基于回溯法的最小重量机器设计问题算法设计

基于回溯法的最小重量机器设计问题算法设计
1.问题描述
设某一机器由n个部件组成，每一种部件都可以从m个不同的供应商处购得。

设wij是从供应商j处购得的部件i的重量，cij是相应的价格。

试设计一个算法，给出总价格不超过c的最小重量机器设计。

2.方法简介
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法，可以系统的搜索问题的所有解。

回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。

算法搜素至解空间的任一结点时，先判断该结点是否包含问题的解。

如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜素。

回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根节点的所有子树都被搜索遍才结束。

回溯法求问题的一个解时，只要搜索到问题的一个解就可结束。

2.1回溯法的思想
用回溯法解问题时，要明确定义问题的解空间和组织结构。

问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

通常回溯法的组织结构为树或图。

2.1.1用回溯法解决问题的步骤：
1.定义问题的解空间。

例如：对于有n种可选择物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成。

该解空间包含对变量的所有0-1赋值。

当n=3时，其解空间是：
{（0，0，0，），（0，0，1），（0，1，0），（0，1，1，），（1，0，0），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1，）}
2.组织解空间。

将解空间组织成树或图或其他形式，使得能用回溯法很好的搜索整个解空间。

3.以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

2.1.2解空间的搜索方法：
1.从开始结点（根结点）出发，将开始结点作为活结点，同时作为当前的扩展节点。

2.在当前扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。

3.新结点成为新的活结点，并成为当前扩展结点。

4.若在当前扩展结点处不能再向纵深方向移动，当前扩展节点成为死结点。

5.从该死结点往回移至最近的活结点处，将这个活结点作为当前的扩展结点。

6.以上述步骤在解空间搜索，直至找到所要求的解空间或解空间中已无活结点为止。

总结：在搜索过程中遇到活结点继续纵深向下搜索，遇到死结点向上搜索。

3.问题分析
3.1子集树与排列树
子集树：当所给问题是从n个元素的集合S中找出S满足某种性质的子集时，相应的解空间树成为子集树。

排列树：当所给问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间树称为排列树。

3.2实例分析
在最小重量机器设计问题中，设n为3，m为2。

即该问题为：某一机器由3个部件组成，每一种部件都可以从2中不同的供应商处，1供应商或者2供应商处购得。

找出出购得机器的总价格不超过c，且机器重量最小的方案。

供应商与部件间的价格关系如表3-1所示，供应商与部件间的重量关系如表3-2所示。

表3-1 供应商与部件间的价格关系
表3-2 供应商与部件间的重量关系
在此问题中，解空间为{(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)}
通过解空间即可确定组织结构为树，且是一棵子集树。

如图3-1所示。

图3-1
解空间树的第i层到第i+1层边上的标号给出了变量的值。

从树根到叶的任一路径表示解空间中的一个元素。

例如，从根结点到结点H的路径相应于解空间中元素(1,1,1)。

假设要求总价格不超过4的最小机器重量方案。

通过上述解空间可得从不同供应商处购得机器的价格集合为c={4,4,6,5,6,5,7,7},对应的机器重量集合为w={6,7,7,7,8,8,8,9}。

通过比较可得满足机器总价格不超过4的解有两种{(1,1,1,),(1,1,2)},通过比较两个解得到满足要求的最小机器重量为6，即该问题的解为(1,1,1,),也就是从1供应商处购买部件1，部件2，部件3。

3.3具体分析
通过上述的具体实例，我们可以得出最小重量机器设计问题是一个子集问题。

某一机器的n个部件可以从m个不同的供应商处购得，即可以有m n个不同的购买方案。

i∈[1,n],j∈[1,m],则购买到的机器的总价格为∑cij,i∈[1,n]，j∈[1,m], 机器的总重量为∑wij,i∈[1,n]，j∈[1,m]。

则求该问题的解可转化为求：
∑cij≤c, i∈[1,n],j∈[1,m]
且min∑wij, i∈[1,n],j∈[1,m]
将所以选用子集树来搜索该问题的最优解，除了叶子节点外，每个结点下均有m个结点。

题目已经给出总价格的上限，因此算法通过使用回溯来选择合适的机器使得在总价格不超过c时得到的机器重量最小。

首先初始化当前价格dc=0,当前重量dw=0。

设置一个变量sum 表示选择机器的总重量，初始化其为每个部件从1号供应商购买的重量。

在循环选择i号机器时，判断从j号供应商购买机器后的价格是否大于总价格，如果不大于则选择，否则不选，继续选择下一供应商进行判断。

在得到一个合适的供应商后，继续选择下一机器的供应商，从第一个选到最后一个供应商。

当所有机器选择结束后，判断得到的总重量是否比之前的sum小，如果小就赋给sum，然后从这一步开始，回溯到上一机器，选择下一合适供应商，继续搜索可行解，直到将整个树搜索完毕。

这样，最终得到的sum即为最优解。

选择一个剪枝条件，在每次选择某一机器时，判断选择后的当前重量是否已经大于之前的sum，如果大于就不用继续搜索。

4.算法及算法分析
算法设计：
1.部件有n个，供应商有m个，分别用w[i][j]和c[i][j]存储从供应商j处购得的部件i的重量和相应价格，c为总价格的上限。

2.用递归函数backtrack(i)来实现回溯法搜索树,形式参数i表示递归深度。

①若dc>c,是不满足要求的解，剪去相应子树，返回到i-1层继续执行。

②若dw>=sum，就不是题目要求的最优解，剪去相应子树，返回到i-1层继续执行。

③若i>n，则算法搜索到一个叶结点，用sum对最优解进行记录，返回到i-1层继续执行；
④用for循环对部件i从m个不同的供应商购得的情况进行选择(1≤j≤m）。

算法：
void backtrack(int i){
if(i>n){
if(dw<sum)
sum = dw;
return;
}
for(int j=1;j<=m;j++){
dw+=w[i][j];
dc+=c[i][j];
if(dw<sum && dc<=d){
k[i]=j;
backtrack(i+1);
}
dw-=w[i][j];
dc-=c[i][j];
}
}
5.实现
输入数据3 2 4 2 3 1 3 1 1 2 3 1 2 3 4。