正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理

高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．

学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．

1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C

＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c

＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝

c

2R 等形式，解决不同的三角形问题．

2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：

cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

.

3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1

2

(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、

r .

4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：

[1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 1． 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c

sin A ＋sin B ＋sin C

＝________.

2． (2012·福建)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 3． (2012·重庆)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513

，b ＝3，则c ＝

________.

4． (2011·课标全国)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．

5． 已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )

A ．2 2

B ．8 2 C. 2

D.22

题型一 利用正弦定理解三角形

例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .

思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断．

探究提高 (1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．

已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，

则角A 的大小为________． 题型二 利用余弦定理求解三角形

例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c

.

(1)求角B 的大小；

(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．

思维启迪：由cos B cos C ＝－b

2a ＋c

，利用余弦定理转化为边的关系求解．

探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．

已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A

2

＋cos A ＝0.

(1)求角A 的值；

(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用

例3 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.

(1)求A ；

(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .

思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .

探究提高 在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．

在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .

(1)若c ＝2，C ＝π

3

，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；

代数化简或三角运算不当致误

典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．

审题视角 (1)先对等式化简，整理成以单角的形式表示．

(2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以下两种不同方式切入：一、根据余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化角．

温馨提醒 (1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断．

(2)本题也可分析式子的结构特征，从式子看具有明显的对称性，可判断图形为等腰或直角三角形． (3)易错分析：①方法一中由sin 2A ＝sin 2B 直接得到A ＝B ，其实学生忽略了2A 与2B 互补的情况，由于计算问题出错而结论错误．方法二中由c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)不少同学直接得到c 2＝a 2＋b 2，其实是学生忽略了a 2－b 2＝0的情况，由于化简不当致误．②结论表述不规范．正确结论是△ABC 为等腰三角形或直角三角形，而不少学生回答为：等腰直角三角形．

高考中的解三角形问题

典例：(12分)(2012·辽宁)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．

(1)求cos B 的值；

(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．

解后反思 (1)在解三角形的有关问题中，对所给的边角关系式一般要先化为只含边之间的关系或只含角之间的关系，再进行判断．

(2)在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向.

方法与技巧

1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π

2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减

少角的种数．

2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C － 2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明．