
{题目}14．（2019年浙江省舟山）在x 2＋（________）＋4＝0的括号中添加一个关于x 的一次项，使方程有两个相等的实数根．{答案}±4x （写出一个即可）
{解析}本题考查了一元二次方程的根的判别式．设一次项系数为b ．根据题意得b 2-4×1×4＝0．解得b ＝±4，∴一次项为±4x ，故添加4x （或－4x ） {分值}4
{章节:[1-21-2-2]公式法} {考点:根的判别式} {类别:常考题} {难度:2-简单}
{题目}15．（2019年浙江省舟山）如图，在△ABC 中，若∠A ＝45°，AC 2-BC 2AB 2，则tan C
＝________．
{答案
{解析}本题考查了等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，一元二次方程的解法．如答图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ．∵∠A ＝45°，∴△ABD 是等腰直角三角形．设AD ＝BD ＝x ，CD ＝y ，则AC ＝x ＋y ．在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB AD x ．在Rt △BCD 中，由勾股定理得BC 2
＝BD 2＋CD 2＝x 2＋y 2．∵AC 2-BC 2AB 2，∴222()()x y x y +-+2)．整理得x y ．在Rt △BCD 中，tan C ＝BD
CD
＝x y ．
b
a
a -b
-
{分值}4
{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}
{考点:三角形内角和定理}
{考点:勾股定理}
{考点:解直角三角形}
{类别:常考题}
{难度:3－中等难度}
{题目}16．（2019年浙江省舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在一个平面上，边AC与EF重合，AC＝12 cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为________cm；连结BD，则
△ABD的面积最大值为________cm2．
{答案
}24-
{解析}本题考查了，，如答图所示．当DE⊥AC时，点D运动到最远处．点E从点A运动点C的过程中，点D从点D′运动到最远处，又从最远处运动点D′．∴点D运动的路径长为线段线段D′D是长的2
倍．∵AC＝6，∴CD′＝AD′
＝EF＝6．∵∠DEC＝∠ACF＝∠EDF＝90°，∴CEDF
是矩形．又∵DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形．∴CD＝EF＝6．∵∠ACD′＝45°，∴点D′在CD
上．∴D′D＝CD－CD′＝6
－D
运动的路径长为＝24-．
如答图所示．当点D运动到最远处时，△ABD的面积最大．∵AC＝12，∠BAC＝30°，∴BC
＝
CEDF是正方形，∴CF＝DF
＝BF
＝
S四边形ABFD＝S△ABC＋S梯
形ACFD ＝S△ABD＋S△BDF，∴
1
2
×12＋
1
2
(12
＋
S△ABD＋
1
2
×
(
S△
ABD
＝．
{分值}4
{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:几何填空压轴} {类别:高度原创} {难度:5－高难度}
{题型:4－解答题}三、解答题：本大题共 小题，合计分．
{题目}17．（2019年浙江省舟山）小明解答“先化简，再求值：
2
12
11
x x ++-，其中x
1．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
{解析}本题考查了分式的混合运算．本题是异分母分式的加法，求解时先通分，化为同分母分式的加法．
{答案}解：解答过程中第①、②步有误．
原式＝1(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x +-＝1(1)(1)x x x ++-＝1
1
x -．
当x
1
． {分值}6
{章节:[1-15－2-2]分式的加减} {考点:两个分式的加减} {类别:常考题} {难度:2-简单}
{题目}18．（2019年浙江省舟山）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 在对角线BD 上．请添加一个条件，使得结论“AE ＝CF ”成立，并加以证明．
{解析}本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定方法、平行线的性质．解答时，先根据选用的三角形全等的判定方法添加出条件，然后再证明．
{答案}解：添加条件：BE ＝DF （或DE ＝BF 或AE ∥CF 或∠AEB ＝∠DFC 或∠DAE ＝∠BCF 或∠AED ＝∠CFB 或∠BAE ＝∠DCF 等）．
选择BE ＝DF ．
证明：在矩形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠ABE ＝∠CDF ．∵BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF （SAS ）．∴AE ＝CF ．
{分值}6
{章节:[1-18-2-1]矩形}
{考点:矩形的性质}
{考点:全等三角形的判定SAS}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}19．（2019年浙江省舟山）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB
的顶点A在反比例函数y＝k
x
的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O′A′B′．当这个函数图象经过△O′A′B′一边的中点时，求a的值．
{解析}本题考查了反比例函数的图像与性质，等边三角形的性质．
（1）利用等边三角形的性质求出点A的坐标，再代入反比例函数解析式求出k的值，进而得到反比例函数解析式；（2）分两种情况求解，①双曲线经过边OA平移后对应线段的中点，②双曲线经过边AB平移后对应线段的中点．
{答案}解：（1）如答图1，过点A作AC⊥OB于点C．∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，
OC＝1
2OB．∵B（4，0），∴OB＝OA＝4．∴OC＝2，AC
＝2
，y＝
k
x
得，k
＝y
（2）（I）如答图2，点D是A′B′的中点，过点D作DE⊥x轴于点E．由题意得A′B′＝4，∠A′B′E
＝60°．在Rt△DEB′中，B′D＝2，DE
B′E＝1．∴O′E＝3．把y
y
x＝
4．∴OE＝4．∴.a＝OO′＝1．
（Ⅱ）如答图3，点F 是A ′O ′的中点，过点F 作FH ⊥x 轴于点H ．由题意得A ′O ′＝4，∠A ′O ′B ′＝
60°．在Rt △FO ′H 中，FH
O ′H ＝1．把y
y
x ＝4．∴OH ＝4．.a ＝OO ′
＝3．
综上所述，a ＝1或3． {分值}6
{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数的图象} {考点:反比例函数的性质} {考点:等边三角形的性质} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}
{题目}20．（2019年浙江省舟山）在6×6的方格纸中，点A ，B ，C 都在格点上，按要求画图： （1）在图1中找一个格点D ，使以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形； （2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB 三等分（保留画图痕迹，不写画法）．
{解析}本题考查了网格中的作图、平行四边形的判定方法、平行线分线段成比例定理．
（1）利用两组分别相等的四边形是平行四边形求解；（2）过点A 的水平线的三等分点作平行线与线段AB 相交即可求解．
{答案}解：（1）如答图1所示．
图1
图2
{分值}8
{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {考点:平移作图}
{考点:由平行判定相似} {类别:北京作图} {难度:3－中等难度}
{题目}21．（2019年浙江省舟山）在“创全国文明城市”活动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分
类知识的情况进行调查，其中A 、B 两小区分别有500名居民，社区从中各随机抽取50名居民进行相关知识测试，并将成绩进行整理得到部分信息：
[信息一]A 小区50名居民成绩的频数直方图如下（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）：
75 75 79 79 79 79 80 80 81
82
82
83
83
84
84
84
[80分及以上为优
小区 平均数 中位数 众数 优秀率 方差 A 75.1 ______ 79 40% 277 B
75.1
77
76
45%
211
（1）求A 小区50名居民成绩的中位数；
（2）请估计A 小区500名居民中能超过平均数的有多少人？
（3）请尽量从多个角度比较、分析A 、B 两小区居民掌握垃圾分类知识的情况．
{解析}本题考查了频数分布直方图，统计图表、平均数、众数、中位数、方差以及样本估计总体的数学思想．
（1）利用中位数的定义求解，由信息二确定出第25、26个成绩是解题的关键；（2）先求出样本中
成绩超过平均数的百分比，再利用样本估计总体的思想求解；（3）利用信息三从平均数、中位数、众数、优秀率及方差等方面进行比较．
{答案}解：（1）50个成绩的最中间两个数据是第25、26个．由于直方图表示的成绩从左到右按由小到大的顺序排序，而4＋8＋12＝24＜25，4＋8＋12＋16＝40＞26，∴第25、26个成绩都在第4小
答图1C
A
B
2
3
D 1
答图2
C
A
B
4
8 10 12 16 成绩（分）
频数
A 小区50名居民成绩的频数直方图
组．由信息二中的表格可知，第25、26个成绩都为75（分），∴中位数为75分．
（2）由信息三中的表格可知，A小区500名居民成绩的平均数为75.1分，由信息一中的直方图可知，样本中成绩超过75.1分是第4、5两组，由信息二中的表格可知，第4组共有14人．又∵
第5组共有10人，∴样本的成绩超过平均数的百分比为1410
50
×100%＝48%，∴估计A小区500
名居民中能超过平均数的有48%×500＝240（名）．
（3）答案不唯一，如：①从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；②从方差看，B小区居民对垃圾分类知识的掌握情况比A小区稳定；③从中位数看，B小区至少有一半的居民成绩高于平均数。

{分值}8
{章节:[1-10-2]直方图}
{考点:频数（率）分布直方图}
{考点:用样本估计总体}
{考点:中位数}
{考点:方差的性质}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}22．（2019年浙江省舟山）某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE 垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．
（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB夹角∠ABC的度数；
（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高多少米？（精确到0.1米）
（参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34
1.73）
{解析}本题考查了解直角三角形的应用．
（1）过点C作CG∥DE，利用平行线的性质求解；（2）通过添加辅助线，构造直角三角形，转化为解直角三角形的问题求解．
{答案}解：（1）如答图1，过点C作CG⊥AM于点G．∴∠DCG＝180°－∠CDE＝110°．∴∠BCG＝∠BCD－∠DCG＝30°．订AB⊥AM，DE⊥AM，CG⊥AM，∴AB∥DE∥CG．∴∠ABC ＝180°－∠BCG＝150°．∴动臂BC与AB的夹角为150°．
图1
M
图2
图3
（2）如答图2，过点C 作CP ⊥DE 于点P ，过点B 作BQ ⊥DE 于点Q 交CG 于点N ．在Rt △CPD 中，DP ＝CD ·cos 70°＝0.51．在Rt △BCN 中，CN ＝BC ·cos30°＝1.038．∴DE ＝DP ＋PQ ＋QE ＝DP ＋CN ＋AB ＝0.51＋1.038＋0.8＝2.348．如图3，过点D 作DH ⊥AM 于点H ，过点C 作CK ⊥DH 于点K ．在Rt △CKD 中，DK ＝CD ·sin 50°＝1.155．∴DH ＝DK ＋KH ＝3.155．∴DH －DE ＝0.807≈0.8米．∴斗杆顶点D 的最高点比初始位置高0.8米． {分值}10
{章节:[1-28－1-2]解直角三角形}
{考点:解直角三角形的应用—测高测距离} {类别:常考题}
{难度:3－中等难度}
{题目}23．（2019年浙江省舟山）23．某农作物的生长率p 与温度t （℃）有如下关系：如图，当
10≤1≤25时可近似用函数p ＝11505t -刻画；当25≤1≤37时可近似用函数p ＝21
()0.4
160
t h --+刻画．
（1）求h 的值；
（2）按照经验，该作物提前上市的天数m （天）与生长率p 之间满足已学过的函数关系，部
生长率p
0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数m （天）
5
10
15
②用含t 的代数式表示m ；
③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20℃时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市．现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t ≤25时的成本为200元/天，但若欲加温到25＜t ≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注：农作物上市售出后大棚暂停使用）
{解析}本题考查了用一次函数解决实际问题、用二次函数解决实际．
（1）把（25，0.3）代入p 关于t 的二次函数式p ＝21
()0.4160
t h --+即可求出h 的值；
（2）①由表格确定出m 是p 的一次函数，利用待定系数法求出m 关于p 的一次函数关系式；②把p ＝21()0.4160
t h --+代入①中的函数式，消去p 即可得到；③根据t 的不同范围，列出相应的函数关系式，由所列函数关系式并结论自变量t 的取值求出各自的最大值，从而确定出在自变量t 整个范围内的最大值．
{答案}解：（1）把（25，0.3）代入p ＝21()0.4160t h --+，0.3＝21
(25)0.4160
h --+．解得h ＝
29或h ＝21．∵h ＞25，∴h ＝29．
（2）①由表格可知m 是p 的一次函数．设这个一次函数关系式为m ＝kp ＋b ．把（0.2，0）、
（0.25，5）代入，得00.250.25k b k b =+⎧⎨
=+⎩
，
．解得k ＝100，b ＝－20．∴m ＝100p －20．当p ＝0.3时，m ＝
0.4 0.3
10 37 25 O
p
t (℃)℃
100×0.3－20＝10；当p ＝0.35时，m ＝100×0.35－20＝15．∴m 关于p 的函数关系式为m ＝100p －20．
②由（1）得：当10≤t ≤25时，p ＝11505t -，把p 代入m 得m ＝100(11
505
t -)－20＝22t －40．当
25≤t ≤37时，p ＝21(29)0.4160t --+．把p 代入m 得m ＝10021(29)0.4160t ⎡⎤
-
-+⎢⎥⎣⎦
－20＝25
(29)208
t --+． ③设利润为y 元，则当20≤t ≤25时，y ＝600m ＋[100×30－(30－m )×200]＝800m －3000＝1600t －35000．
∵当20≤t ≤25时，y 随着t 的增大而增大，∴当t ＝25时，最大值y ＝5000． 当25＜1≤37时，y ＝600m ＋[100×30－(30－m )×400]＝1000m －9000＝－625(t －29)2＋11000．∵a ＝－625＜0，∴当t ＝29时，最大值y ＝11000．∵11000＞5000，∴当加温到29℃时，利润最大． {分值}10
{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数} {考点:待定系数法求一次函数的解析式} {考点:其他二次函数综合题} {类别:易错题} {难度:5－高难度}
{题目}24．（2019年浙江省舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
（1）温故：如图1，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，正方形PQMN 的边QM 在BC 上，顶点P ，
N 分别在AB ，AC 上，若BC ＝a ，AD ＝h ，求正方形PQMN 的边长（用a ，h 表示）． （2）操作：如何画出这个正方形PQMN 呢？
如图2，小波画出了图1的△ABC ，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB 上任取一点P ′，画正方形P ′Q ′M ′N ′，使点Q ″，M ′在BC 边上，点N ′在△ABC 内，然后连结BN ′，并延长交AC 于点N ，画NM ⊥BC 于点M ，NP ⊥NM 交AB 于点P ，PQ ⊥BC 于点Q ，得到四边形PQMN ． （3）推理：证明图2中的四边形PQMN 是正方形．
（4）拓展：小波把图2中的线段BN 称为“波利亚线”，在该线上截取NE ＝NM ，连结EQ ，EM
（如图3）．当∠QEM ＝90°时，求“波利亚线”BN 的长（用a ，h 表示）． 请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
{解析}本题考查了相似三角形的性质、相似三角形的判定．
（1）先证△APN ∽△ABC ，再利用“相似三角形的对应高的比等于相似比”求解．（3）先证四边形
PQMN 为矩形，再利用相似三角形的对应边成比例证明NM ＝PN ．根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”得证；（4）过N 作NR ⊥EM 于点R ，利用相似三角形的性质列方程求解．
图1
M
D B 图2
M'
Q'M
图3
M
B
{答案}解：（1）正方形PQMN 得PN ∥BC ．∴△APN ∽△ABC ．∴
NP BC ＝AE AD ．即NP
a
＝h NP h
-，解得NP ＝ah
a h +．
（3）证明：由画法得 ∠QMN ＝∠PNM ＝∠PQM ＝90°．∴四边形PQMN 为矩形．∵N ′M ′⊥
BC ，NM ⊥BC ，∴N ′M ′∥NM ．∴△BN ′M ′∽△BNM ．∴N M NM ''＝BN BN '．同理可得 N P NP
''
＝
BN BN '．∴N M NM ''＝N P NP
''
．∵N ′M ′＝P ′N ′．∴NM ＝PN ．∴四边形PQMN 为正方形． （4）如答图，过N 作NR ⊥EM 于点R ．∵NE ＝NM ，∴∠NEM ＝∠NME ．∴ER ＝RM ＝
1
2
EM ．又∵∠EQM ＋∠EMQ ＝∠EMQ ＋∠EMN ＝90°，∴∠EOM ＝∠EMN ．又∵∠QEM ＝∠
NRM ＝90°，NM ＝QM ，∴△EQM ≌△RMN （AAS ）．∴.EQ ＝RM ．∴EQ ＝1
2
EM ．
∵∠QEM ＝90°，∴∠BEQ ＋∠NEM ＝90°．∴∠BEQ ＝∠EMB ．又∵∠EBM ＝∠QBE ，∴△
BEQ ∽△BME ．∴BQ BE
＝BE BM ＝EQ EM ＝1
2．设BQ ＝x ，则BE ＝2x ，BM ＝4x ．∴QM ＝BM －BQ
＝3x ＝MN ＝NE ．∴BN ＝BE ＋NE ＝5x ．∴BN ＝53
NM ＝533ah
a h +．
{分值}12
{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {考点:由平行判定相似} {考点:相似三角形的性质}
{考点:全等三角形的判定ASA ,AAS } {考点:正方形的判定} {类别:发现探究} {难度:5-高难度}
M
B。