2019-2020学年上海市青浦区高二上学期期中数学试题
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（1）求 的表达式；
（2）利用数学归纳法证明 ，并求出 的表达式
（3）求 的值，并说明 的几何意义.
答案：（1） ；（2）证明见解析， ；（3） ． 的几何意义表示函数 的图象与 轴，及直线 和 所围曲线梯形的面积．
（1）第 个矩形的高为 ，面积易得；
（2）用数学归纳法证明；由此等式可求得 ．
（3）根据极限的性质求极限．
答案：
由方程写出斜率，根据斜率得倾斜角．
解：
直线 的斜率为 ，
∴它的倾斜角为 ．
故答案为： ．
点评：
本题考查直线的倾斜角，根据斜率与倾斜角的关系求倾斜角是常用方法．只是要注意反正切函数的值域与倾斜角的范围不相同，注意转换．
10．关于 、 的二元线性方程组 的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为 ，则 ________
点评：
本题考查向量模的运算，考查等比数列的证明，等差数列的前 项和，及数列的单调性，难度较大．本题考查了学生对基础知识的灵活应用．
21．在平面直角坐标系中，函数 在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作：把x轴上的区间 等分成n个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数 的图像上.若用 表示第k个矩形的面积， 表示这n个叫矩形的面积总和.
2019-2020学年上海市青浦区高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知 ，则 是 三点构成三角形的（ ）
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件
答案：C
根据充分必要条件的定义判断两个命题的真假可得．
解：
若 三点是三角形的三个顶点一定有 ，故是必要的，但当 三点共线也有 ，故不充分．因此应该是必要不充分条件．
4．已知 的内角 的对边分别为 ，且 .M为 内部的一点，且 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
把已知等式中 向量用 表示后可求得 ，由余弦定理得 的关系，求出 的最值，再由不等式性质得结论．
解：
∵ ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ， ，
由余弦定理得 ，
由 （当且仅当 时取等号），得 ，
答案：3
由题意得 ，进而得 的坐标，求出 ，代入 解出 所满足的条件，判断出符合条件的最大整数 的值.
解：
由题意得 ， ，
又向量 与向量 的夹角为 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
令 ，2，3，4，分别代入验证知， 可取的最大值为3，
故答案为：3.
点评：
本题考查了由向量求夹角，数列的求和，不等式，解题的关键是认真审题得出 的表达式，熟练掌握数列求和的技巧也是解题的关键，属于中档题.
答案：22
模拟程序运行，观察变量值的变化可得结果．
解：
程序运行中，变量值依次为： ， ，不满足条件； ， ，不满足条件； ， ，满足条件， ，输出 ．
故答案为：22.
点评：
本题考查程序框图，考查循环结构，模拟程序运算可得结论．
13．已知两条直线 ，若 的一个法向量恰为 的一个方向向量，则 ___________
答案：
先由题意，得到 即是原方程组的解，代入原方程组，求出 ，即可得出结果.
解：
因为关于 、 的二元线性方程组 的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为 ，
所以 即是原方程组的解，代入原方程组，可得： ，
解得： ，因此 .
故答案为：
点评：
本题主要考查由二元一次方程组的增广矩阵求参数的问题，熟记二元一次方程组的矩阵表示即可，属于常考题型.
故选：C.
点评：
本题考查充分必要条件的判断，解题根据充分必要条件判断相应命题的真假即可．
2．数列 中， 则数列 的极限值（ ）
A．等于 B．等于 C．等于 或 D．不存在
答案：B
解：
解：因为数列 中， ，
，选B.
3．已知无穷等比数列 的公比为q，前n项和为 ，且 ，下列条件中，使得 恒成立的是（ ）
解：
（1）由题意第 个矩形的高是 ，∴ ；
（2）(i) 时， ，命题成立，
(ii)设 时命题成立，即 ，
则 时，
，
∴ 时命题成立，
综上， 时，命题为真，即 ，
；
（3） ．
的几何意义表示函数 的图象与 轴，及直线 和 所围曲线梯形的面积．
点评：
本题考查数学归纳法，考查数列的极限，考查有限与无限的思想．本题解题关键是求出 ．然后按照各知识点计算即可．
∴ ，∴ ，即 的最大值是 ．
故选：A.
点评：
本题考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值．解题关键是由平面向量基本定理把 用 表示出来．
二、填空题
5． ___________.
答案： .
借助指数函数的运算法则，先把原式等价转化为 ，由此能够得到它的极限值.
解：
.
故答案为： .
点评：
本题考查极限的性质和运算，解题时要注意指数运算法则的合理运用.
解：
由题意可知, 与 不平行
则从 、 、 、 中任意选取两个点作为向量,共有 个向量
在这些向量中,与 共线的向量有 , , ,
所以 的个数为 个
点评：
本题考查了平面向量共线的简单应用,注意向量的方向性,属于基础题.
15．设函数 ， 为坐标原点， 为函数 图像上横坐标为 的点，向量 与向量 的夹角为 ，则满足： 的最大整数 的值为______．
14．已知梯形 ， ，设 ，向量 的起点和终点分别是 、 、 、 中的两个点，若对平面中任意的非零向量 ，都可以唯一表示为 、 的线性组合，那么 的个数为______.
答案：8
根据平面向量基本定理可知, 与 不平行.从 、 、 、 中任意选取两个点作为向量,可得总向量个数,排除共线向量的个数后即可得 的个数.
20．已知一非零向量列 满足： ， .
（1）证明： 是等比数列；
（2）设 是 ， 的夹角 ，设 ， ， ，求 ；
（3）设 ，问数列 中是否存在最小项？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
答案：（1）见解析；（2） ；（3）存在，且最小值是 ．
（1）求出 与 比较可证；
（2）由数量积计算两向量夹角 ，然后求得 ，由等差数列前 项和求和 ；
先讨论 =0的情况，在 再用公式求解．
解：
，若 ，则 ，
时，方程组为 ，方程组有无数解，
时，方程组为 ，方程组无解，
当 时， ，
，
即 ．
点评：
本题考查用行列式解方程组，根据公式解方程组是基本方法．
18．已知向量 的夹角为 ，且 ， ，设 ， .
（1）试用t来表示 的值；
（2）若 与 的夹角为钝角，试求实数t的取值范围.
6．在三阶行列式 中，元素 的代数余子式为______________.
答案：4
根据代数余子式的定义求解．
解：
由题意 的代数余子式为 ．
故答案为：4．
点评：
本题考查代数余子式的定义，掌握代数余子式定义是解题基础．
7．已知 ， ，则 的同向单位向量为____________________.
答案：
先求出向量 的坐标，再计算出模，用 除以它的模可得与它同向的单位向量．
解：
由题意 ， ，∴ ．
故答案为： ．
点评：
本题考查单位向量的概念，考查向量共线．与向量 共线的单位向量有两个，一个是同向的 ，另一个是它的相反向量 ．
8．已知 的三个顶点的坐标分别为 、 、 ， 的重心坐标是.
答案：
试题分析：由题意，其重心坐标为 ，即 ．
【考点】三角形的重心坐标公式．
9．直线 的倾斜角是______________（用反三角函数表示）.
16．已知正方形 的边长为 ，当每个 取遍 时， 的最大值是____________.
答案：
可采用建系法，以 为 轴， 为 轴，建立平面直角坐标系，表示出对应向量的坐标公式，再结合 的取值特点和表达式综合分析求解最值即可
解：
如图：
则 ， ， ， ， ， ，
令
又因为 取遍 ，
所以当 ， 时，有最小值 ；
19．已知直线 .
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设 的面积为S，求S的最小值及此时l的方程.
答案：（1） ；（2） 最小值是4， 方程为 ．
（1）由直线过定点 可得斜率 的范围；
（2）求出 两点坐标，求出 面积，由基本不等式求得最值．
答案：（1） ；（2） 且 ．
（1）由数量积的运算律计算．
（2）由 解得 的范围，排除 反向的 值．
解：
（1）由已知 ，
．
（2） 与 的夹角为钝角，则 ， ，
设 ，即 ，则 ，解得 ，此时 与 方向相反．
所以 的取值范围是 且 ．
点评：
本题考查向量的数量积运算，掌握平面向量数量积运算律是解题关键． 时， 与 的夹角为钝角或平角，即向量方向相反时，数量积也小于0.注意检验排除．
（3）由（1）可得 ，从而得 ，确定 的正负后由作商法可比较前后大小，得数列的单调性．
解：
（1）∵ ，∴ ，
∴ ，
又 ，∴ ， 是等比数列；
（2）
，
∴ （ ）．又 ，∴ ， ．
，∴ ；
（3）由（1）得 ，
∴ ，
， ，当 时， ，
时， ，
， ，
∴ 时， ， ，从而 时， ，
所以 中存在最小值，最小值为 ．
11．已知 ， ， 与 的夹角为 ，则 在 上的投影为____________.
答案：1
根据投影的定义直接计算．
解：
在 上的投影为 ．
故答案为：1.
点评：
本题考查向量投影的定义，掌握投影概念是解题关键．根据数量积定义 在 上的投影还可为 ．
12．某程序框图，该程序执行后输出的W=_______________.
A． ， B． ，
C． ， D． ，
答案：D
由无穷递缩等比数列的和得 ，然后化简不等式 ，分析不等式恒成立的条件．
解：
易知 且 ， ， ，
不等式 为 ，即 ，
，
若 ，则 对 恒成立，这是不可能的．
若 ，则 对 恒成立，∴ 且 ，只有D符合．
故选：D.
点评：
本题考查无穷递缩等比数列的和，考查等比数列前 项和公式，及不等式恒成立问题．本题难点在于对不等式恒成立要分类讨论．
因为 和 的取值无关联， 或 ，
所以当 和 分别取得最大值时， 有最大值，
所以当 ， 时，有最大值
故答案为：
点评：
本题考查建系法求解向量，向量的模长公式，分类讨论求最值，综合性强，着重考查分类能力，归纳整理能力，属于中档题
三、解答题
17．用行列式解关于x、y的方程组： .
答案： 方程有无数解， 时方程组无解， 时，解为 ．
解：
（1）直线 方程为： ，它过定点 ，在第二象限，因此直线 不过第四象限，则
∴ 的取值范围是 ；
（2）易知 ，令 得 ，令 ，得 ，即 ，
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号，
∴ 最小值是4，此时 方程为 ，即 ．
点评：
本题考查直线方程的一般式，第（1）小题由直线方程确定直线过定点是解题关键；第（2）小题，用基本不等式求最值是关键．
答案：3
由两条直线的 的一个法向量恰为 的一个方向向量，得出两直线垂直，然后再根据两条直线垂直，斜率乘积为 ，求出 值．
解：
解： 的一个法向量恰为 的一个方向向量，
．
直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
由 ，得
．
故答案为：3．
点评：
本题考查斜率都存在的两条直线垂直的性质，以及直线的一般式方程与直线的垂直关系．
（2）利用数学归纳法证明 ，并求出 的表达式
（3）求 的值，并说明 的几何意义.
答案：（1） ；（2）证明见解析， ；（3） ． 的几何意义表示函数 的图象与 轴，及直线 和 所围曲线梯形的面积．
（1）第 个矩形的高为 ，面积易得；
（2）用数学归纳法证明；由此等式可求得 ．
（3）根据极限的性质求极限．
答案：
由方程写出斜率，根据斜率得倾斜角．
解：
直线 的斜率为 ，
∴它的倾斜角为 ．
故答案为： ．
点评：
本题考查直线的倾斜角，根据斜率与倾斜角的关系求倾斜角是常用方法．只是要注意反正切函数的值域与倾斜角的范围不相同，注意转换．
10．关于 、 的二元线性方程组 的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为 ，则 ________
点评：
本题考查向量模的运算，考查等比数列的证明，等差数列的前 项和，及数列的单调性，难度较大．本题考查了学生对基础知识的灵活应用．
21．在平面直角坐标系中，函数 在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作：把x轴上的区间 等分成n个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数 的图像上.若用 表示第k个矩形的面积， 表示这n个叫矩形的面积总和.
2019-2020学年上海市青浦区高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知 ，则 是 三点构成三角形的（ ）
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件
答案：C
根据充分必要条件的定义判断两个命题的真假可得．
解：
若 三点是三角形的三个顶点一定有 ，故是必要的，但当 三点共线也有 ，故不充分．因此应该是必要不充分条件．
4．已知 的内角 的对边分别为 ，且 .M为 内部的一点，且 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
把已知等式中 向量用 表示后可求得 ，由余弦定理得 的关系，求出 的最值，再由不等式性质得结论．
解：
∵ ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ， ，
由余弦定理得 ，
由 （当且仅当 时取等号），得 ，
答案：3
由题意得 ，进而得 的坐标，求出 ，代入 解出 所满足的条件，判断出符合条件的最大整数 的值.
解：
由题意得 ， ，
又向量 与向量 的夹角为 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
令 ，2，3，4，分别代入验证知， 可取的最大值为3，
故答案为：3.
点评：
本题考查了由向量求夹角，数列的求和，不等式，解题的关键是认真审题得出 的表达式，熟练掌握数列求和的技巧也是解题的关键，属于中档题.
答案：22
模拟程序运行，观察变量值的变化可得结果．
解：
程序运行中，变量值依次为： ， ，不满足条件； ， ，不满足条件； ， ，满足条件， ，输出 ．
故答案为：22.
点评：
本题考查程序框图，考查循环结构，模拟程序运算可得结论．
13．已知两条直线 ，若 的一个法向量恰为 的一个方向向量，则 ___________
答案：
先由题意，得到 即是原方程组的解，代入原方程组，求出 ，即可得出结果.
解：
因为关于 、 的二元线性方程组 的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为 ，
所以 即是原方程组的解，代入原方程组，可得： ，
解得： ，因此 .
故答案为：
点评：
本题主要考查由二元一次方程组的增广矩阵求参数的问题，熟记二元一次方程组的矩阵表示即可，属于常考题型.
故选：C.
点评：
本题考查充分必要条件的判断，解题根据充分必要条件判断相应命题的真假即可．
2．数列 中， 则数列 的极限值（ ）
A．等于 B．等于 C．等于 或 D．不存在
答案：B
解：
解：因为数列 中， ，
，选B.
3．已知无穷等比数列 的公比为q，前n项和为 ，且 ，下列条件中，使得 恒成立的是（ ）
解：
（1）由题意第 个矩形的高是 ，∴ ；
（2）(i) 时， ，命题成立，
(ii)设 时命题成立，即 ，
则 时，
，
∴ 时命题成立，
综上， 时，命题为真，即 ，
；
（3） ．
的几何意义表示函数 的图象与 轴，及直线 和 所围曲线梯形的面积．
点评：
本题考查数学归纳法，考查数列的极限，考查有限与无限的思想．本题解题关键是求出 ．然后按照各知识点计算即可．
∴ ，∴ ，即 的最大值是 ．
故选：A.
点评：
本题考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值．解题关键是由平面向量基本定理把 用 表示出来．
二、填空题
5． ___________.
答案： .
借助指数函数的运算法则，先把原式等价转化为 ，由此能够得到它的极限值.
解：
.
故答案为： .
点评：
本题考查极限的性质和运算，解题时要注意指数运算法则的合理运用.
解：
由题意可知, 与 不平行
则从 、 、 、 中任意选取两个点作为向量,共有 个向量
在这些向量中,与 共线的向量有 , , ,
所以 的个数为 个
点评：
本题考查了平面向量共线的简单应用,注意向量的方向性,属于基础题.
15．设函数 ， 为坐标原点， 为函数 图像上横坐标为 的点，向量 与向量 的夹角为 ，则满足： 的最大整数 的值为______．
14．已知梯形 ， ，设 ，向量 的起点和终点分别是 、 、 、 中的两个点，若对平面中任意的非零向量 ，都可以唯一表示为 、 的线性组合，那么 的个数为______.
答案：8
根据平面向量基本定理可知, 与 不平行.从 、 、 、 中任意选取两个点作为向量,可得总向量个数,排除共线向量的个数后即可得 的个数.
20．已知一非零向量列 满足： ， .
（1）证明： 是等比数列；
（2）设 是 ， 的夹角 ，设 ， ， ，求 ；
（3）设 ，问数列 中是否存在最小项？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
答案：（1）见解析；（2） ；（3）存在，且最小值是 ．
（1）求出 与 比较可证；
（2）由数量积计算两向量夹角 ，然后求得 ，由等差数列前 项和求和 ；
先讨论 =0的情况，在 再用公式求解．
解：
，若 ，则 ，
时，方程组为 ，方程组有无数解，
时，方程组为 ，方程组无解，
当 时， ，
，
即 ．
点评：
本题考查用行列式解方程组，根据公式解方程组是基本方法．
18．已知向量 的夹角为 ，且 ， ，设 ， .
（1）试用t来表示 的值；
（2）若 与 的夹角为钝角，试求实数t的取值范围.
6．在三阶行列式 中，元素 的代数余子式为______________.
答案：4
根据代数余子式的定义求解．
解：
由题意 的代数余子式为 ．
故答案为：4．
点评：
本题考查代数余子式的定义，掌握代数余子式定义是解题基础．
7．已知 ， ，则 的同向单位向量为____________________.
答案：
先求出向量 的坐标，再计算出模，用 除以它的模可得与它同向的单位向量．
解：
由题意 ， ，∴ ．
故答案为： ．
点评：
本题考查单位向量的概念，考查向量共线．与向量 共线的单位向量有两个，一个是同向的 ，另一个是它的相反向量 ．
8．已知 的三个顶点的坐标分别为 、 、 ， 的重心坐标是.
答案：
试题分析：由题意，其重心坐标为 ，即 ．
【考点】三角形的重心坐标公式．
9．直线 的倾斜角是______________（用反三角函数表示）.
16．已知正方形 的边长为 ，当每个 取遍 时， 的最大值是____________.
答案：
可采用建系法，以 为 轴， 为 轴，建立平面直角坐标系，表示出对应向量的坐标公式，再结合 的取值特点和表达式综合分析求解最值即可
解：
如图：
则 ， ， ， ， ， ，
令
又因为 取遍 ，
所以当 ， 时，有最小值 ；
19．已知直线 .
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设 的面积为S，求S的最小值及此时l的方程.
答案：（1） ；（2） 最小值是4， 方程为 ．
（1）由直线过定点 可得斜率 的范围；
（2）求出 两点坐标，求出 面积，由基本不等式求得最值．
答案：（1） ；（2） 且 ．
（1）由数量积的运算律计算．
（2）由 解得 的范围，排除 反向的 值．
解：
（1）由已知 ，
．
（2） 与 的夹角为钝角，则 ， ，
设 ，即 ，则 ，解得 ，此时 与 方向相反．
所以 的取值范围是 且 ．
点评：
本题考查向量的数量积运算，掌握平面向量数量积运算律是解题关键． 时， 与 的夹角为钝角或平角，即向量方向相反时，数量积也小于0.注意检验排除．
（3）由（1）可得 ，从而得 ，确定 的正负后由作商法可比较前后大小，得数列的单调性．
解：
（1）∵ ，∴ ，
∴ ，
又 ，∴ ， 是等比数列；
（2）
，
∴ （ ）．又 ，∴ ， ．
，∴ ；
（3）由（1）得 ，
∴ ，
， ，当 时， ，
时， ，
， ，
∴ 时， ， ，从而 时， ，
所以 中存在最小值，最小值为 ．
11．已知 ， ， 与 的夹角为 ，则 在 上的投影为____________.
答案：1
根据投影的定义直接计算．
解：
在 上的投影为 ．
故答案为：1.
点评：
本题考查向量投影的定义，掌握投影概念是解题关键．根据数量积定义 在 上的投影还可为 ．
12．某程序框图，该程序执行后输出的W=_______________.
A． ， B． ，
C． ， D． ，
答案：D
由无穷递缩等比数列的和得 ，然后化简不等式 ，分析不等式恒成立的条件．
解：
易知 且 ， ， ，
不等式 为 ，即 ，
，
若 ，则 对 恒成立，这是不可能的．
若 ，则 对 恒成立，∴ 且 ，只有D符合．
故选：D.
点评：
本题考查无穷递缩等比数列的和，考查等比数列前 项和公式，及不等式恒成立问题．本题难点在于对不等式恒成立要分类讨论．
因为 和 的取值无关联， 或 ，
所以当 和 分别取得最大值时， 有最大值，
所以当 ， 时，有最大值
故答案为：
点评：
本题考查建系法求解向量，向量的模长公式，分类讨论求最值，综合性强，着重考查分类能力，归纳整理能力，属于中档题
三、解答题
17．用行列式解关于x、y的方程组： .
答案： 方程有无数解， 时方程组无解， 时，解为 ．
解：
（1）直线 方程为： ，它过定点 ，在第二象限，因此直线 不过第四象限，则
∴ 的取值范围是 ；
（2）易知 ，令 得 ，令 ，得 ，即 ，
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号，
∴ 最小值是4，此时 方程为 ，即 ．
点评：
本题考查直线方程的一般式，第（1）小题由直线方程确定直线过定点是解题关键；第（2）小题，用基本不等式求最值是关键．
答案：3
由两条直线的 的一个法向量恰为 的一个方向向量，得出两直线垂直，然后再根据两条直线垂直，斜率乘积为 ，求出 值．
解：
解： 的一个法向量恰为 的一个方向向量，
．
直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
由 ，得
．
故答案为：3．
点评：
本题考查斜率都存在的两条直线垂直的性质，以及直线的一般式方程与直线的垂直关系．