第25讲 简单的三角恒等变换(讲)(解析版)

第25讲 简单的三角恒等变换

思维导图

知识梳理

题型归纳

题型1 三角函数式的化简

【例1-1】（2020春•临渭区期末）已知(0,)απ∈(1sin cos )(cos

sin

)

2

α

α

αα+

+-= ．

【分析】由条件利用二倍角公式、以及三角函数在各个象限内的符号，化简要求的式子，可得结果．

【解答】解：(0,)απ∈，

∴

2(1sin cos )(cos

sin )(12sin cos 2cos 1)(cos sin )2ααααααα

αα++-++--=

2cos (sin

cos )(cos sin )2cos cos 2

22222cos |2cos |2cos

22

α

α

αα

αα

αααα

+-=

==，

故答案为：cos α．

【跟踪训练1-1】（2019秋•淮安期末）设4

2

x

π

π

，则

(

+

)

A ．2sin x

B ．2cos x

C ．2sin x -

D ．2cos x -

，然后结合已知角的范围进行化简即可． 【解答】解：

4

2

x

π

π

，

sin cos sin cos 2sin x x x x x =++-=．

故选：A ．

【跟踪训练1-2】（2019秋•徐州期末）若α可以化简为(

) A ．2

sin

α

-

B

．

2

cos α

C

．2

tan α

-

D ．2tan α-

【分析】由a 为第四象限角，结合已知条件利用同角三角函数基本关系式求解． 【解答】解：α为第四象限角，

∴

1sin 1sin 2sin 2tan cos cos cos ααα

αααα

-+--==-． 故选：D ． 【名师指导】

1．三角函数式的化简要遵循“3看”原则

2．三角函数式化简的方法

弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．

在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．

题型2 三角函数式的求值 【例2-1】（2020春•2cos4823sin36cos36(︒-︒︒

= )

A 2

B ．1

C ．1-

D ．2 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解． 2cos 4823sin 36cos36︒-︒︒2cos(9042)3sin 7222

2(cos 27sin 27)22

︒-︒-︒

=

︒-︒ 2sin 423sin 722cos(2745)

︒-︒=

︒+︒2sin(7230)3sin 722cos72︒-︒-︒

︒

31

2(72cos72)3sin 72222cos72︒-︒︒=

︒

2cos72=

︒

2=． 故选：D ．

【例2-2】（2020•辽宁模拟）若

sin 1

1cos 3αα=-，则

22cos 3sin 2sin 2

ααα+-= ． 【分析】由已知可得3sin 1cos αα=-，代入所求利用三角函数恒等变换的应用即可化简求解． 【解答】解：

sin 1

1cos 3

αα=-，

3sin 1cos αα∴=-，

∴

2

2cos 3sin 2

2(2cos 1cos 2)

21cos sin 2

ααααα

α

+-+--=

=--．

故答案为：2-．

【例2-3】（2020春•天心区校级月考）若α为锐角，且(4cos50tan 40)tan 1α︒-︒=，则(α= ) A ．60︒

B ．50︒

C ．40︒

D ．30︒

【分析】先利用三角函数公式化简4cos50tan 40︒-︒=

，则tan α=，从而求出α的值． 【解答】解：4cos50tan40︒-︒4sin40tan40=︒-︒

4sin 40cos40sin 40cos40︒︒-︒=︒2sin80sin(3010)cos40︒-︒+︒=

︒12cos10cos1022cos 40︒-︒︒

=︒

3cos1022cos 40︒︒

=

︒=

=，

∴tan α=

=

α为锐角， 030α∴=，

故选：D ．

【跟踪训练2-1】（2020春•雨花区校级月考）cos104cos10(sin10︒

-︒=︒

) A ．1

B

C

D ．2

【分析】由已知结合二倍角公式及和差角公式对已知进行化简即可求值．

【解答】解：原式cos102sin 20cos102sin(3010)sin10sin10︒-︒︒-︒-︒===︒︒

故选：C ．

【跟踪训练2-2】（2020春•开江县校级月考）化简：2255sin 40sin50cos sin ︒-︒

︒︒

的结果为 ．

【分析】利用诱导公式及二倍角公式直接化简得解．

【解答】解：

2255cos10cos10sin80211sin 40sin 50sin 40cos 40sin80sin8022

cos sin ︒-︒︒︒︒

====︒︒︒︒︒︒

． 故答案为：2．

【跟踪训练2-3】（2020春•驻马店期末）化简求值： （Ⅰ）

sin 7sin8cos15cos7sin8sin15︒+︒︒

︒-︒︒

；

（Ⅰ）4cos70tan20︒+︒．

【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解；