1.1第二课时

数来判断解的个数．
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第一章
解三角形
3.因为余弦定理给出的是三边与一个角的余弦值之间的关系, 而余弦值的正负可以决定该角是锐角还是钝角，因此利用余 弦定理及其推论来判定三角形的形状时，我们一般是通过计 算最大边所对应的最大角的余弦值，即两个小边的平方和与 最大边的平方的差的正负，来判断该角是锐角还是钝角．有
解三角形
跟踪训练
3．在△ABC中，acos(B＋C)＋bcos(A＋C)＝ccos(A＋B)，试
判断△ABC的形状． 解：∵A＋B＋C＝π， ∴原式可化为 acos A＋bcos B＝c· C. cos b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 由余弦定理知 cos A＝ ，cos B＝ ， 2bc 2ac a2＋b2－c2 cos C＝ . 2ab b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 故有 a· ＋b· ＝c· 2bc 2ac 2ab 整理得(a2－b2)2＝c4. ∴a2－b2＝± 2，即 a2＝b2＋c2 或 b2＝a2＋c2， c 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．
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第一章
解三角形
6＋ 2 当 c＝ 时，由余弦定理得 2 6＋ 2 2 2＋ －3 b2＋c2－a2 2 1 cosA＝ ＝ ＝ . 2bc 6＋ 2 2 2× 2× 2 ∵0° <A<180° ，∴A＝60° ，∴C＝75° 6－ 2 当 c＝ 时，由余弦定理得 2 6－ 2 2 2＋ －3 b2＋c2－a2 2 1 cos A＝ ＝ ＝－ . 2 2bc 6－ 2 2× 2× 2
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解三角形
【名师点评】
(1)正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的
边角关系，要解三角形，必须已知三角形的一边的长，对于 两个定理，根据实际情况可以选择运用，也可以综合运用． (2)涉及到有关四边形的计算问题，常利用连接对角线的方式, 把四边形问题转化成三角形问题，最后借助正、余弦定理求
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解三角形
想一想 已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否惟一 确定？ 提示：由余弦定理可知三角形的其他元素是惟一确定的．
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解三角形
2．余弦定理的推论
b2＋c2－a2 2bc cos A＝__________________，
a2＋c2－b2 2ac cos B＝_________________，
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解三角形
∵0° <A<180° ，∴A＝120° ，C＝15° . 6＋ 2 6－ 2 故 c＝ ，A＝60° ，C＝75° c＝ 或 ，A＝120° ， 2 2 C＝15° . a b asin B 法二：由正弦定理 ＝ 得 sin A＝ sin A sin B b sin 45° 3 ＝ 3· ＝ . 2 2 又∵a>b，∴A>B，∴A＝60° 120° 或 ， 当 A＝60° 时，得 C＝75° ， 由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C 6－ 2 ＝3＋2－2× 6× ＝2＋ 3， 4 6＋ 2 ∴c＝ 2＋ 3＝ . 2
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解三角形
1 3 3 法二：由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝3 3× ＝ 知本题 2 2 有两解． 1 3 3× 2 csin B 3 由正弦定理得 sin C＝ ＝ ＝ ， 3 2 b ∴C＝60° 120° 或 ， 当 C＝60° 时，A＝90° ， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6， 当 C＝120° 时，A＝30° ，△ABC 为等腰三角形， ∴a＝3.
解边角关系．
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解三角形
互动探究
4．在题设不变的条件下，求DC的长．
解：由例题可知 BD＝16， 在△BCD 中，∠DBC＝180° －30° －135° ＝15° ， DC 16 ∴ ＝ ， sin15° sin135° 16sin15° ∴DC＝ ＝8 3－8. sin135°
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时也会和正弦定理结合同化为边或同化为角观察．
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精彩推荐典例展示
规范解答
例4
关于三角形形状的判定
(本题满分 12 分)在△ABC 中， b， 分别表示角 A， a， c
B，C 的对边，如果(a2＋b2)· sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， 判断三角形的形状．
【解】
第一章解三角形第源自课时余弦定理栏目 导引
第一章
解三角形
学习导航
学习目标 已知三角形的 了解 余弦定理蕴 理解 ― → ― ― → ― 两边和夹角 含的思想
余弦定理 掌握 余弦定 ― → ― 的证明方法 理及应用 重点难点 重点：理解余弦定理的作用及适用范围，会运 用余弦定理解决三角形的 基本问题． 难点：体会向量在解决三角形的度量问题中的工具性作用 及正、余弦 定理的综合应用．
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解三角形
题型二
已知三边(三边关系)解三角形 在△ABC 中
例2
(1)a＝3，b＝4，c＝ 37，求最大角； (2)a∶b∶c＝1∶ 3∶2，求 A、B、C.
【解】
(1)由 c＞b＞a，知 C 最大，
a2＋b2－c2 32＋42－37 1 ∵cos C＝ ＝ ＝－ ，∴C＝120° . 2 2ab 2×3×4
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解三角形
法二：由余弦定理的推论得 b2＋c2－a2 62＋3＋ 32－2 32 2 cos A＝ ＝ ＝ ， 2 2bc 2× 6×3＋ 3 ∴A＝45° . a b 2 3 6 由正弦定理 ＝ 知 ＝ ， sin A sin B sin 45° sin B 6· 45° 1 sin 得 sin B＝ ＝ . 2 2 3 因 a>b 知 A>B，∴B＝30° 故 C＝180° －A－B＝180° －45° －30° ＝105° .
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第一章
解三角形
c b 或用正弦定理求边 c，由 ＝ 得 sin C sin B 6＋ 2 2× 4 6＋ 2 bsin C 2· 75° sin c＝ ＝ ＝ ＝ . sin 45° 2 sin B 2 2 6－ 2 当 A＝120° 时，得 C＝15° ，同理可求 c＝ ， 2 6＋ 2 故 A＝60° ，C＝75° ，c＝ ， 2 6－ 2 或 A＝120° ，C＝15° ，c＝ . 2
答案： 3
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解三角形
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 已知两边及一角解三角形
例1
在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45° ，解此
三角形．
【解】 法一：由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B， 2 ∴2＝3＋c2－2 3· c 2 即 c2－ 6c＋1＝0， 6＋ 2 6－ 2 解得 c＝ 或 c＝ ， 2 2
跟踪训练 1．在△ABC 中,若 b＝3，c＝3 3，B＝30° ，求 A，C 和 a.
解：法一：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2a×3 3×cos 30° ， ∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6. 当 a＝3 时，A＝30° ， ∴C＝120° ， 当 a＝6 时，由正弦定理得 1 6× 2 asin B sin A＝ ＝ ＝1. 3 b ∴A＝90° ，∴C＝60° .
已知等式可化为a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]
＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)] ∴2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A．3分
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解三角形
由正、余弦定理将角转化为边的关系得 b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 1 a2b· ＝b2a· ， 6分 2bc 2ac ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
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题型四 例4
正、余弦定理的综合应用 在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝
14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
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解三角形
【解】 连接 BD，在△ABD 中，设 BD＝x， 则 BA2＝BD2＋AD2－2BD· cos∠BDA AD· 即 142＝x2＋102－2· cos60° 10x· . 整理得，x2－10x－96＝0， 解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)． 在△BCD 中，由正弦定理： BC BD ＝ 得， sin∠CDB sin∠BCD 16 BC＝ · sin30° ＝8 2， sin135° 即 BC 的长为 8 2.
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解三角形
方法感悟
1．余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关
系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形
的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量. 2．在已知两边与其中一边的对角时，可先用余弦定理求边， 再继续求解；也可以先用正弦定理求另一边的对角，再继续 求解．而用余弦定理先求第三边的好处是只需保证边长为正
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解三角形
【名师点评】 意事项：
已知两边及一边对角解三角形的方法及注
(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理，此时要 根据题目条件优先选择使用哪个定理． (2)一般地，使用正、余弦定理求边，使用余弦定理求角． 若使用正弦定理求角，有时要讨论解的个数问题．
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解三角形
a2＋b2－c2 2ab cos C＝__________________.
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解三角形
做一做 在△ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，求c＝________.