正弦定理和余弦定理
正余弦定理公式大全
正余弦定理公式大全正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要定理，它们在三角形的边和角之间建立了重要的关系，对于解决三角形的边和角问题有着重要的作用。
下面将详细介绍正弦定理和余弦定理的公式以及它们的应用。
1. 正弦定理公式。
在△ABC中，a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为三角形的内角，则正弦定理公式可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。
其中，R为三角形外接圆半径。
正弦定理的应用非常广泛，可以用来求解三角形的边长或者角度。
通过正弦定理，我们可以很容易地求解出三角形的各个边长或者角度大小，是解决三角形问题的重要工具之一。
2. 余弦定理公式。
在△ABC中，a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为三角形的内角，则余弦定理公式可以表示为：a² = b² + c² 2bccosA。
b² = a² + c² 2accosB。
c² = a² + b² 2abcosC。
余弦定理的应用也非常广泛，可以用来求解三角形的边长或者角度。
与正弦定理相比，余弦定理在某些情况下更加方便和实用，尤其是当我们已知三角形的三边长时，可以直接使用余弦定理来求解三角形的各个角度大小。
3. 正余弦定理的综合应用。
正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的重要工具，它们可以相互结合，应用于各种不同的三角形问题中。
通过灵活运用正弦定理和余弦定理，我们可以解决各种不同类型的三角形问题，包括求解三角形的边长、角度大小，以及判断三角形的形状等。
在实际问题中，正弦定理和余弦定理常常需要结合其他几何知识和技巧来解决问题，因此在运用正弦定理和余弦定理时，需要灵活运用，结合具体问题来选择合适的方法和步骤，以便更加高效地解决问题。
总结。
正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的重要工具，它们建立了三角形的边和角之间的重要关系，可以帮助我们求解各种不同类型的三角形问题。
正弦定理和余弦定理
正弦定理：定义：直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆的半径）正弦定理(Sine theorem)（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系证明步骤1 在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。
作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC 步骤 2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连接DA. 因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠ACB. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。
意义正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。
也就是任意三角形的边角关系。
扩展余弦定理（第二余弦定理）定义：直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
余弦定理性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·c os A b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·c os B c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cos C c os C = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b) c os B = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c) c os A = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)。
第三章 第七节 正弦定理和余弦定理
首先利用正弦定理把边转化为角，求角 ， 首先利用正弦定理把边转化为角，求角C，再利 用面积公式可求得ab，结合余弦定理得出结论 用面积公式可求得 ，结合余弦定理得出结论.
【解】 (1)由 由
及正弦定理得， 及正弦定理得，
3 Q sin A ≠ 0,∴ sin C = . 2
∵△ABC是锐角三角形， 是锐角三角形， 是锐角三角形 (2)法一：∵ 法一： 法一
内角A， ， 对边的边长分别是 对边的边长分别是a， ， ， 解：设△ABC内角 ，B，C对边的边长分别是 ，b，c， 内角 (1)证明∵m＝(sinA，cosC)，n＝(cosB，sinA)， 证明∵ ＝ 证明 ， ， ＝ ， ， mn＝sinB＋sinC， ＝ ＋ ， ∴sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC. ＋ ＝ ＋ 由正弦定理得acosB＋acosC＝b＋c. ＋ 由正弦定理得 ＝ ＋ 由余弦定理得 整理得(b＋ 整理得 ＋c)(a2－b2－c2)＝0. ＝ 为直角三角形. ∵b＋c>0，∴a2＝b2＋c2，故△ABC为直角三角形 ＋ ， 为直角三角形
1 ab sin 2
由面积公式得 即ab＝6. ＝ ①
由余弦定理得
a + b 2ab cos
2 2
π
3
= 7, 即a 2 + b 2 ab = 7.
由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7. 变形得 ＋ ＋ 将①代入③得(a＋b)2＝25， 代入③ ＋ ， 故a＋b＝5. ＋ ＝
③
法二：前同法一，联立①、②得 法二：前同法一，联立①
2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数 利用正、 利用正 间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系， 间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系， 从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 ＋ ＋ ＝ 从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝ π这个结论 这个结论. 这个结论 【注意】 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要 注意】 在上述两种方法的等式变形中， 约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解 约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.
正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理正弦定理是什么正弦定理是三角学中的一个基本定理，它定义了在任意三角形中，角A、B、C所对的边长a、b、c与它们的正弦值之比相等，都等于外接圆的直径，即a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2r=D(r为外接圆半径，D为直径)。
这个定理也可以表达为在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。
正弦定理的应用非常广泛，在解决三角形问题时非常有用。
例如，可以用正弦定理来求解三角形的边长或角的大小，或者判断一个三角形是否可能存在等。
余弦定理是什么余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广。
余弦定理中角条件是唯一的，所以角的对边在等式左边，两邻边及角的余弦在等式右边。
等式右边除夹角余弦值外的部分，可以看作是差的完全平方公式，可以辅助我们记忆。
正弦定理的证明方法方法1、直接过三角形一顶点如C作对边AB的垂线(设垂线长为h),则sinA=h/b,sinB=h/a,所以，sinA/a=sinB/b，同理可得sinC/c=sinB/b,因此a/sinA=b/sinB=c/sinC。
方法2、利用三角形面积公式：S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2casinB,整理即得：a/sinA=b/sinB=c/sinC。
方法3：作三角形的外接圆，过B作边BC的垂线交圆于D，连接CD,因圆周角为直角，则CD长为直径(不妨直径长度设为d)。
因圆周角相等，即角D=角A，所以sinA=sinD=BC/CD=a/d,同理可证sinB=b/d,sinC=c/d.所以，a/sinA=b/sinB=c/sinC。
方法4.还有一种向量的方法，在旧版课本上。
正弦定理证明具体步骤步骤1.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到 a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。
三角函数与解三角形：正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理【考点梳理】1．正弦定理和余弦定理(1)S＝12a·h a(h a表示边a上的高)；(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．【考点突破】考点一、利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，∠BAC＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．[解析] 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.又由正弦定理得sin B＝b sin∠BACa＝3310＝1010，由题设知0＜B＜π4，所以cos B＝1－sin 2B＝1－110＝31010.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝AB·sin Bsin(π－2B)＝6sin B2sin B cos B＝3cos B＝10.【类题通法】1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．【对点训练】1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B ＋sin C)＝(a－3c)sin A，则角B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°[答案]A[解析] 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝3ac .又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.[答案] 2113[解析] 在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1×636535＝2113.考点二、判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形(2)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B ＜C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] (1)D (2)A[解析] (1)因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.(2)由A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＜C ，可得C ＞π2，故三角形ABC 为钝角三角形，反之不成立．故选A. 【类题通法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能． 【对点训练】1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] 法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .2．在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形[答案] D[解析]根据余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D．考点三、与三角形面积有关的问题【例3】已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin A sinC.(1)若a＝b，求cos B；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．[解析] (1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cos B＝a2＋c2－b22ac＝14.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝ 2.所以△ABC的面积为12×2×2＝1.【类题通法】三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【对点训练】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．[解析] (1)由已知及正弦定理得2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C，即2cos C sin(A＋B)＝sin C，故2sin C cos C＝sin C.可得cos C＝12，所以C＝π3.(2)由已知得12ab sin C＝332.又C＝π3，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2ab cos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.。
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半径）sin A sinB sinC2. 变形：1)a b c a b csin sin sinC sin sin sinC 2）化边为角：a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A;b sin B a sin Ab sinBc sinC c sin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A asin B b sinC c sinC c5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与cc sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边c sinC4. △ABC中，已知锐角A，边b，则① a bsin A 时，B 无解；② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；③ bsinA a b 时， B 有两个解。
如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3,求 B （有一个解 ）②已知 A 60 ,b 2,a 2 3,求 B （有两个解 ） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
正弦定理和余弦定理
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[研一题] [例 2] B、b. π 在△ABC 中，c＝ 6，C＝3，a＝2，求 A、
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[自主解答] π 3 ∴A＝4或4π.
a c asin C 2 ∵sin A＝sin C，∴sin A＝ c ＝ 2 .
π 又∵c>a，∴C>A.∴A＝4. 5π 6· sin 1n C ＝ π ＝ 3＋1. sin 3
第四章
三角函数
四
正弦定理和余弦定理
• 1、正、余弦定理
定理 正弦定理
a b c ＝ ＝ sin A sin B sin C =2R
余弦定理 a2＝ a2＋c2－2accos B b2＝a2＋b2－2abcosC c2 ＝
b2＋c2－2bccos A
内
； ； .
容
定理
变 形 形 式
正弦定理 余弦定理 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ， c＝ 2Rsin C ； b2＋c2－a2 cosB= a b 2bc ②sin A＝2R，sin B＝2R， 2 a ＋c2－b2 c 2ac sin C＝2R； cos B＝ ； 2 2 2 a ＋ b － c (其中 R 是△ABC 外接圆半径) cos C＝ 2ab . ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B， asin C＝csin A.
(2)由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c正确，即
(2)正确．
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2．在△ABC中，若A>B，是否有sin A>sin B？反之，是 否成立？
提示：∵A>B，∴a>b. a b 又∵sin A＝sin B，∴sin A>sin B. 反之，若 sin A>sin B， 则 a>b，即 A>B. 故 A>B⇔sin A>sin B.
正弦定理、余弦定理知识点
正弦定理、余弦定理1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝21ca sin B ；2．三角形中的边角不等关系:A>B ⇔a>b,a+b>c,a-b<c ；； 3．正弦定理：A asin ＝Bb sin ＝Ccsin ＝2R （外接圆直径）；正弦定理的变式：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b AR a sin 2sin 2sin 2；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sinC ．4．正弦定理应用范围：①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况： (1)A 为锐角a=bsin A bsin A<a<b a b ≥ 一解 两解 一解(2)A 为锐角或钝角 当a>b 时有一解.5．余弦定理 a 2=b 2+c 2-2bccosA ．c 2=a 2+b 2-2abcosC ．b 2=a 2+c 2-2accosB ． 若用三边表示角，余弦定理可以写为、6．余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．知识点1 运用判断三角形形状例题1在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状. 【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosAsinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形解法2:由余弦定理: 22222222bca cb b ac b c a a -+⋅=-+⋅ 22b a = ∴ b a = 即△ABC 为等腰三角形.巩固练习1．在中，若2222sin sin 2cos cos b C c B b B C +=，试判断三角形的形状．2．在ABC ∆中,已知a 2tanB=b 2tanA,试判断这个三角形的形状.3．已知ABC ∆中，有cos 2cos sin cos 2cos sin A C BA B C+=+，判断三角形形状.知识点2 运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理:①已知三条边(边边边),求三个角;②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角. 例题2 在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c .【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【答案】解法1：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===BC b c 当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解法2：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+=将已知条件代入，整理：0162=+-x x 解之：226±=x当226+=c 时2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 从而A=60︒ ，C=75︒ 当226-=c 时同理可求得：A=120︒ 巩固练习1．已知在ABC ∆中，2,6,45==︒=∠BC AB A在ABC ∆中，213,2tan tan +=-=c b bb c B A ，求三内角2．在ABC ∆中，已知B C A 2=+，32tan tan +=⋅C A ，求A 、B 、C 的大小，又知顶点C 的对边C 上的高等于34，求三角形各边a 、b 、c 的长．知识点3 解决与三角形在关的证明、计算问题例题3 已知A 、B 、C 为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C 的值．【分析】本题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角．本题应先求出A+B 和C 的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出A+B+C ．【答案】 A B C 、、为锐角 ∴<++<0270°°A B C 又，，由公式可得tan tan A B ==12tan()tan tan tan tan A B A B A B +=+-⋅=+-=-112123[]tan()tan ()A B C A B C ++=++=++-+⋅tan()tan tan()tan A B C A B C 1 =-+--⨯33133() =0所以A+B+C=πsin sin sin sin cos cos cos cos 2222221336ααββααββ-++-+=221336-+=(cos cos sin sin )αβαβ --=-25936cos()αβ∴-=cos()αβ5972巩固练习1．在∆ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,设a+c=2b,A-C=3π,求sinB 的值.2．在中，a ，b ，c 分别是的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且，求的大小及的值．3．在ABC ∆中，若4,5==b a且3231)cos(=-B A ，求这个三角形的面积．例题4 在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,证明:C B A cb a sin )sin(222-=-.【分析】在用三角式的恒等变形证明三角形中的三角等式时，其解题的一般规律是：二项化积、倍角公式，提取公因式，再化积.遇有三角式的平方项，则利用半角公式降次.【答案】证法一:由正弦定理得C A B C B A c b a 2222222sin 22cos 2cos sin sin sin -=-=-=C A B A B 2sin 2)sin()sin(2-+-=CB AC 2sin )sin(sin -=C B A sin )sin(-.证法二:由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA,则222c b a -=22cos 2cA bc c -=1-c b 2∙cosA,又由正弦定理得c b =C Bsin sin ,∴222cb a -=1-C B sin sin 2∙cosA=C A B C sin cos sin 2sin -=C A B B A sin cos sin 2)sin(-+=C A B B A sin cos sin cos sin -=C B A sin )sin(-. 证法三:C B A sin )sin(-=CAB B A sin cos sin cos sin -. 由正弦定理得cbC B c a C A ==sin sin ,sin sin ,∴CB A sin )sin(-=cAb B a cos cos -,又由余弦定理得C B A sin )sin(-=cbc a c b b ac b c a a 22222222-+⋅--+⋅=22222222)()(c a c b b c a -+--+=222c b a -.巩固练习1．已知锐角三角形ABC 中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=. （1）求证tan 2tan A B =；（2）设3AB =，求AB 边上的高．参考答案课堂互动例题1 巩固练习1．【答案】[解法1]：由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，R 为外接圆的半径，将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C =，sin sin 0B C ≠，sin sin cos cos B C B C ∴=. 即cos()0B C +=,90B C ∴+=，90A =.故为直角三角形[解法2]：将已知等式变为2222(1cos )(1cos )2cos cos b C c B b B C -+-=，由余弦定理可得22222222222222a b c a c b b c b c ab ac ⎛⎫⎛⎫+-+-+-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222222a c b a b c bc ac ab+-+-=⋅⋅，即22b c +22222222()()4a b c a c b a ⎡⎤+-++-⎣⎦=也即222b c a +=，故为直角三角形．2．【答案】解法1:由已知得A A b B B a cos sin cos sin 22=,由正弦定理得AAB B B A cos sin sin cos sin sin 22=,∵sinAsinB ≠0,∴sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,∴2A=2B 或2A=1800-2B,即A=B 或A+B=900.∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.解法2: 由已知得A A bB B a cos sin cos sin 22=,由正弦定理得A a b b a cos cosB 22=,即Ab a cos cosB =,又由余弦定理得bcac b b a 22ac b -c a 222222-+=+,整理得(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,∴a=b,或a 2+b 2=c 2, ∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形. 3．解：由已知得例题2 巩固练习1．【答案】解法1：由正弦定理，得2345sin 26sin =︒=C 因3226sin =⨯=⋅A AB 6,2==AB BC 由623<<，则有二解，即︒=∠60C 或︒=∠120C︒=︒-︒-︒=∠754560180B 或︒=︒-︒-︒=∠1545120180B故13sin sin +=⇒⋅=AC B ABC AC 或13-=AC ，︒=∠︒=∠15,120B C ︒=∠︒=∠75,60B C 解法2：令AC=b ，则由余弦定理222245cos 62)6(=︒-+b b 1302322±=⇒=+-b b b又C b b cos 222)6(222⋅-+=︒=∠±=⇒60,21cos C C 或︒=∠120C ︒=︒+︒-︒=∠⇒75)6045(180B 或︒=︒+︒-︒=∠15)12045(180B . 2【答案】由已知有bc B A 21tan tan =+，化简并利用正弦定理：B C B A B A B A sin sin 2sin cos sin cos cos sin =+ BCB A B A sin sin 2sin cos )sin(=+0cos sin 2sin =-A C C由0sin ≠，故︒=⇒=6021cos A A 由213+=cb，可设k c k b 2,)13(=+=，由余弦定理，得 k a k k k a 6)13(24)13(22222=⇒+-++=由正弦定理Cc A a sin sin =得 226232sin sin =⋅==kk a A c C 由b c <则C 是锐角，故︒=--︒=︒=75180,45C A B C3．【答案】由已知，得2C A B +=，又由︒=++180C B A ︒=⇒60B 故4160cos sin sin 2=︒=C A ①又由B c a S ABC sin 2134⋅⋅==∆164334=⇒=⇒ac ac ② 故64)sin ()sin (sin sin 22===C c A a C A ac 8sin sin ==⇒Cc A a由3460sin 8sin 8sin sin =︒⋅=⋅==B AB a b 则21260cos cos 222=-+=︒=ac b c a B即964848)(3)(222=+=+⇒=-+c a ac b c a 64=+⇒c a ③ 把③与②联立，得)26(2),26(2-=+=c a 或)26(2),26(2+=-=c a4．【答案】由已知B C A 2=+，及︒=+︒=⇒︒=++120,60180C A B C B A由CA C A C A tan tan 1tan tan )tan(-+=+及32tan tan ,3)tan(+=⋅-=+C A C A得33tan tan +=+C A ，以C A tan ,tan 为一元二次方程032)33(2=+++-x x 的两个根，解方程，得⎩⎨⎧+==32tan 1tan C A 或⎩⎨⎧=+=1tan 32tan C A ⎩⎨⎧︒=︒=⇒7545C A 或⎩⎨⎧︒=︒=4575C A 若︒=︒=75,45C A ，则860sin 34=︒=a ，6445sin 34=︒=b ，)13(445sin 75sin 8sin sin +=︒︒==A C a c 若︒=︒=45,75C A ，则︒=60sin 34a ︒==75sin 34,8b )13(64-=)623(4-=)13(8sin sin -==B C b c 例题3 巩固练习1．【答案】由正弦定理和已知条件a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式,得2sin 2C A +cos 2C A -=2sinB. 由A+B+C=π得sin2C A +=cos 2B .又A-C=3π,得2cos 23B =sinB.∴2cos 23B=2sin 2B cos 2B ,∵0<2B <2π,∴cos 2B ≠0,∴sin 2B =43.∴cos 2B =2sin 12B -=413,∴sinB=2sin 2B cos 2B =2∙43∙413=839. 2．【答案】（I ）成等比数列 又 在中，由余弦定理得（II ）在中，由正弦定理得 ．3．【答案】解法1：由余弦定理得c c bc a c b A 892cos 2222-=-+= cc ac b c a B 1092cos 2222+=-+= 由正弦定理得：B A B A sin 45sin sin 4sin 5=⇒= 3231)cos 1(4510989222=-++⋅-⇒B c c c c 3231])109(1[4580812224=+-+-c c c c 63632318016282222=⇒=⇒=-⇒c c cc 故1694893689cos 2=-=-=c c A 7165sin =A 4715sin 21=⋅⋅=∆A c b S ABC解法2：如图，作B A CAD -=∠，AD 交BC 于D ，令x CD =则由5=a 知，x AD x BD -=-=5,5，在CAD ∆中 由余弦定理3231)5(84)5()cos(222=--+-=-x x x B A 化简得199=⇒=x x ，在CAD ∆中由正弦定理)sin(4)sin(sin )sin(sin B A B A CD AD C B A CD C AD -=-⋅=⇒-=783)(cos 142=--=B A 74158735421sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆C BC AC S ABC例题4 巩固练习1．【答案】（1）证明：因为3sin()5A B +=，1sin()5A B -=， 所以3sin cos cos sin 51sin cos cos sin 5A B A B A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，2sin cos 51cos sin 5A B A B ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩，tan 2tan A B ⇒=.所以tan 2tan A B =（2）因为2A B ππ<+<，3sin()5A B +=， 所以3tan()4A B +=-，即tan tan 31tan tan 4A B A B +=--， 将tan 2tan A B =代入上式并整理得 22tan 4tan 10B B --=.解得2tan 2B =，舍去负值得2tan 2B +=，从而tan 2tan 2A B ==. 设AB 边上的高为CD.则tan tan CD CD AB AD DB A B =+=+=AB=3，得CD= 2AB 边上的高等于2。
正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 常见变形a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．3．三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角 图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数 一解两解一解一解| 微 点 提 醒 |1．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2.2．三角形中的射影定理 在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)在△ABC 中，已知a ，b 和角B ，能用正弦定理求角A ；已知a ，b 和角C ，能用余弦定理求边c .(√)(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．(√) (3)在△ABC 中，sin A >sin B 的充分不必要条件是A >B .(×)(4)在△ABC 中，“a 2＋b 2<c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件．(√) (5)在△ABC 的角A ，B ，C ，边长a ，b ，c 中，已知任意三个可求其他三个．(×)‖自主测评‖1．(教材改编题)在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12.所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.2．(教材改编题)在非钝角△ABC 中，2b sin A ＝3a ，则角B 为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C 由正弦定理得b sin A ＝a sin B ， 所以2a sin B ＝3a ，即sin B ＝32，又B 为非钝角，所以B ＝π3，故选C. 3．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形( ) A ．无解 B ．有两解C ．有一解D ．解的个数不确定解析：选B 因为a sin A ＝b sin B，所以sin B ＝b a ·sin A ＝2418×sin45°＝223.又因为a <b ，所以B 有两解.4．(教材改编题)已知△ABC 的三边之比为3∶5∶7，则最大角为( ) A.2π3 B.3π4C.5π6D.7π12解析：选A 由三边之比为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3k 2)＋(5k )2－(7k )22×3k ×5k＝－12，又0<C <π，所以C ＝2π3.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为________．解析：由cos2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.答案：12………………考点一 利用正、余弦定理解三角形……|多维探究型|……………|多角探明|角度一 求三角形的边长【例1】 (2018届贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°. (1)求边长a ；(2)(一题多解)求AB 边上的高CD 的长． [解] (1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos120°＝a 2＋(a ＋2)2－(a ＋4)22a (a ＋2)，即a 2－a －6＝0，∴a ＝3或a ＝－2(舍去)，∴a ＝3.(2)解法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由三角形的面积公式得12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ，∴CD ＝ab sin ∠ACBc＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314. 解法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7sin120°，即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.角度二 求三角形的角或角的三角函数值【例2】 (1)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010(2)(2018届河北“五个一名校联盟”模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3，若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，则A ＝________.[解析] (1)设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝52c 2＋c 2－92c 22×102c ×c＝－1010，故选C.(2)在△ABC 中，由sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A 可得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝4sin A cos A ，∴cos A sin B ＝2sin A cos A ，即cos A (sin B －2sin A )＝0，即cos A ＝0或sin B ＝2sin A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当sin B ＝2sin A 时，根据正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理c 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ，结合c ＝2，C ＝π3，得a 2＋b 2－ab ＝4，∴a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∴B ＝π2，∴A ＝π6.综上可得，A ＝π2或π6.[答案] (1)C (2)π2或π6『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A或其他相应变形公式求解．(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa 或其他相应变形公式求解．(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．(4)灵活利用式子的特点转化；如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．|变式训练|1．(2018届福建莆田联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B .∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6，故选A.2．(2019届黄冈模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若23cos 2A ＋cos2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值； (2)若a ＝3，A ＝π3，求b ＋c 的取值范围．解：(1)∵23cos 2A ＋cos2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0， ∴cos 2A ＝125，又A 为锐角，∴cos A ＝15，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2－125b －13＝0， 得b ＝5(负值舍去)，∴b ＝5.(2)解法一：由正弦定理可得b ＋c ＝2(sin B ＋sin C )＝2⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6， 又0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6≤1，∴b ＋c ∈(3，23]． 解法二：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得b 2＋c 2－3＝bc ， ∴(b ＋c )2－3＝3bc ≤34(b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时取等号，∴b ＋c ≤23，又由两边之和大于第三边可得b ＋c >3， ∴b ＋c ∈ (3，23]．………………考点二 判断三角形的形状…………|重点保分型|……………|研透典例|【典例】 (一题多解)在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状．[解] 解法一：利用边的关系来判断 由正弦定理得sin C sin B ＝cb，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b .又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又因为a 2＋b 2－c 2＝ab .所以2b 2－c 2＝b 2，所以b 2＝c 2， 所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形． 解法二：利用角的关系来判断 因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ， 又由a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°， 所以C ＝60°，所以△ABC 为等边三角形.『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|判定三角形形状的两种常用途径[提醒]“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．|变式训练|在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 解析：选D 因为(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，所以b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， 所以2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .解法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， 所以sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin2A ＝sin2B . 在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B .所以A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D. 解法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2bb 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac， 所以a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， 所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0， 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D.………………考点三 三角形面积的计算………………|多维探究型|……………|多角探明|角度一 求三角形的面积【例1】 (2018届武汉调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c . (1)求B ；(2)若b ＝2，a ＋c ＝5，求△ABC 的面积． [解] (1)由正弦定理，知2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ， 由A ＋B ＋C ＝π，得2sin B cos C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ， 化简，得2sin B cos C ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )＋sin C ， 即2cos B sin C ＋sin C ＝0. 因为sin C ≠0，所以cos B ＝－12.因为0<B <π，所以B ＝2π3.(2)由余弦正理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可知b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， 因为b ＝2，a ＋c ＝5，所以22＝(5)2－2ac －2ac cos 2π3，得ac ＝1.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×32＝34.角度二 已知三角形的面积解三角形【例2】 (2018届沈阳教学质量监测(一))在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b . (1)求C ；(2)若a ＋b ＝6，△ABC 的面积为23，求c . [解] (1)由正弦定理得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ， 又sin A ＝sin(B ＋C )，∴2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，∴2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ， ∴2sin B cos C ＋sin B ＝0， ∵sin B ≠0，∴cos C ＝－12.又C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝23，∴ab ＝8，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝28， ∴c ＝27.角度三 求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题【例3】 (2018届沈阳市教学质量检测(一)) 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________． [解析] 由题意得：4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得：2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1，又0<A <π，所以π4<A ＋π4<5π4，所以A ＋π4＝3π4，所以A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，所以bc ≤16，所以S 的最大值为8. [答案] 8『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．|变式训练|1．(2018年全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选C 根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.。
正弦定理和余弦定理
第3讲 正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角A 为钝角或直角图形关系 式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a ＜b a ≥ba ＞ba ≤b解的 个数无解 一解 两解 一解 一解 无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ，即1032＝c 22.∴c ＝1063.答案 C2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 答案 B3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3.答案 C5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°考向一 利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32. ∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin C sin B ＝6－22.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin Acos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，代入数据解得a ＝210. 答案255210 考向二 利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． [审题视点] 由cos B cos C ＝－b2a ＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解． 解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， ∴13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 【训练2】 (2011·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2cos 2 A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0， 即cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ， 又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4， 故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． [审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断． 解 由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ， 得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]， 即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cos B sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ， 由于A ，B 是三角形的内角． 故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系． 【训练3】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C；则△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)． ∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C. 即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B考向三 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题．解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. (2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A . 当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6，a ＝433，b ＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题． 【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.第7讲 正弦定理、余弦定理应用举例基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B 两点的距离为()．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m解析由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin B，又∵B＝30°∴AB＝AC·sin∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．答案 A2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()．A ．α＞βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180° 解析 根据仰角与俯角的定义易知α＝β. 答案 B3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )． A ．北偏东15° B ．北偏西15° C ．北偏东10° D ．北偏西10°解析 如图．答案 B4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )． A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里D ．103海里解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)， 于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．答案 C5．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里．解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝AB sin (180°－60°－75°).解得BC ＝56(海里)．答案 5 6考向一 测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长． [审题视点] 在△BCD 中，求出BC ，在△ABC 中，求出AB .解 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45°在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a .在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a . (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．【训练1】 如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离．解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 又∵∠ABC ＝15°在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC ， 所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)， 同理，BD ＝32＋620(km)． 故B 、D 的距离为32＋620km. 考向二 测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB ，在塔底B 测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB ＝20 m ，求山高CD .[审题视点] 过点C 作CE ∥DB ，延长BA 交CE 于点E ，在△AEC 中建立关系．解如图，设CD ＝x m ，则AE ＝x －20 m ，tan 60°＝CD BD ， ∴BD ＝CD tan 60°＝x 3＝33x (m)． 在△AEC 中，x －20＝33x ， 解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m.(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．【训练2】 如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β， 由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD ， 所以BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin (α＋β)在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin (α＋β). 考向三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．[审题视点] 由于AB ＝5，∠ADB ＝45°，因此要求BD ，可在△ABD 中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD 的正弦值．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠ACB＝30°，因此可用正弦定理求出sin ∠ABC ，再依据∠ABC 与∠BAD 互补确定sin ∠BAD 即可． 解 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠ABC， sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910. ∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ，于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910， ∠ADB ＝45°，由正弦定理：AB sin ∠BDA ＝BD sin ∠BAD， 解得BD ＝922.故BD 的长为922. 要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理．【训练3】 如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°. 在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B， ∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.。
高中数学必修五-正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b一解两解一解一解解的个数由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•h a（h a表示边a上的高）；2．S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1 C．2 D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B =b sin A，则a=（）A ．B ．C．1 D．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）2=c2+ab，B=30°，a=4，则△ABC的面积为（）A．4 B．3C．4D．6例2.设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A．B．C．或D．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC的最大值．'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。
正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明正弦定理概述：正弦定理是三角形的一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的正弦值之间的关系。
正弦定理可以用于求解任意三角形的边长或角度。
正弦定理表达式：在一个三角形ABC中，有以下正弦定理的表达式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C表示三角形的角度。
正弦定理表明，三角形的任意一边的长度与这条边相对的角的正弦值成正比。
正弦定理的证明：可以使用数学推导来证明正弦定理。
这里给出一种较为详细的证明方法。
证明：1. 通过三角形的边长关系：a = b * sin(A) / sin(B)和c = b *sin(C) / sin(B)，可得到以下关系式：a * sin(B) = b * sin(A)和c * sin(B) = b * sin(C)2.利用向量叉积原理知识，假设D为线段BC上的一点，则由向量的垂直性知：向量BD与向量AD是垂直的，向量CD与向量AD是垂直的。
3. 记向量AD为向量a，向量BD为向量b，向量CD为向量c，由向量b与向量a的垂直性可得：向量b·向量a = ，b， * ，a， *sin(∠BA) = b * AD * sin(∠BA)。
4. 同理，由向量c与向量a的垂直性可得：向量c·向量a = ，c，* ，a，* sin(∠CA) = c * AD * sin(∠CA)。
5. 因为∠C + ∠A = ∠BA，即∠CA + ∠BA = 180°，所以sin(∠BA) = sin(∠CA)。
所以有b * AD * sin(∠BA) = c * AD *sin(∠CA)。
6. 即有b * AD * sin(∠BA) = c * AD * sin(∠BA)，那么b = c，所以定理得证。
余弦定理概述：余弦定理是三角形的另一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的角之间的关系。
正弦定理余弦定理
03
正弦定理与余弦定理的关 联
正弦定理与余弦定理的相似之处
01
两者都是关于三角形边角关系的定理，是三角学中 的基本定理之一。
02
它们都可以用来解决与三角形相关的问题，如求角 度、边长等。
03
正弦定理和余弦定理在形式上具有一定的对称性， 反映了三角形的内在规律。
正弦定理与余弦定理的不同之处
01
02
03
正弦定理主要应用于求解三角形 的角度，特别是当已知两边及其 夹角时；而余弦定理则更常用于 求解三角形的边长，特别是当已 知两角及一边时。
正弦定理中的角度是通过正弦函 数来表达的，而余弦定理中的角 度则是通过余弦函数来表达的。
正弦定理和余弦定理在应用上有 一定的互补性，可以根据具体问 题选择使用。
总结词
余弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角余弦值之间的关系。
详细描述
余弦定理是三角学的基本定理之一，它指出在任意三角形ABC中，任意一边的平方等于其他两边的平 方和减去两倍的另一边的长度与相邻两边的乘积。数学公式表示为：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(A) 。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正 弦函数，这使得正弦定理在电力 系统中有着广泛的应用。
声学
声音的传播和反射可以用正弦和 余弦函数来描述，这使得余弦定 理在声学中有重要应用。
三角函数在工程中的应用
1 2
结构设计
在建筑和机械设计中，正弦和余弦定理常被用来 计算角度、长度等参数，以确保结构的稳定性和 安全性。
余弦定理的应用
总结词
余弦定理在解决三角形问题中具有广泛 的应用，包括求解角度、判断三角形的 形状以及解决实际问题等。
正弦定理和余弦定理-PPT课件
22
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
正弦定理和余弦定理
第六节 正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)； (2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，若A ＞B ，则必有sin A ＞sin B ．( )(2)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则△ABC 为锐角三角形．( )(3)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝45°或135°.( ) (4)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C .( )[解析] (1)正确．A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .(2)错误．由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形．(3)错误．由b ＜a 知，B ＜A .(4)正确．利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可知结论正确． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定C [由正弦定理，得a 2R ＝sin A ，b 2R ＝sin B ，c2R ＝sin C ，代入得到a 2＋b 2＜c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＜0，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A.2B. 3 C ．2D ．3D [由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23， 解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________. 【导学号：51062120】π3或2π3 [由正弦定理a sin A ＝b sin B ，代入可求得sin B ＝32，故B ＝π3或B ＝2π3.] 5．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．23[由题意及余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝c2＋16－122×4×c＝12，解得c＝2，所以S＝12bc sin A＝12×4×2×sin 60°＝2 3.]在△ABC中，∠BAC＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．[解]设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.6分又由正弦定理得sin B＝b sin∠BACa＝3310＝1010，由题设知0＜B＜π4，所以cos B＝1－sin 2B＝1－110＝31010.10分在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝AB·sin Bsin(π－2B)＝6sin B2sin B cos B＝3cos B＝10.14分[规律方法] 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．[变式训练1] (1)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边， 且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°(2)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.(1)A (2)2113[(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝3ac .又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.(2)在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1×636535＝2113.](1)(2017·浙江五校二联)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形(2)(2017·绍兴二模)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B ＜C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)D (2)A [(1)因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.(2)由A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＜C ，可得C ＞π2，故三角形ABC 为钝角三角形，反之不成立．故选A.][规律方法] 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．[变式训练2] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形B [法一：由已知得2sin A cos B ＝sinC ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .]已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sinC .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积. 【导学号：51062121】[解](1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.2分又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cos B＝a2＋c2－b22ac＝14.6分(2)由(1)知b2＝2ac.8分因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝ 2.12分所以△ABC的面积为12×2×2＝1.14分[规律方法]三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[变式训练3]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．[解](1)由已知及正弦定理得2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C，即2cos C sin(A＋B)＝sin C，3分故2sin C cos C＝sin C.可得cos C＝12，所以C＝π3.6分(2)由已知得12ab sin C＝332.又C＝π3，所以ab＝6.10分由已知及余弦定理得a2＋b2－2ab cos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.14分[思想与方法]1．在解三角形时，应熟练运用内角和定理：A＋B＋C＝π，A2＋B2＋C2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.[易错与防范]1．已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角．可能有一解、两解、无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：课时分层训练(二十)正弦定理和余弦定理A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B[由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝π2.]2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()【导学号：51062122】A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定C[由正弦定理得bsin B＝csin C，∴sin B＝b sin Cc＝40×3220＝3＞1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.]4．(2017·台州二次适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )A.34B.34C.32D.32B [依题意得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sin C ＝12×3×32＝34，故选B.]5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( )A.310B.1010C.55D.31010D [过A 作AD ⊥BC 于D ，设BC ＝a ，由已知得AD ＝a 3.∵B ＝π4，∴AD ＝BD ，∴BD ＝AD ＝a 3，DC ＝23a ，∴AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝53a，在△ABC 中，由正弦定理得asin ∠BAC ＝53a sin 45°，∴sin ∠BAC ＝31010，故选D.]二、填空题6．(2017·嘉兴模拟)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝__________. 63 [由正弦定理可得1532＝10sin B，所以sin B ＝33，再由b ＜a ，可得B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝63.]7．(2017·青岛模拟)如图3-6-1所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD＝3，则BD 的长为________．图3-6-13 [∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223， ∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD －2AB ·AD cos ∠BAD ， ∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3， ∴BD ＝ 3.]8．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________．32 [由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3＞0，所以C ＝π3. 根据正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝332＝2，所以sin A ＝12.因为AB ＞BC ，所以A ＜C ，所以A ＝π6，所以B ＝π2，即三角形为直角三角形，故S △ABC ＝12×3×1＝32.] 三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35.(1)求b 的值；(2)求sin C 的值. 【导学号：51062123】[解] (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b ＝17.6分(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45，10分由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C ，所以sin C ＝41717.14分10．(2017·云南二次统一检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直．(1)求sin A 的值； (2)若a ＝22，求△ABC 的面积S 的最大值．[解] (1)∵m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直，∴m ·n ＝5sin 2B －6sin B sin C ＋5sin 2C －5sin 2A ＝0，即sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝6sinB sinC 5.4分 根据正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝6bc 5，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.∵A 是△ABC 的内角，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45.7分(2)由(1)知b 2＋c 2－a 2＝6bc 5， ∴6bc 5＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2.10分又∵a ＝22，∴bc ≤10.∵△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2bc 5≤4，∴△ABC 的面积S 的最大值为4.14分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sinA )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π6C [∵b ＝c ，∴B ＝C .又由A ＋B ＋C ＝π得B ＝π2－A 2.由正弦定理及a 2＝2b 2(1－sin A )得sin 2A ＝2sin 2B (1－sin A )，即sin 2A ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2(1－sin A )， 即sin 2A ＝2cos 2A 2(1－sin A )，即4sin 2A 2cos 2A 2＝2cos 2A 2(1－sin A )，整理得cos 2A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin A －2sin 2A 2＝0， 即cos 2A 2(cos A －sin A )＝0.∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴cos A 2≠0，∴cos A ＝sin A ．又0＜A ＜π，∴A ＝π4.]2．(2017·浙江高考冲刺卷(一))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则角B ＝________；若b ＝3，a ＋c ＝3，则△ABC 的面积为________. 【导学号：51062124】π3 32 [依条件有a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，由正弦定理得sin A cos C ＋sinC cos A ＝2sin B cos B ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，则有sin B ＝2sin B cos B ，由sinB ≠0，得cos B ＝12，又B ∈(0，π)，故B ＝π3.由余弦定理得a 2＋c 2－ac ＝3，即(a ＋c )2－3ac ＝3，所以ac ＝2，则S △ABC ＝12ac sin B ＝32.]3．在△ABC 中，cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根．(1)求角C ；(2)当a ＋b ＝10时，求△ABC 周长的最小值．[解] (1)因为2x 2－3x －2＝0，所以x 1＝2，x 2＝－12.2分又因为cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，所以cos C ＝－12，所以C ＝2π3.6分(2)由余弦定理可得：c 2＝a 2＋b 2－2ab ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(a ＋b )2－ab ，10分 则c 2＝100－a (10－a )＝(a －5)2＋75，当a ＝5时，c 最小且c ＝75＝53，此时a ＋b ＋c ＝10＋53，所以△ABC 周长的最小值为10＋5 3.14分。
三角形的正弦定理与余弦定理
三角形的正弦定理与余弦定理三角形是数学中的重要概念之一，它具有广泛的应用。
在三角形的研究中，正弦定理和余弦定理是两个基本的定理，它们能够帮助我们研究三角形的边长与角度之间的关系，解决各种与三角形相关的问题。
本文将重点介绍三角形的正弦定理与余弦定理，并通过具体例子来说明它们的应用。
一、三角形的正弦定理正弦定理是描述三角形边长与角度之间关系的定理。
对于一个任意三角形ABC，设a、b、c分别是三边AC、AB和BC的长度，角A、B、C分别为三个顶点的对应角度，则正弦定理可以表达为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，sinA、sinB和sinC分别表示角A、B和C的正弦值。
通过正弦定理，我们可以推导出三个有用的结论。
1. 第一个结论是三角形内角的正弦定理：对于三角形ABC，有sinA/a = sinB/b = sinC/c。
通过该结论，我们可以根据三角形的边长计算三个内角的正弦值，或者根据三角形的内角计算三个边长的比值。
2. 第二个结论是三角形的外角的正弦定理：对于三角形ABC的外角A'、B'和C'，有sinA'/a = sinB'/b = sinC'/c。
这个结论可以帮助我们计算三角形的外角与边长的关系。
3. 第三个结论是三角形的面积公式：对于三角形ABC，它的面积S 可以表示为S = (1/2) * a * b * sinC。
通过这个结论，我们可以根据三角形的两边和它们之间的夹角来计算该三角形的面积。
二、三角形的余弦定理余弦定理与正弦定理类似，也是描述三角形边长与角度之间关系的定理。
对于一个任意三角形ABC，设a、b、c分别是三边AC、AB和BC的长度，角A、B、C分别为三个顶点的对应角度，则余弦定理可以表达为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，cosC表示角C的余弦值。
通过余弦定理，我们可以推导出三个有用的结论。
(完整版)正弦定理、余弦定理知识点
正弦定理、余弦定理讲师：王光明【基础知识点】1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝＝ca sin B ；2121212．三角形中的边角不等关系: A>B a>b,a+b>c,a-b<c ；；⇔3．【正弦定理】：＝＝＝2R （外接圆直径）；A a sin B b sin Ccsin 正弦定理的变式：； a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ．⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b AR a sin 2sin 2sin 24．正弦定理应用范围： ①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A 为锐角AABa=bsin A bsin A<a<b a b ≥ 一解 两解 一解(2)A 为锐角或钝角当时有一解.a>b 5．【余弦定理】 a 2=b 2+c 2-2bccosA ．c 2=a 2+b 2-2abcosC ．b 2=a 2+c 2-2accosB ．若用三边表示角，余弦定理可以写为、6．余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．【习题知识点】知识点1 运用判断三角形形状例题1在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.【解析】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式2RsinAcosB=2RsinBcosAsinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形解法2:由余弦定理: 22222222bc a c b b ac b c a a -+⋅=-+⋅ 22b a = ∴ b a =即△ABC 为等腰三角形.知识点2 运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理: ①已知三条边(边边边),求三个角;②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角.例题2 在△ABC 中，已知，，B=45︒ 求A 、C 及c .3=a 2=b 【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【解析】解法1：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===BCb c当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解法2：设c =x 由余弦定理将已知条件代入，整理：解之：B ac c a b cos 2222-+=0162=+-x x 226±=x 当时 从而A=60︒ ，C=75︒226+=c 2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 当时同理可求得：A=120︒ C=15︒.226-=c 知识点3 解决与三角形在关的证明、计算问题例题3 已知A 、B 、C 为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C 的值． 【分析】本题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角．本题应先求出A+B 和C 的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出A+B+C ．【解析】 A B C 、、为锐角∴<++<0270°°A B C 又，，由公式可得tan tan A B ==12tan()tan tan tan tan A B A B A B +=+-⋅=+-=-112123[]tan()tan ()A B C A B C ++=++=++-+⋅tan()tan tan()tan A B C A B C 1 =-+--⨯33133() =0所以A+B+C=π知识点4 求三角形的面积例题4 △ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，∠B ＝60o ，∠ADC ＝150o ，求AC 的长及△ABC 的面积．【解析】在△ABC 中，∠BAD ＝150o －60o ＝90o ，∴AD ＝2sin60o ＝3．A在△ACD 中，AD 2＝(3)2＋12－2×3×1×cos150o ＝7，∴AC ＝7． ∴AB ＝2cos60o ＝1．S △ABC ＝21×1×3×sin60o ＝343．知识点4 解决实际为题例题4 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。
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正弦定理和余弦定理高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，解决不同的三角形问题．2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：[1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A<sinB,cosA<sinC· 2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 1． 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.2． (2012·福建)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 3． (2012·重庆)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.4． (2011·课标全国)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．5． 已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D.22题型一 利用正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断．探究提高 (1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________． 题型二 利用余弦定理求解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．思维启迪：由cos B cos C ＝－b2a ＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解．探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用例3 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .探究提高 在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；代数化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．审题视角 (1)先对等式化简，整理成以单角的形式表示．(2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以下两种不同方式切入：一、根据余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化角．温馨提醒 (1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断．(2)本题也可分析式子的结构特征，从式子看具有明显的对称性，可判断图形为等腰或直角三角形． (3)易错分析：①方法一中由sin 2A ＝sin 2B 直接得到A ＝B ，其实学生忽略了2A 与2B 互补的情况，由于计算问题出错而结论错误．方法二中由c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)不少同学直接得到c 2＝a 2＋b 2，其实是学生忽略了a 2－b 2＝0的情况，由于化简不当致误．②结论表述不规范．正确结论是△ABC 为等腰三角形或直角三角形，而不少学生回答为：等腰直角三角形．高考中的解三角形问题典例：(12分)(2012·辽宁)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．(1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．解后反思 (1)在解三角形的有关问题中，对所给的边角关系式一般要先化为只含边之间的关系或只含角之间的关系，再进行判断．(2)在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向.方法与技巧1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C － 2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明．失误与防范1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·广东)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( )A ．4 3B ．2 3C. 3D.322． (2011·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )A ．－12B.12C ．－1D ．13． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4． (2012·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.6． (2011·福建)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 7． 在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________.三、解答题(共22分)8． (10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．9． (12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72.(1)求A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值．B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·上海)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定2． (2011·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a等于( )A ．2 3B ．2 2C. 3D. 23． (2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sinC 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4二、填空题(每小题5分，共15分)4． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则∠A ＝________，△ABC 的形状为__________．5． 在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C的值为________．6． 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B 的值是______．三、解答题7． (13分)(2012·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C . (1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．。