例谈寻找解题切入点的策略

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例谈寻找解题切入点的策略
王凤君
福建省浦城县浦城第一中学353400
［摘要］解题是数学学习中的一项重要活动，解题能力的提升离不开有效的解题训练，自然更少不了一些必
要的解题策略.教师需从以下几个方面着手，引导学生找寻解题切入点，发展解题能力:挖掘隐含条 件,剖析结构特征，运用特殊化策略，采用数形结合以及利用差异分析法.
［关键词］解题;隐含条件;解题路径;切入点;差异分析
数学的学习离不开对解题的探索, 如何通过必要训练去提高解题能力，应 是广大数学教师和学生不断思考与探索 的课题.笔者在平常的教学中发现，不 少学生在解题的时候存在以下问题:有 些题目似曾相识，即使冥思苦想却依然 找寻不到解题入口，当别人稍加提点却 又豁然开朗.事实上，“老虎吃天，无处 下爪”是学生在解题中的常见现象，究其 根本在于学生尚未找寻到解决问题的突
破口，当适当点拨时又会恍然大悟.所 以，解题教学中需强化、引导学生去选择 一个容易攻克的切入点，由点及面，让问 题的本质逐步自然展现.那么，如何找 寻解题的切入点呢？下面笔者通过对多 个案例的探究，谈谈具体的解决策略.卩隐含条件:获得解题路径的 关键隐含条件，望文生义就是隐藏在数 学问题中的一些含而不露的条件,它可 以隐于图形之中，也可藏于概念之中， 还可匿于已知条件的相互联系之中.因 此,在解题中学生需善于将这些隐含于 题目中的“金针”挖掘出来，从而获得解 题的关键性突破，使问题迎刃而解.例4 :已知直线m 被两条平行线“：”- y+l=0和Z2：*-y+3=0所截线段长度为2匹,那么直线m 的倾斜角可能是①15。

； ②30。

；③45。

；④60。

；⑤75。

.以上符合要 求的序号有________,(请写出所有正确答案的序号)分析:通过观察，不难得出本题中 已知条件有①/门2为两条平行直线；② 直线m
被心丄所截线段长度为2VT.而 以上两个条件对于问题中需求直线m 的
倾斜角是远远不够的，那么下一步自然 就需要深入题目挖掘隐含条件.首先， 据条件“厶,厶为两条平行直线”，可以探 求出两直线间的距离为VT ；接着，再 次观察不难发现:直线m 被厶仏所截线段 长度为厶,厶之间距离的两倍；然后，借助 作草图可以发现，直线m 与直线厶的夹角
为30。

，而直线厶的倾斜角为45。

，则可很 快得出直线m 的倾斜角为30°+45°=75° 或45°-30°=15°,故本题答案为①⑤.
设计说明：让学生通过计算匚厶之 间的距离，并结合线m 被厶,厶所截线段长 度为2 V T ，感知隐含条件的挖掘过程，
得出隐含条件“直线m 与直线厶的夹角为 30。

”，突破思维的难点，从而快速求解.◎结构特征:构成解题路径的 基石一般数学题都具有明显的结构特 征,而其中的结构特征往往直指解决问 题的切入口.这就需要在解题过程中， 仔细观察题目的外部特征,深入分析题 目的深层结构,在剖析问题的结构特征 中抓住问题的切入点，实现条件向结论 的转化.例2：已知/&)=二，试求出■/U)+/(2)+f ［yjv (3)+f(y| +f(4)4/［ + j 的
值.
分析:本题可以首先计算/⑴/⑵，
石)/(3)彳*)/(4)彳*)的值，然 后再求出/⑴笊2州*修(3)彳*) + /■⑷孙*)的值,然而过程的烦琐是可
想而知的.此时，不妨去观察式子/(1)+
yj+f(3)+f(yj +f(4)+/［ + j 的
特征，很快可以发现/⑵和"/(3)
珂/(4网(*)中每一对自变量
乘积都等于1,遮挡规律的“外衣”被迅 速剥离，从而自然想到考虑这三对函数 值的特征.不少学生可以思考到去计算
/(2)+f(yj,从而引申到/■(讪，则作者简介:王凤君(1980-),本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作，曾获南平市中学数学优秀教学课件一等奖.
2020年4月(下旬)<
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数学教学通讯
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>解袪集锦/(+ 林4)彳 *)=*+1+1+1舟
设计说明：学生在解题时，需将着 眼点置于对题目目标结构特征的分析 和联想上，有针对性地找寻解题的入口， 从而快速找到解题的有效策略.卩特殊化策略:获得解题入口 的捷径人们认识客观事物的普遍规律就 是从特殊到一般的思路.因此,在探究 一些一般性问题的时候,我们可以通过 研究它的某些特殊情形,为问题的探求 提供帮助,从而找寻到问题的解决入口. 而正是这种特殊化策略的灵活运用，才 能将认识过程中以退为进的思想方法 体现得淋漓尽致例3:如图1,已知长方形4BCQ 中， 有4B=2,BC=1,且E 为DC 的中点,动点F 在线段EC 上(不与E,C 重合).现沿4耐If 起△47®,使得平面4BD 丄平面4BC,在 平面4BQ 内过点。

作DK1AB 于K 点.设 4K=t,那么啲取值范围为________.图1
分析:本题若以一般方法着手解决， 过程烦琐且难度较大.若从特殊化策略 入手,也就是从两个极端位置进行思考， 则可简化解题过程.当动点F 移动到DC 的中点时，可以得出仁1.当动点朋动到 C 点时，有CB 丄AB,CB 丄QK,所以CB 丄 平面ADB,即CB 丄BD.因为CD=2,BC= 1,所以又因为AD=1,AB=2, 所以4D 丄BD,则,由此可得t 的取值设计说明：本题通过引导学生思考 动点F 的两个特殊位置“QC 的中点和C 点 处”,从而快速找寻到解决本题的入口， 给出特殊化策略解题的范例，让学生感 悟复杂问题和一般问题的解题方法.卩数形结合:寻求解题入口的 法宝之一
数形结合解题的重点是数与形的 相互表征,实现数与形的相互转化.在数 形结合解题的过程中，找寻数与形的转
化途径从而寻找解题突破口不仅是一 个重点，也是一个难点.因此，在解题教 学中,教师可以通过富有探究性的题目， 引领学生从问题本身进行探索性活动， 在解决问题的过程中，将抽象的数学语 言与直观的图形相沟通,实现抽象与具
体的转化和渗透,大跨度地迁移自身已
有的思维方式，从而找寻到解决问题的 突破口.
例4：已知函数f3)=|lgx| ,0<xW10,----x+6 ,x>10.2若a^b #c , -S/(a) =f(b ) =f(c ),则afic 的
取值范围为()
A.(5,6)
B. (1,10)
C. (20,24)
D. (10,12)
分析：易得函</■(%)为分段函数，可 以通过作草图来演绎图像的变换，由此
简化解题过程.观察图2可知，若要/@)= f(b) =f(c),可以设a<&<c ，那么-lga=lg& = —c+6,所以 lga+lg6=0,所以 a6=l,所以ahc=c.观察图像可知10<c<12,所以a6c w
(10,12),故此题选D.
图2设计说明：通过本题的典型性来凸 显数形结合思想方法的优势，让学生在 解决问题的过程中，培养学生思维的发 散性和想象力，在解题完毕还可以进一 步进行总结与提升，在回顾和概括中提 升思想方法的应用能力.卩差异分析法:昌求解题入口
的又一利SS
在解题中,我们会发现一些题目的
条件与结论之间无论在形式或结构上， 还是在图形或文字间都存在着一定的 差异性，我们将它们之间的差异称为“目 标差”.成功解题的关键就是从找寻目 标差入手,通过一个方案的设计来不断 缩小这里的目标差，直到目标差消除，从
而在找寻、分析、消除目标差的过程中 快速形成解题方案,这种解决问题的方 法就是差异分析法.该方法可以帮助学 生快速找寻到解题入口，成为解决复杂
数学题的利器.例5:已知tan20=-2 V"示,<6<ir ,2cos 2—sin 。

-]试求--------------.分析：首先，从角的差异着手，目标 中除e 以外，还有©和0+—,分析题设， 2 4只能找寻到20这一个，而事实上它们都可 以转化为0；其次,从三角函数名称的差 异着手，目标中仅有“弦”,而题设之中 仅有“切”，事实上它们也可以相互转化. 从而，成功突破本题的关键在于缩小并 消除角与三角函数名称的目标差.解 原弋- 1 + cos 。

- sin 。

- 1 _ y/~2 sin [ 0 + — j cosO-sin 。

_ l-tan0cosO+sin 。

1+tanO 据t an20：2tan0l-tan 20-2VT,可解得tan&因为—<0<TT,tan0=— ,所以原式=2 2设计说明:本题巧借差异分析法，从 找出差异开始搭建解题通道，并不断变 换思维的视角，关注到角与三角函数名 称的目标差，快速联结解题的思维路线， 在消除目标差的过程中完善解题路径.总之,解题教学的价值并非在于解 题的数量,而是需借助解题活动来提升 学生解决问题的策略,这才是解题教学 的价值取向.因此，我们在精选例题训 练时，需站在学生的角度，精选具有典 型性和价值性的例题，并以思维为主 线，共同展示找寻解题突破口的全过 程,让学生在感受和体验中落实每个例 题固有的“生长”功能，从而实现解题教 学的意义和价值.只有持之以恒，才能 真正意义上解决学生面对难题时“习得 无助”的问题84 > 2020年4
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