逆向选择与伯川德竞争下两期保险完全分离均衡

逆向选择与伯川德竞争下两期保险完全分离均衡
刘喜华;乔晗;王双成
【摘要】Multi-period insurance as a supplement of self-selection mechanism of single-period insurance is an important dynamic risk classification methods, which is helpful to control the risk of adverse selection. Under the hypotheses of Bertrand competition, the necessary and sufficient conditions for the fully separating equilibrium of two-stage insurance are studied. Firstly, the two-stage insurance dynamic game model is established. And then, by analyzing the policyholders' incentive compatibility constraint and individual rationality constraint, the necessary and sufficient conditions for fully separating equilibrium are deduced, and the only optimal fully separating equilibrium which conforms to the intuitive criterion is inferred. Furthermore, it is proved that the optimal fully separating equilibrium minimizes the signaling cost.%多期保险作为单期保险自选机制的一种补充,是一种重要的动态风险分类方法,有利于控制逆向选择风险.在伯川德竞争假设下,研究两期保险完全分离均衡存在的充要条件.首先,建立了两期保险问题的动态博弈模型,然后,通过分析投保人的激励相容约束与个人合理性约束推导出完全分离均衡存在的充要条件,并在直观标准下对均衡结果进行精炼,论证结果表明,这一最优均衡使得信号传递成本达到最小.
【期刊名称】《运筹与管理》
【年(卷),期】2011(020)004
【总页数】5页(P155-159)
【关键词】金融学;完全分离均衡;机制设计;逆向选择;两期保险;伯川德竞争
【作者】刘喜华;乔晗;王双成
【作者单位】青岛大学经济学院,山东青岛 266071;青岛大学经济学院,山东青岛266071;中国科学院数学与系统科学研究院,北京 100190;上海立信会计学院信息
科学系,上海 201620
【正文语种】中文
【中图分类】O225;F840
迄今为止，逆向选择仍然是保险市场上普遍存在的而又没有找到较好解决办法的信息不对称问题之一。

逆向选择的存在不仅会抑制保险需求，导致保险市场的低效率和保险质量的低下，而且还会影响保险公司预期利润的实现，使保险资源得不到有效配置。

理论分析表明，逆向选择需要通过信号传递和信息甄别加以解决，因此，在保险实务中也就演变出了各种控制逆向选择的措施和手段，例如，在某些险种中，可以通过与投保人签订多期保险合同的方式来防范逆向选择风险。

多期保险是一种重要的信息甄别机制［1］，其核心是将保险条款同过去的经验联系起来，能够有效的防范逆向选择，提高保险市场的运行效率。

目前，多期保险的理念早已应用于保险实务之中。

但令人遗憾的是，由于实证结果的缺失以及理论分析的不够深入，时至今日，人们对保险机制的动态(多期)行为还没有做出令人满意的解释。

Radner、Rogerson和Rubinstein-Yaari等最早提出多期间保险合同在保险协议的范围内有助于克服道德风险;Dionne、Dionne-Lassere、Malueg和Townsend研究了信息不对称情况下多期间保险协议的作用，研究结论的核心思
想是保险人可以利用过去的经验信息制定保险条款;其中，在多期保险均衡研究领
域做出突出贡献的是Cooper＆Hayes，他们在完全垄断保险市场的假设条件下，
将R-S(Rothschild＆Stigitz)模型扩展到两期以上的多期保单问题，即根据投保人前期的保险记录(如索赔次数和索赔金额等)作为风险分类的依据，据此修订后期的保险合同，这实际上是一种动态风险分类方法;Nilssen建立了一个两期的竞争市场动态模型，并提出了“信息锁住”的概念;Janssen＆Karamychev将R-S动态化，研究在有限期内动态均衡的存在性及其特殊性质。

但上述关于保险市场多期均衡问题的研究，其假设条件与真实的保险市场尚有很大距离。

目前，多期保险均衡的存在性及其均衡形式已经成为保险经济学的一个前沿研究领域，因此，在这种情况下，研究建立多期保险的动态博弈模型结构，推导出各类均衡存在的充要条件，分析均衡的性质以及逆向选择对保险市场均衡等的影响，从而为我国保险市场的发展提供参考，应当是非常有意义的。

鉴于以往的研究文献以完全垄断市场或完全竞争市场假设居多，竞争手段是保单数量而非保险费率。

本文拟在伯川德竞争(通常称价格竞争为伯川德竞争)假设下分析两期保险完全分离均衡存在的充要条件，即设:1)各寡头企业通过选择保险费率进行竞争;2)各寡头企业出售
的同一险种的保单是同质的;3)保险企业之间没有正式或非正式的串谋行为。

在此
假设下，拟首先建立两期保险问题的动态博弈模型，然后通过分析两类投保人的激励相容约束与个人合理性约束导出完全分离均衡存在的充要条件，并在直观标准下对均衡结果进行精炼。

考虑一个可能遭受某种风险损失的投保人群体，设其中共有两种类型的投保人，类型i的投保人(i=l，h)遭受损失的概率记为pi，且有ph＞pi。

为论述方便，设损失额为1个单位。

另设低风险类型投保人的比例为r，除损失概率不同外，两类投保人的初始财富皆为w0，且都有一个递增的凹的效用函数u，其目标是使自己的期
望效用达到最大化。

不妨考虑两期保险的情形(j=1，2)，设保险人在每一期都有关于投保人风险类型的私人信号，在第一期(j=1)观测到类型信号t1，在第二期(j=2)观测到类型信号t2。

在投保人的风险类型给定的条件下，t1和t2是相互独立的。

特别的，记
p(tj=h|i)=pij。

为简单起见，假定pij=0，j=1，2，即对于实际上的低风险类型投保人，保险人观测的类型信号也是低风险类型。

另设pj≡phj≤1，即对真实的高风险类型投保人，保险人观测所得的类型信号既有可能是高风险类型又有可能是低风险类型，就此，便会产生逆向选择。

在上述假设之下，pj反映了保险人所观测到
的类型信号质量。

当pj=1时，信息是完美的，反之，信息是不完美的。

在保险市场具有完美信息的情况下，问题非常简单。

因此，不妨假定p1和p2都小于1。

假设保险人在两期保险中的承保与理赔成本是有差异的，且保险人的成本与保单的精算值成比例。

那么，一份具有精算值为a的保单的总成本为μa，且有μ＞1。

假设保险人之间进行的是伯川德竞争，在市场均衡状态，所有保险人的期望利润为零。

为便于分析，在此忽略货币的时间价值。

在此假设下，Rothschild＆Stiglitz认为，就单期保险而言，市场均衡保单将会是两种不同形式［2］，第一种是以保险费ph出售的足额保单，高风险类型投保人
会购买这种保单;第二种保单为部分保险形式，所缴纳的保费为αpl，其中，α＜1
为风险损失发生时的赔付率(由于损失额度为1，也可以将α看作为赔偿金)。

在此，分别用β1和β2表示这两种类型的保单。

初始财富在无风险损失时为w0，在风
险损失发生时为w0－1，因此，可以用w=(w0，w0－1)表示投保人的初始财富;
在保单β1之下，最终财富为w0－ph(简记为β1=w0－ph)，这与投保人所面临
的风险状态无关。

在保单β2之下，假如未发生意外事故，则投保人的最终财富为
w0－αpl，如果意外事故发生了，则投保人的最终财富为w0－1+α－αpl。

为使
保险的存在有意义，设
两期保险问题的博弈顺序如下:
(1)自然选择投保人的风险类型。

(2)在保险的第一期，保险人观察到私人信号t1'，然后针对这一类型信号的投保人
提供保险合同。

(3)投保人对此保险合同做出反应。

(4)在保险的第二期，保险人观察到私人信号t2'，然后根据第一期保险合同的特征和投保人对此做出的反应后，提供第二期的保险合同。

(5)对于保险人提供的第二期保险合同，投保人做出反应。

(6)对于所发生的风险损失，按投保人购买的保险合同做出赔付。

在此，可以用精炼贝叶斯纳什均衡的概念来描述两期保险均衡。

精炼贝叶斯纳什均衡由满足下述条件的每一类型投保人和保险人的策略来表述。

首先，在博弈的每一步，给定其当前的信息结构和对下一阶段博弈参与人的策略预期的前提下，局中人选择策略使自己的期望效用达到最大化。

其次，由于伯川德竞争，在均衡状态，所有保险人的期望利润为零。

最后，参与人的预期应当与贝叶斯法则和局中人的实际策略选择相一致。

在这一博弈框架下，可以考虑多种形式的精炼贝叶斯纳什均衡。

例如在一个完全分离均衡中，投保人在博弈的第三阶段就显示出自己的类型;在一个准分离均衡中，投保人在第三阶段采取相同行动，在第五阶段才完全显示出自己的风险类型。

因篇幅所限，在此仅讨论两期保险完全分离均衡。

在完全分离均衡中，投保人对保险人所提供的第一期保单的反应是不同的，从而也就显示出真实的风险类型，这样，第四阶段到第六阶段的博弈是在完全信息环境下进行的。

以下考虑保险人在第一期针对低风险类型投保人提供部分保险形式的完全分离均衡。

因此，在完全分离均衡中:1)保险人在第一期为被观测到具有类型信号t1=l的那些投保人提供不足额保单;2)低风险类型投保人购买这类保单。

在这一阶段投保人显示出自己真实的风险类型，因此，在第二期，保险人将为每一种类型的投保人提供以精算公平价格出售的保险。

令α表示第一期保单的赔付率，因为只有低风险类型投保人购买此类保单，所以
均衡保费等于μplα。

在t2=l以及投保人购买了第一期保险的条件下，在第二期，保险人向其出售保费价格为pl(1－α)，赔付率为1－α的保单。

同时，保险人还以保费ph向其它投保人出售足额保单。

显然，我们可以用α来描述这样一种潜在的完全分离均衡。

不妨用¯w表示第一期保单，未出险时，记¯w=w0－μplα;出险时，记¯w=w0－
μplα+α－1。

在保险的第二期，低风险类型投保人还可能会购买补充保险以对其
剩余风险进行保险。

在此，用符号g表示均衡状态低风险类型投保人的最终财富，则有
最后，用符号c表示购买保单¯w(实际上未必购买)且保险人在第二期观察到信号
t2=h的高风险类型投保人的最终财富，则有
完全分离均衡的一个重要特点是:在第一期，保险人误观测到信号t1=l的高风险类型投保人不愿意冒充低风险类型投保人，假如冒充的话，在第三阶段，他们会购买不足额保险α，进而在第二期也就有了以低费率pl购买保险的机会。

然而，同低
风险类型投保人的情形不同，对于高风险类型投保人而言，这种机会并非总是能够变为现实的。

事实上，在第二期，保险人将会以p2的概率获得其真实的风险类型信息，进而，保险人会对这类投保人制订费率ph而不是pl，而他们的最终财富将会是c而非g。

因此，冒充低风险类型投保人的得益不会与低风险类型投保人的得益一样多，这样，分离保单的存在便成为可能。

总之，高风险类型投保人在第三阶段有两种可能的策略选择:
策略1 拒绝保险人在第一期提供的保单，在第二期以保费ph购买足额保单，即以概率1得到在保单β1之下的最终财富w0－ph;
策略2 购买第一期的部分保险，以概率p2得到财富c，以概率1－p2得到财富g。

因此，在博弈的第三阶段，高风险类型投保人宁愿暴露自己的风险类型也不愿意冒充低风险类型投保人。

这样，高风险类型投保人的激励相容约束为
在此，不考虑超额保险的情形，即有0≤α≤1。

不难发现，如果μpl＜ph，则有β1＜c＜g，这与(2)式相矛盾。

另一方面，假如第一期的保险费率小于第二期保险中高风险类型投保人的保险费率，则冒充低风险类型投保人的策略一阶随机占优于均衡策略。

综上可知，完全分离均衡存在的一个必要条件是
给定条件(3)，γ的值小于1。

高风险类型投保人的个人合理性约束为
这里，Ei x=pi x1+(1－pi)x2，i=l，h其中，x1，x2分别表示意外事故发生和不发生时对某种事物的量度(可以是风险损失或相应财富的效用)。

因为高风险类型投保人以公平价格β1=Ehw获得足额保险，由效用函数的凹性可知
所以，这一约束条件自然成立。

个人合理性约束意味着低风险类型投保人偏好属于自身类型的保单g，而不是不购买保险，可以表示为
根据假设(1)以及条件(5)即得该约束，因此，这一约束无约束力。

另外，注意到低风险类型投保人一旦购买部分保险¯w，那么，在第五阶段使得他们偏好g而不是¯w的个人合理性约束总是满足的，这和(6)式为何无约束力的原因有相似之处。

假如条件(2)和(5)满足的话，第一期保险的赔付率α会导致一个完全分离均衡。

正如前面所指出的，条件(2)与α≥δ等价;反之，条件(5)与α≤γ等价。

因此，只有当δ≤γ成立的时候，一个完全分离均衡才会存在。

为了证明这一结论，我们只要证明在α=γ时，条件(2)成立即可。

由(5)式知
所以，当赔付率为α=γ时，可得
给定上述必要条件，条件(2)的右端随着α的增大而减小，因此，激励相容约束(2)给出了α的一个下界δ。

下界δ满足等式约束，即有
或者
这里，c1和g1分别是α=δ时相应c和g的值，很容易证明，0≤δ≤1。

同理，低风险类型投保人偏好属于自身类型的保单而不是偏好为高风险类型投保人设计的保单。

因此，低风险类型投保人的激励相容约束为
或者等价的表示为
显然，只有当μpl＞ph时，上式才会小于u(w0－ph)，即(2)才会成立，于是有下述命题:
命题1 当且仅当μpl＞ph时，两期保险市场才会存在完全分离均衡。

在此假设下，δ＜γ，这时，保险市场存在一个可由α∈［δ，γ］来表征的连续完全分离均衡，
而且在第四阶段有非均衡概率(信念)P{i=l|q≠α}=0(q表示第一期保险赔付率)成立。

值得注意的是，保险人在第一期的私人信息质量p1与完全分离均衡的存在性以及特征无关。

而且，被观测具有t1=l的高风险类型投保人在购买保险时也没有利用
自己较之被观测具有的t1=h高风险类型投保人所具备的这种所谓的类型优势。

换言之，这两类投保人都没有从观测信号t1的保险人那里购买保险。

保险人在第二
期的信息质量p2同样与完全分离均衡是否存在无关，但这一信息质量的改变却会影响均衡的特征，原因在于，信息质量的改变会影响δ的值。

由于精炼贝叶斯均衡的判定条件无法约束非均衡路径上的后验概率，导致模型中存在多重分离均衡或混同均衡。

1987年，Inkoo Cho与David M.Kreps提出用“直观标准”(intuitive criterion)来限制非均衡路径上的后验概率［3］，剔除不
可置信的信念，从而改进了精炼贝叶斯均衡。

在本文中，假定δ＜γ，正如命题1
所述，具有赔付率α∈［δ，γ］的连续完全分离均衡是由非均衡概率所保证，这
一非均衡概率与直观标准相矛盾。

考虑一个无效率均衡α＞δ和投保人偏离均衡δ的可能性。

(1)无论保险人在第二期的主观概率是什么，高风险类型投保人不会偏离均衡策略δ。

事实上，甚至在保险人(第二期)的最佳反应之下(P{i=l|α=δ}=1，α为第一期保险的赔付率)，高风险类型投保人也不会偏离δ，这是由激励相容约束所决定的。

(2)考虑非均衡概率P{i=l|α=δ}=1，在这一信念之下，低风险类型投保人通过偏离均衡战略而增加自己的最终财富。

因此，所有均衡α＞δ都不满足直观标准。

于是得出以下命题:
命题2 α=δ是满足直观标准的惟一的完全分离均衡。

由于α=δ使得信号传递成本最小，因而它是最有效率的完全分离均衡。

在伯川德竞争假设下对两期保险完全分离均衡进行了理论解释。

由于信息不对称，保险条款必须对投保人提供激励，以诱使投保人披露其真实的风险类型。

在竞争性环境下，多期间保险能够部分的达到这一目的。

本文将研究重点限制在伯川德竞争假设下的完全分离均衡解，而且仅以两期保险市场为例，后续研究还需要进一步拓展到多期保险和其它的均衡形式上，这是本文后续研究的重点。

【相关文献】
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