高等数学化学专业-答案-课件-习题课六
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1 2 π ( x 2 x)2 5 d x 5
du
故所求旋转体体积为 16 5 2 2 2 5π V π ( x 2 x) d x 75 5 0
O dx 2
x
例6. 半径为 R , 密度为 的水池底, 水的密度
多少功 ?
的球沉入深为H ( H > 2 R )
现将其从水池中取出, 需做
2 g π [( 0 ) H 0 R]
2 2
0 ( R
R
2
x ) dx
2
H
d W1 ( 0 ) g π ( R x )( H R x) dx
O
x
y
d W2 g π ( R 2 x 2 )( R x) dx
x
例7. 设有半径为 R 的半球形容器如图.
绕极轴
3 2 π 旋转而成的体积为 Vox r ( ) sin d . 3 r r ( ) 证: 先求 上微曲边扇形 dr d 绕极轴旋转而成的体积
体积元素
O
r
r
故
Vox
2π 3 r ( ) sin d 3
例5. 求由 y 2 x 与 y 4 x x 2 所围区域绕 y 2 x
π (2 Rh h 2 )
(2) 将满池水全部抽出所做的最少功 为将全部水提 到池沿高度所需的功.
y
对应于
薄层所需的功元素
R
g π(2 Ry y )( R y ) d y
故所求功为
2
y
O
g π ( 2 R 2 y 3R y 2 y 3 ) d y 0
π 4 gR 4
习题课 定积分的应用
1. 定积分的应用
第六章
几何方面 : 面积、 体积、弧长、 表面积 . 物理方面 : 质量、作功、 侧压力、引力、
转动惯量 .
2. 基本方法 : 元素法
带、 片、扇、环、壳 等. 元素形状 : 条、段、
例1. 求抛物线
在(0,1) 内的一条切线, 使它
与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.
(1) 以每秒为a 的速度向空容器中注水, 求水深为 h (0 < h < R ) 时水面上升的速度 . (2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最 少应为多少 ? 解: 过球心的纵截面建立坐标系如图. 则半圆方程为 设经过 t 秒容器内水深为h , 则 h h(t ) .
y
R
h O
解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与 x , y 轴的交点分别为
B M
O
所指面积
A
得[ 0 , 1] 上的唯一驻点
B
M
O
A
故为最小值点, 因而所求切线为
例2. 设非负函数
曲线 面积为 2 , (1) 求函数 (2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 体积最小 ? 解: (1) 由方程得 与直线 及坐标轴所围图形
体积元素 所受重力
x
g π( R x )( R x) dx
2
2
上升高度
( x , y)
因此功元素为
dW dW1 dW2
球从水中提出所做的功为
2 2 g π [ ( ) H ( R x )] ( R x ) dx W 0 0 R R
“偶倍奇零”
即
故得
又
(2) 旋转体体积
y
O
又
为唯一极小值点, 因此 时 V 取最小值 .
1
x
例3. 过坐标原点作曲线
轴围成平面图形D. (1) 求 D 的面积;
的切线. 该切线与曲线
(2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.
(2003考研)
解: (1) 设切点的横坐标为
则所求切线方程为
y1 e x
x
(1) 求 由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为 a t , 而高为 h 的球缺的体积为
y
R
h x O x 2 2R y y 2
V (h) 0 π (2 Ry y ) d y
2
h
故有 两边对 t 求导, 得
π (2 Rh h 2 )
a
a
半球可看作半圆 绕 y 轴旋转而成 体积元素: π x 2 d y
R
x
2 π x dy 体积元素: 2 元素的重力 : g π x d y
作业
P295 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9
由切线过原点知
因此 故切线方程为
1
y ln x
D 的面积为
(2) 切线、x 轴及直线
旋转所得圆锥的体积为 曲线、x 轴及直线 得旋转体体积为
所围三角形绕直线
所围图形绕直线
旋转所
y1 e x
1
y ln x
因此所求旋转体体积为 (2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.
例4. 证明曲边扇形
解: 建立坐标系如图 . 则对应 [ x , x dx] 上球的薄片提到水面上的功元素为
d W1 ( 0 ) g π y 2 dx ( H R x)
H
( 0 ) g π( R x )( H R x) dx
提出水面后的功元素为
2
2
O
x
y
d W2 g π y 2 dx ( R x)
旋转所得旋转体体积. 解: 曲线与直线的交点坐标为 A (2 , 4), 曲线上任一点
P ( x , 4 x x 2 ) 到直线 y 2 x 的距离为
u
y
A y 2x P
y 4x x2
以 y 2 x 为数轴 u (如图), 则 2 d V π d u (d u 5 d x)
du
故所求旋转体体积为 16 5 2 2 2 5π V π ( x 2 x) d x 75 5 0
O dx 2
x
例6. 半径为 R , 密度为 的水池底, 水的密度
多少功 ?
的球沉入深为H ( H > 2 R )
现将其从水池中取出, 需做
2 g π [( 0 ) H 0 R]
2 2
0 ( R
R
2
x ) dx
2
H
d W1 ( 0 ) g π ( R x )( H R x) dx
O
x
y
d W2 g π ( R 2 x 2 )( R x) dx
x
例7. 设有半径为 R 的半球形容器如图.
绕极轴
3 2 π 旋转而成的体积为 Vox r ( ) sin d . 3 r r ( ) 证: 先求 上微曲边扇形 dr d 绕极轴旋转而成的体积
体积元素
O
r
r
故
Vox
2π 3 r ( ) sin d 3
例5. 求由 y 2 x 与 y 4 x x 2 所围区域绕 y 2 x
π (2 Rh h 2 )
(2) 将满池水全部抽出所做的最少功 为将全部水提 到池沿高度所需的功.
y
对应于
薄层所需的功元素
R
g π(2 Ry y )( R y ) d y
故所求功为
2
y
O
g π ( 2 R 2 y 3R y 2 y 3 ) d y 0
π 4 gR 4
习题课 定积分的应用
1. 定积分的应用
第六章
几何方面 : 面积、 体积、弧长、 表面积 . 物理方面 : 质量、作功、 侧压力、引力、
转动惯量 .
2. 基本方法 : 元素法
带、 片、扇、环、壳 等. 元素形状 : 条、段、
例1. 求抛物线
在(0,1) 内的一条切线, 使它
与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.
(1) 以每秒为a 的速度向空容器中注水, 求水深为 h (0 < h < R ) 时水面上升的速度 . (2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最 少应为多少 ? 解: 过球心的纵截面建立坐标系如图. 则半圆方程为 设经过 t 秒容器内水深为h , 则 h h(t ) .
y
R
h O
解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与 x , y 轴的交点分别为
B M
O
所指面积
A
得[ 0 , 1] 上的唯一驻点
B
M
O
A
故为最小值点, 因而所求切线为
例2. 设非负函数
曲线 面积为 2 , (1) 求函数 (2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 体积最小 ? 解: (1) 由方程得 与直线 及坐标轴所围图形
体积元素 所受重力
x
g π( R x )( R x) dx
2
2
上升高度
( x , y)
因此功元素为
dW dW1 dW2
球从水中提出所做的功为
2 2 g π [ ( ) H ( R x )] ( R x ) dx W 0 0 R R
“偶倍奇零”
即
故得
又
(2) 旋转体体积
y
O
又
为唯一极小值点, 因此 时 V 取最小值 .
1
x
例3. 过坐标原点作曲线
轴围成平面图形D. (1) 求 D 的面积;
的切线. 该切线与曲线
(2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.
(2003考研)
解: (1) 设切点的横坐标为
则所求切线方程为
y1 e x
x
(1) 求 由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为 a t , 而高为 h 的球缺的体积为
y
R
h x O x 2 2R y y 2
V (h) 0 π (2 Ry y ) d y
2
h
故有 两边对 t 求导, 得
π (2 Rh h 2 )
a
a
半球可看作半圆 绕 y 轴旋转而成 体积元素: π x 2 d y
R
x
2 π x dy 体积元素: 2 元素的重力 : g π x d y
作业
P295 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9
由切线过原点知
因此 故切线方程为
1
y ln x
D 的面积为
(2) 切线、x 轴及直线
旋转所得圆锥的体积为 曲线、x 轴及直线 得旋转体体积为
所围三角形绕直线
所围图形绕直线
旋转所
y1 e x
1
y ln x
因此所求旋转体体积为 (2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.
例4. 证明曲边扇形
解: 建立坐标系如图 . 则对应 [ x , x dx] 上球的薄片提到水面上的功元素为
d W1 ( 0 ) g π y 2 dx ( H R x)
H
( 0 ) g π( R x )( H R x) dx
提出水面后的功元素为
2
2
O
x
y
d W2 g π y 2 dx ( R x)
旋转所得旋转体体积. 解: 曲线与直线的交点坐标为 A (2 , 4), 曲线上任一点
P ( x , 4 x x 2 ) 到直线 y 2 x 的距离为
u
y
A y 2x P
y 4x x2
以 y 2 x 为数轴 u (如图), 则 2 d V π d u (d u 5 d x)