偶函数一定没有反函数吗？
反函数
反函数知识精要： 1、反函数定义一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=()1f y -。
在习惯上，自变量用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为()1y f x -=()x A ∈ 2、关于反函数的结论（1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域，（2）互为反函数的两个函数y=f(x)与()1y f x -=图像关于直线y=x 对称；若点M（a ，b ）在y=f(x)的图像上，则点'M (b,a)必在()1y f x -=图像上； （3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,{}0x ∈除外，其中c 为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数；（4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如1y x=； （5）y=f(x)与()1y f x -=互为反函数，设f(x)定义域为D ，值域为A ，则有f [()1f x -]=x ()x A ∈, ()()1f f x x x D -=∈⎡⎤⎣⎦;（6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身；（7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应； （8）x=f(y), ()1y f x -=,()1x f y -=与函数y=f(x)的比较；（9）y=f(x)与()1y fx -=图像若有公共点，并非一定在y=x 上，例如：f(x)=116x⎛⎫⎪⎝⎭与()1116log f x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x 对称3、求反函数的步骤（1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由y=(x)解出()1x f y -=；（3）改写：在()1x f y -=中，将x,y 互换得到()1y f x -=； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。
反函数公开课教案
反函数华师大二附中 张成鹏【教学目标】复习反函数的定义、反函数存在的条件、求反函数的方法，理解互为反函数的两个函数之间的关系。
【教学重点】 掌握反函数的定义、反函数存在的条件、求反函数的方法。
【教学难点】理解互为反函数的两个函数之间的关系。
【教学方法】师生共同探讨。
【教学工具】电脑、黑板、多媒体【教学过程】分四个阶段第一阶段：通过问题1、2及反函数的定义引出“探究反函数存在的条件”，并解答问题3. 问题1：函数223y x x =-+在下列指定区间上存在反函数吗？(](1),(2),1,x R x挝- (](](3),0,(4),2,x x ?ノ- [](5)2,4.x Î问题2：函数[](]1,0,,0,1.x y x x ì-?ï=íïÎî存在反函数吗？ 问题3：（1）奇函数都存在反函数吗？（2）偶函数都不存在反函数吗？（3）函数[)22312y x a x =-+在，上存在反函数，则a 的取值范围？（4）函数223y x ax =-+在[)[)125,6È，上存在反函数，则a 的取值范围？ 第二阶段：通过问题4复习求反函数的步骤以及求反函数时的一些注意事项.问题4:求函数[](]1,0,,0,1.x y x x ì-?ï=íïÎî的反函数.第三阶段：探究互为反函数的两个函数之间的关系，得出5个结论，并解答问题5. 结论（1）：互为反函数的两个函数图像关于直线y x =对称.结论（2）：互为反函数的两个函数的三要素互反.结论（3）：互为反函数的两个函数在相应区间上具有相同的单调性.结论（4）：若原函数是奇（偶）函数，则反函数是（不一定是）奇（偶）函数.结论（5）：当原函数单调递增时,若原函数的图像与反函数图像有交点，则交点必在y x =上；当原函数单调递减时,原函数的图像与反函数图像的交点可能在y x =上，也可能关于y x =成轴对称出现.问题5：（1）已知()-201307=+x f x x a 关于y x =对称，则a =____. （2）求函数1=+sin 201307y x x 与它的反函数的交点.（3）定义在R 上函数()y f x =满足()11f =，且()()-1=+1=+1y f x y fx 与关于y x =对称，则()201307____.f =（4）讨论()1201307=log >0y x x 与其反函数的交点个数.研究()log 0a y x x =>与其反函数的交点个数.第四阶段：小结和作业，提出几个自反函数的例子，并要求学生回去自己研究其性质.。
奇偶函数的复合函数和反函数
奇偶函数的复合函数和反函数数学中，奇偶函数常常在某些问题中起到重要的作用。
在本文中，我们将探讨奇偶函数的复合函数和反函数的性质。
一、奇偶函数的复合函数奇函数和偶函数的定义分别为：- 奇函数：若 $f(x)=-f(-x)$ 在定义域内成立，则 $f(x)$ 是奇函数。
- 偶函数：若 $f(x)=f(-x)$ 在定义域内成立，则 $f(x)$ 是偶函数。
在理解奇偶函数的复合函数前，我们先简单回顾一下函数的复合。
函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的复合函数 $f(g(x))$ 的意思是先对 $x$ 进行 $g(x)$ 的变换，再对结果进行 $f(x)$ 的变换。
即：$$f(g(x))=f\big(g(x)\big)$$那么奇偶函数的复合函数有什么规律呢？我们来研究一下这个问题。
设 $f(x)$ 为奇函数，$g(x)$ 为偶函数。
则有：$$f\big(g(-x)\big)=f\big(g(x)\big)$$$$f\big(-g(x)\big)=-f\big(g(x)\big)$$我们可以分别证明上面两个式子。
对于第一个式子，我们有：$$f\big(g(-x)\big)=f\big(g(x)\big)$$$$\because g(x)\text{ 为偶函数}$$$$\therefore g(-x)=g(x)$$$$\because f(x)\text{ 为奇函数}$$$$\therefore f\big(g(-x)\big)=f\big(g(x)\big)$$对于第二个式子，我们有：$$f\big(-g(x)\big)=-f\big(g(x)\big)$$$$\because g(x)\text{ 为偶函数}$$$$\therefore g(-x)=g(x)$$$$\because f(x)\text{ 为奇函数}$$$$\therefore f\big(-g(x)\big)=-f\big(g(-x)\big)=-f\big(g(x)\big)$$由上面两个式子我们可以得出结论：奇函数和偶函数的复合函数可能是奇函数或者偶函数，而且规律性比较强。
高中数学-学生-反函数
【能力提高】
1.抽象符号 的理解和应用
（1）符号 表示函数f(x)的反函数； 不是表示函数 的反函数，而是表示在 中以 代替x所得到的函数
（2）函数y=f(x)与函数 的图像关于y=x对称；函数 与函数x=f(y)的图像关于y=x不对称，而是相同图像；函数y=f(x)与x=f(y)的图像不同，而是关于直线y=x对称
（1）若y=f(x)为单调递增函数，则y=f(x)与其反函数图像的交点必在直线y=x上
（2）若y=f(x)是单调递减函数，则y=f(x)与其反函数图像的交点可能不都在y=x上
例12在 五个点中，函数 的图像与其反函数
的图像的公共点可能是（多选题）（）
A P B Q C M D N E G
例13已知函数 ，其反函数为
例10已知函数 ，函数y=g(x)的图像与函数 的图像关于直线y=x对称，求g(5)的值
例11已知函数y=g(x)的图像过点（4，5），且在R上单调递增；若函数 存在反函数，求实数 的取值范围
2.函数与反函数图像的交点问题
函数y=f(x)的图像若与直线y=x相交，则其反函数的图像也必须与直线y=x交于此点；但函数y=f(x)与其反函数 的图像的交点未必都在直线y=x上
1.反函数的概念
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A.如果对于A中任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x)成立，这样得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数，记为 .习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为
【注】（1）反函数存在性问题：不是所有的函数都存在反函数：一个函数存在反函数的充要条件是确定这个函数的对应是从定义域到值域上的一一对应
反函数学习问答
一般情况下，有如下结论：
设Ｙ＝八ｘ）是增函数，其反函数为Ｙ＝厂１（菇），若
这两个函数的图像有公共点，则公共点必在直线ｙ＝筇
上；设ｙ＝八茁）是减函数，则函数ｙ＝火石）与），＝
厂１（戈）的图像的公共点不一定都在Ｙ＝名直线上．
１７．函数），＝八石）的图像和它的反函数Ｙ＝
厂１（髫）的图像关于直线Ｙ＝菇对称，关于这一关系的
Ｙ２＝厂１（Ｘ：）．于是，有鼻，＝以ｙ，），菇：＝以Ｙ２），所以 以，，。）＜八托），又因为以戈）在Ａ上是增函数，所以Ｙ。
＜儿，即厂１（ｚ，）＜厂１（并：），故厂１（戈）在Ｃ上是增函 数．
当Ｙ＝ｆ（名）为减函数时，仿上可证，，＝厂１（菇） 也为减函数．综上所述，命题成立．
１５．函数与它的反函数的图像如果有交点，则
点对称，且ｙ＝厂（石）＝一人一省），故其反函数为Ｙ
＝一厂１（一工），（并Ｅ Ｃ）．所以由条件及反函数的唯
一性知：对任意算∈Ｃ，都有厂１（戈）＝一厂１（一石），即
厂１（一菇）＝一厂１（髫）．所以ｙ＝厂１（菇）（Ⅳ∈Ｇ，Ｙ Ｅ
Ａ），为奇函数．“仁”仿上可证．综上所述，命题成立
１２．偶函数一定没有反函数吗？ 答：不一定．如：），＝１（算＝０）的反函数是：石＝ １（ｙ＝０）．只有形如以菇）＝口（茹∈｛０｝，口为常数） 的偶函数才存在反函数，且其反函数厂‘（戈）＝０（ｘ ｔｚ：｛口｝，ａ为常数）．一般地，定义域为单元素集的偶 函数存在反函数；定义域为非单元素集的偶函数不 存在反函数．偶函数以名）＝Ｏ（ｘ Ｅ｛０｝）的反函数 也是偶函数． １３．１互为反函数的两个函数的单调性相同吗？ 答：相同．一个函数与它的反函数在相应区间 上单调性一致． １４．一个函数与它的反函数在相应区间上单调 性一致，可以证明吗？ 已知函数Ｙ＝以菇）的定义域是Ａ，值域是ｃ，且 反函数厂１（工）存在．如果火茗）是Ａ上的增函数，求 证厂１（石）也是Ｃ上的增函数． 证：设石Ｉ，茹２∈Ｃ，且菇ｌ＜石２，并令Ｙｌ＝ｆ－１（菇１），
反函数常用知识点总结
反函数常用知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN反函数定义一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f -1 (x) 。
反函数y=f -1 (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
（不求过深理解）引申一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f （x）的反函数为y=f -1(x)。
存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。
注意：上标"−1"指的并不是幂。
在微积分里，f (n)(x)是用来指f的n次微分的。
若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。
性质（1）函数f（x）与它的反函数f-1（x）图象关于直线y=x对称；图1 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}, 值域为{0} ）。
奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。
若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
（5）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；（6）反函数是相互的且具有唯一性；（7）定义域、值域相反，对应法则互逆（三反）；（8）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））；（9）反函数的导数关系：如果x=f(y）在区间I上单调，可导，且f'（y)≠0，那么它的反函数y=f'（x)在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导，且[f'（x)]'=1\[f'（x）]'。
函数奇偶性
函数奇偶性目录定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)那么函数f(x)就叫做偶函数。
关于y轴对称，f（-x）=f（x）。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
关于原点对称，-f（x）=f（-x）。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x)，(x∈D,且D关于原点对称.)那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
④如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
奇偶函数图像的特征定理奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图像关于y轴成轴对称图形。
f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称点（x,y）→（-x,-y）f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称点（x,y）→（-x,y）奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
证明方法（1）定义法：函数定义域是否关于原点对称（2）图像法：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称点（x,y）→（-x,-y）f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称点（x,y）→（-x,y）（3）性质法利用一些已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和（差）是奇函数；两个偶函数的和（差）是偶函数；奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积（商）为偶函数；两个偶函数的积（商）为偶函数；奇函数与偶函数的积（商）是奇函数。
反函数常用知识点总结
反函数定义一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f -1 (x) 。
反函数y=f -1 (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
（不求过深理解）引申一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f （x）的反函数为y=f -1(x)。
存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。
注意：上标"?1"指的并不是幂。
在微积分里，f (n)(x)是用来指f的n次微分的。
若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。
性质（1）函数f（x）与它的反函数f-1（x）图象关于直线y=x对称；图1 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}, 值域为{0} ）。
奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。
若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
（5）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；（6）反函数是相互的且具有唯一性；（7）定义域、值域相反，对应法则互逆（三反）；（8）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））；（9）反函数的导数关系：如果x=f(y）在区间I上单调，可导，且f'（y)≠0，那么它的反函数y=f'（x)在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导，且[f'（x)]'=1\[f'（x）]'。
奇偶函数的反函数
奇偶函数的反函数奇偶函数是数学中的一种特殊函数，具有一些特殊的性质和应用。
根据它们的特性，我们可以将奇偶函数分为两类，即奇函数和偶函数。
然而，你是否想知道，在实际应用中，我们可以反向运用奇偶函数的性质，求出奇/偶函数的反函数呢？1. 奇偶函数的定义首先，我们需要明确奇偶函数的定义是什么。
奇函数指的是对于任意实数x，f(-x)=-f(x)的函数。
它的图像在坐标系中对称于y 轴，即当x取正数时，f(x)与f(-x)沿y轴对称；当x取负数时，f(x)与f(-x)重合。
偶函数指的是对于任意实数x，f(-x)=f(x)的函数。
它的图像在坐标系中对称于y轴，即当x取正数时，f(x)与f(-x)重合；当x取负数时，f(x)与f(-x)沿y轴对称。
2. 奇偶函数的性质奇偶函数具有什么性质呢？首先，任何一个函数都可以表示成奇函数和偶函数的和，即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且g(x)=(f(x)+f(-x))/2，h(x)=(f(x)-f(-x))/2。
其次，奇偶函数的积为偶函数，奇函数的积为奇函数。
再次，奇函数关于y轴对称是偶函数，偶函数关于原点对称是奇函数。
3. 奇偶函数的反函数我们知道，函数f(x)的反函数f^-1(x)满足f(f^-1(x))=x，即x在f(x)下的值与x在f^-1(x)下的值相等。
如果f(x)是一般函数，那么它的反函数f^-1(x)可能不存在或者不唯一。
但是，如果f(x)是奇函数或偶函数，那么它的反函数也具有相应的特殊性质。
对于奇函数f(x)，我们将其限制在定义域x>=0上进行研究。
由于f(x)关于y轴对称，因此在x>=0的定义域上，f(x)>=0，且f(x)是一个递增的函数。
根据反函数的定义，f(f^-1(x))=x，在x>=0的定义域上，我们有f(f^-1(x))=f(-f^-1(-x))=-f(f^-1(-x))=-x。
定义在r上的偶函数
定义在r上的偶函数偶函数作为数学中重要的函数形式，在许多应用中发挥着重要的作用。
而定义在R上的偶函数更是如此，它是一种特殊的函数类型，它可以提供有关函数的特定信息。
本文将详细介绍R上的偶函数的定义、性质和应用。
定义在数学上，偶函数是指函数满足自反性，即：f(-x)=f(x) 。
即如果定义：f:R->R，则满足以下性质：f(-x)=f(x), x∈R定义在R上的偶函数：f（x），则必须对任意的x∈ R有f（-x）= f（x），如果一个函数满足此性质，则称这个函数为定义在R上的偶函数，也可以称为R上的反函数。
性质定义在R上的偶函数的性质有：1.昂：如果函数f（x）满足f（-x）=f（x），则称f（x）具有偶性。
2.称性：如果定义在R上的偶函数f（x）是具有对称性的，则f （-x）= -f（x）。
3.加性：如果定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），则f（x）具有可加性。
4.乘性：如果定义在R上的偶函数f（x）满足f（xy）=f（x）f （y），则f（x）具有可乘性。
另外，定义在R上的偶函数还具有有限性、可积性和可导性性质。
应用定义在R上的偶函数具有重要的应用。
1.几何图形建模中，定义在R上的偶函数可以用来描述物体的变形。
2.量子力学中，定义在R上的偶函数可以用来描述原子的结构和性质，从而实现对量子系统的模拟和控制。
3.信号处理中，定义在R上的偶函数可以用来表示信号的频域特征，并进行有效的信号处理。
4.概率论和统计学中，定义在R上的偶函数可以用来描述某一随机变量的概率分布，从而求解问题。
结论定义在R上的偶函数作为一种重要的数学函数形式，具有重要的应用价值。
它具有偶性、对称性、可加性和可乘性等性质，可以应用于几何图形建模、量子力学、信号处理和概率论等领域。
以上介绍了定义在R上的偶函数的定义、性质和应用，相信在今后的应用中，定义在R上的偶函数会发挥更大的作用。
arcsinx的反函数
arcsinx的反函数是y=sinx，反函数的导数是原函数导数的倒数。
求y=arcsinx的导函数，反函数的导数就是原函数导数的倒数。
首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘＝1/sin’y=1/cosy，因为x=siny，所以cosy=√1-x2，所以y‘＝1/√1-x2。
性质
（1）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。
（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。
（3）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0} 且f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。
奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。
若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
（4）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性。
（5）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数。
（6）反函数是相互的且具有唯一性。
反函数的单调性和奇偶性及其相互关系
原、反函数的单调性和奇偶性及其相互关系北京十二中特级教师刘文武“函数是高中数学的重要内容之一,函数的基础知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用;函数与代数式、方程、不等式、三角函数、数列内容联系非常密切;函数是进一步学习数学的重要基础知识;函数的概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体体现;函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域。
”以上这段话是笔者摘自人教社高中《数学》第一册(上)第二章“函数“的章头的话(见P45),它指出了函数在中学数学中的地位和作用。
正因为如此,它也成了高考数学中的重中之重。
深刻理解和掌握函数(原函数、反函数)概念及其性质(单调性、奇偶性、周期性)是学好函数的关键。
本文旨在从教材出发,探讨总结原、反函数的单调性和奇偶性及其相互关系,重在“相互关系”上。
然而要把握它们之间的相互关系,首先就要求对教材中的基本概念有全面、深入、正确的理解。
一、知识整理1、映射定义:设A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B 的对应法则f),叫做集合A到集合B的映射,记作:f:A→B(P47)一一映射定义:设A,B是两个集合,f:A→B是集合A到集合B的映射,如果在这个映射下,对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象,而且B中每一个元素都有原象,那么这个映射叫做A到B上的一一映射。
(P48)2、函数定义:如果A,B都是非空的数集,那么A到B的映射f:A→B就叫做A 到B的函数,记作y=f (x ),其中x∈A,y∈B,原象的集合A叫做函数y=f (x)的定义域,象的集合C(C≤B)叫做函数y=f (x)的值域。
(P51)反函数定义:函数y=f (x) (x∈A)中,设它的值域为C,我们根据这个函数中x,y的关系,把y用x表示出,得到x=?(y)。
如果对于y在C中的任何一个值,通过x=?(y),x 在A中都有唯一的值和它对应,那么x=?(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x=?(y)(y∈C)叫做函数y=f (x)(x∈A)的反函数,记作:x=f-1 (y)在函数x=f-1(y)中,y是自变量,x表示函数,但在习惯上,我们一般用x表示自变量,用y表示函数,为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y,把它改写成y= f-1(x)。
函数的奇偶性与反函数
例题 8、函数 f ( x) 的定义域为 R，若 f ( x + 1) 与 f ( x − 1) 都是奇函数，则（ A．43; 2) B． f ( x) 是奇函数 D． f ( x + 3) 是奇函数
二、反函数
设 y = f ( x)( x ∈ A, y ∈ B) ，则 x = f 说明： （1） 求反函数的步骤： ①判定 ②反解 x = f −1 ( y ) ③改写 y = f −1 ( x)
x>0 x=0 x<0
例4
证明：∵ f ( x) =
f ( x) + f (− x) f ( x) − f (− x) + 2 2 f ( x) + f (− x) 2 G ( x) = f ( x) − f (− x) 2
则设 F ( x) = 则 F (− x) =
f ( − x ) + f ( x) f ( − x) − f ( x ) f ( x ) − f ( − x) = F ( x) G (− x) = = = −G ( x) 2 2 2 ∴ F ( x) 是偶函数 G ( x) 是奇函数
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参考答案
一、函数的奇偶性 例1 （1）解：∵ x ∈ R 关于原点对称 ∴ f ( x) 为奇函数 （2）解： x ∈ R 关于原点对称 又 f (− x) = −2 x + 3 − x = −(2 x + 3 x ) = − f ( x)
D．h2＞h4＞h1
引申：用草图表示从上述四种容器底部匀速流出酒时，高度 h 与时间 t 的函数图象。 （渗透凹凸性） 例 7、若函数 f ( x) = x +
第1讲反函数(高一)
反函数一、 知识点1. 反函数的概念（1） 反函数的存在性问题（2） 单调函数，奇偶函数与反函数关系（例1）（3） 求反函数的步骤2. 反函数的性质（1） 定义域与值域（2） 图像（3） 原函数与反函数的一些关系二、 方法与步骤1. 反函数的概念问题例1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请举反例说明（1） 函数()y f x =的定义域为M ，值域为N ，则函数1()()y f x x N -=∈的反函数是()()y f x x M =∈；（2） 若函数()f x 有反函数，则()f x 一定为单调函数（3） 奇函数一定有反函数，偶函数一定没有反函数（4） 分段函数一定没有反函数2. 求反函数的问题例2. 求下列函数的反函数：（1）211xyx-=+（2）26,(,0)y x x x=-∈-∞（3）21,021,0x xyx x⎧-≥=⎨-<⎩（4）1) y x x=≤-例3. 已知函数12y x m=+和13y nx=-是互为反函数，求,m n的值3.反函数的求值问题例4. 已知函数()y f x =在定义域(,1]-∞-上存在反函数，且2(1)2f x x x -=-，求11()3f --例5. 若函数()x f x a k =+的图像经过点（1,7），又其反函数1(4)y f x -=+的图像经过点（0,0），求()f x 的解析式4. 反函数的应用问题例6. 求函数1()25x f x x -=+的值域例7. 已知2()1(1)f x x x=-≤-的反函数是1()f x-，求证：对于任意正实数a，都有1()1f a-<-5.反函数的图像问题例8. 已知函数()f x=2,1），它的反函数图像也过此点，求函数()f x的解析式例9. 已知函数52xyx a-=-的图像关于直线y x=对称，求实数a的值例10. 函数()1a x f x x a -=--的反函数1()y f x -=图像的对称中心是（-1,3），求实数a6. 综合问题例11. 已知2()f x x =，11()5,()2g x x y g x -=-+=表示()y g x =的反函数，设 11()[()][()]F x f g x g f x --=-，求()F x 的最小值例12. 定义在实数集R 上的两个函数(),()f x g x 互为反函数，并且(),(),()()()f a m f b n f a b f a f b ==+=，求证()()()g mn g m g n =+例13. 已知函数()y g x =的图像过点（4,5），且在R 上单调递增，若函数1(2),3()(1)1,3g x x f x a x x -⎧+≥=⎨-+<⎩存在反函数，求实数a 的取值范围例14. 设函数112()21x x f x ++=-，若函数(1)y g x =+的图像与函数()y f x =的图像关于y x =对称，求1(3)g -的值7. 函数不动点的讨论例15. 若函数()f x 的定义域为D ,若存在0x D ∈，使得00()f x x =成立，则称以00(,)x x 为坐标的点为函数()f x 图像上的不动点（1） 若函数3()x a f x x b+=+图像上有两个关于原点对称的不动点，求,a b 应满足的条件 （2） 若定义在R 上的奇函数()f x 存在n 个不动点，求证：n 比为奇数例16. 已知(),,2x a f x x D a R a x+=∈∈-，记函数1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，32()(())f x f f x =，…….. 1()(())n n f x f f x +=若在定义域中存在点0x 使得00()k f x x =，且00()(1,2,....1)j f x x j k ≠=-，则0x 称为()f x 的“k 阶不动点”，在定义域D 中是否存在一个()f x 的“2阶不动点”，说明理由。
函数与反函数的关系公式
函数与反函数的关系公式已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在可导函数f(x)，使得在该区间内的任一点都有df(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数f(x)为函数f(x)的原函数。
例如：sinx是cosx的原函数。
什么就是反函数一般来说，设函数y=f(x)(x∈a)的值域是c，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈c)叫做函数y=f(x)(x∈a)的反函数，记作y=f^-1(x)。
反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
最具有代表性的'反函数就是对数函数与指数函数。
通常地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应当，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f(y)或者y=f^-1（x）。
存有反函数(预设为单值函数）的条件就是原函数必须就是一一对应的（不一定就是整个数域内的）。
特别注意：上标"?1"所指的就是函数幂，但不是指数幂。
①函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是其反函数的反函数，故函数的原来函数与反函数互称为反函数。
②反函数的定义域与值域分别就是原来函数的值域与定义域。
③只有确定函数的映射是一一映射的函数才存在反函数，由此得出下面4点：④偶函数必并无反函数。
⑤单调函数必有反函数。
⑥奇函数如果存有反函数，其反函数也就是奇函数。
⑦原函数与其反函数在他们各自的定义域上单调性相同。
⑧互为反函数的图象间的关系。
函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y＝x对称，关于这一关系的理解要注意以下三点：1、函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x等距，这个结论就是在坐标系中横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴，而且横坐标轴与纵坐标轴的单位长度一致的前提下得出结论的；2、（a,b）在y=f(x)的图象上＜＝＞（b,a）在y=f-1(x)的图象上；3、若y＝f(x)存有反函数y=f-1(x)，则函数y=f(x)的图象关于直线y=x等距的充份必要条件为f(x)＝f-1(x)，即为原、反函数的解析式相同。
任何函数都有反函数吗
任何函数都有反函数吗
不是所有的函数都有反函数。
在函数的定义中，对于定义域中的每⼀个值，都只能对应唯⼀的⼀个值域中的y值。
所以如果函数有反函数，当且仅当对于值域中的每⼀个y值，对应着定义域中唯⼀的⼀个x值才可以。
也就是说不同的x不能映射到同样的y 的函数才有反函数。
反函数和原函数的关系是什么
原函数值域就是反函数定义域，⽽原函数定义域则是反函数值域，它们在各⾃的定义域上单调性也⼀样。
对于函数⽽⾔，它的反函数本也是⼀个函数，根据反函数的定义，可以得出原函数是其反函数的反函数，所以对于函数⽽⾔，原函数和反函数互相称为反函数。
奇偶函数的逆函数
奇偶函数的逆函数对于数学爱好者而言，奇偶函数和逆函数都是常见的概念。
奇偶函数指的是满足$f(-x)=-f(x)$和$f(-x)=f(x)$的函数，而逆函数则是一种对应关系，即满足$f(f^{-1}(x))=x$和$f^{-1}(f(x))=x$的函数。
在讨论奇偶函数的逆函数之前，我们需要先回顾一下奇偶函数的基本性质。
首先，奇偶函数的图像具有对称性，即以原点为中心对称。
其次，设$f(x)$为奇偶函数，$g(x)$为一般函数，则$f(x)\pm g(x)$仍为奇偶函数。
最后，奇偶函数的积为偶函数，奇偶函数与偶函数的积为奇函数。
在掌握了奇偶函数的性质后，我们来思考其逆函数的问题。
对于一般函数$f(x)$，其逆函数$g(x)$是指满足$f(g(x))=x$和$g(f(x))=x$的函数。
那么对于奇偶函数$f(x)$而言，其逆函数是否一定存在呢？首先，我们需要了解逆函数存在的条件。
如果$f(x)$是一种单调递增（或递减）的函数，则其有且只有一个逆函数。
此外，如果$f(x)$满足可导、连续以及严格单调递增（或递减）的条件，则其逆函数也一定存在。
对于奇函数而言，其图像关于原点对称，即对于任何$x\neq0$，有$f(x)=-f(-x)$。
因此，奇函数在原点处取值为$0$，而且不可能在任何其他非零点处取值为$0$。
因此，奇函数不可能满足单调递增或单调递减的条件，也就意味着其不具备逆函数存在的条件。
相反，偶函数在原点处取值为$f(0)=f(-0)$，且其图像关于原点对称，即对于任何$x$，有$f(x)=f(-x)$。
因此，偶函数在原点处必须为偶数阶的零点，也就是说，其导数在原点处必须为$0$，并且可以表示为$g(x)=x^{2k}$的形式。
因此，偶函数具备逆函数存在的条件，且其逆函数也为偶函数。
考虑一个具体的例子：$f(x)=x^3$。
这是一个奇函数，因为对于任何$x$，都有$f(-x)=-x^3=-f(x)$。
反函数关于y=x对称吗
反函数关于y=x对称吗
对，反函数就是关于y=x轴对称的，这是反函数的基本性质。
一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y)。
反函数性质
（1）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（3）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0}，且f(x)=C（其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）。
奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。
若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
（4）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（5）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；
（6）反函数是相互的且具有唯一性；
（7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（8）y=x的反函数是它本身。