2018届高三高考数学复习练习：2-9函数模型及其应用 含

2-9
1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
则对x，y
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
【解析】根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知D满足题意．【答案】 D
2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )
【解析】前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
【答案】 A
3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
【解析】设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.
【答案】 D
4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13 m3 B．14 m3
C ．18 m 3
D ．26 m 3
【解析】 设该职工用水x m 3
时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧mx （0<x ≤10），10m ＋（x －10）·2m （x >10）， 则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ， 解得x ＝13. 【答案】 A
5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0＜x ＜100，x ∈N *
)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )
A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
【解析】 由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，
则由⎩
⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x ∈N *
，
（100－x ）（1＋1.2x %）t ≥100t ，
解得0＜x ≤503
.
因为x ∈N *
，所以x 的最大值为16. 【答案】 B
6．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361
，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080
.则下列各数中与M
N
最接近的是( )
(参考数据：lg 3≈0.48)
A ．1033
B ．1053
C ．1073
D ．1093
【解析】 由题意，lg M N ＝lg 3361
10
80＝lg 3361－lg 1080
＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80
×1＝93.28.
又lg 1033
＝33，lg 1053
＝53，lg 1073
＝73，lg 1093
＝93， 故与M N
最接近的是1093
. 故选D. 【答案】 D
7．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋8x (x ＞0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．
【解析】 由题意得L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x ＝432－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x 2(x ＞0)．当x －4
x ＝0，即x ＝4
时，L 取得最大值21.5.
故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大． 【答案】 4
8．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt
(其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
【解析】 当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 1
2k ，
∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2
，
当t ＝5时，y ＝e
10ln 2
＝210
＝1 024.
【答案】 2ln 2 1 024
9．(2018·宝鸡模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.
【解析】 设内接矩形另一边长为y ，
则由相似三角形性质可得x 40＝40－y
40
，
解得y ＝40－x ，
所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2
＋40x ＝－(x －20)2
＋400(0＜x ＜40)， 当x ＝20时，S max ＝400. 【答案】 20
10．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．
【解析】 依题意得x ＝
c －a b －a
，(c －a )2
＝(b －c )(b －a )， ∵b －c ＝(b －a )－(c －a )，
∴(c －a )2
＝(b －a )2
－(b －a )(c －a )， 两边同除以(b －a )2
，得x 2
＋x －1＝0， 解得x ＝－1±5
2.
∵0<x <1，∴x ＝5－1
2
. 【答案】
5－1
2
11．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q
10(其中a 、b 是实
数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a 、b 的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 【解析】 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 330
10＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a
＋b log 390
10
＝1，整理得a ＋2b ＝1.
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，
b ＝1.
(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3
Q
10≥2，即log 3Q
10
≥3，解得Q ≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位． 12．经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )．前30天价格为g (t )＝12t ＋
30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )．
(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值． 【解析】 (1)依题意得
S ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2t ＋200）⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30（1≤t ≤30，t ∈N ），45（－2t ＋200）（31≤t ≤50，t ∈N ），
即S ＝⎩
⎪⎨⎪⎧－t 2
＋40t ＋6 000（1≤t ≤30，t ∈N ），－90t ＋9 000（31≤t ≤50，t ∈N ）.
(2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2
＋6 400， ∴当t ＝20时，S 取得最大值为6 400. ②当31≤t ≤50，t ∈N 时，
S ＝－90t ＋9 000为递减函数，
∴当t ＝31时，S 取得最大值为6 210.
综合知，当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.。