陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第四章 数系的扩充 复

复数的概念范例讲解
例1 在复平面内，若i i m i m z 6)4()1(2
-+-+=所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．)(3,0
B ．)(2,-∞-
C ．)(0,2-
D ．)(4,3
解：可用直推法，∵i m m m m z )6()4(22--+-=
z 所对应的点在第二象限
∴042<-m m 且062>--m m ∴40<<m 且23-<>m m 或
∴m∈(3,4) 故选D
例2 设复数z =lg （m 2－2m －2）＋（m 2
＋3m ＋2）i ，试求实数m 取何值时，(1)z 是纯虚数；(2)z 是实数；(3)z 对应的点位于复平面的第二象限
剖析：利用复数的有关概念易求得
解：(1)由lg （m 2－2m －2）=0，m 2＋3m ＋2≠0，得m =3
(2)由m 2＋3m ＋2=0，得m =－1或m =－2
(3)由 lg （m 2－2m －2）＜0，m 2＋3m ＋2＞0，
得－1＜m ＜1－3或1＋3＜m ＜3
点评：对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样
例3． 实数m 分别取什么数时，复数z =(1+i)m 2+(5－2i)m +6－15i 是①实数；②虚数；③纯虚数；④对应的点在第三象限；⑤对应的点在直线x +y +4=0上；⑥共轭复数的虚部为12.
分析:本题是一道考查复数概念的题目.解题的关键是把复数化成z =a +b i(a 、b ∈R )的形式，然后根据复数的分类标准对其实部与虚部进行讨论，由其满足的条件进行解题. 解:z =(1+i)m 2+(5－2i)m +6－15i
=(m 2+5m +6)+(m 2－2m －15)i.
∵m ∈R ,∴z 的实部为m 2+5m +6,虚部为m 2－2m －15.
①要使z 为实数，必有⎩⎨⎧∈=--R,
m m m ,01522∴m =5或m =－3.
②要使z 为虚数，必有m 2
－2m －15≠0,∴m ≠5且m ≠－3.
③要使z 为纯虚数，必有⎪⎩⎪⎨⎧≠--=++,0152,06522m m m m 即⎩
⎨⎧≠-≠-=-=,53,23m m m m 且或 ∴m =－2.
④要使z 对应的点在第三象限，
必有⎪⎩⎪⎨⎧<--<++0
15206522m m m m ⇒⎩⎨⎧<<--<<-,53,23m m ∴－3<m <－2.
⑤要使z 对应的点在直线x +y +4=0上，必有点(m 2+5m +6,m 2－2m －15)满足方程x +y +4=0， ∴(m 2+5m +6)+(m 2－2m －15)+4=0.
解得m =－2
5或m =1. ⑥要使z 的共轭复数的虚部为12，则－(m 2－2m －15)=12,
∴m =－1或m =3.
评注: 复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.方法是按照题设条件把复数整理成z =a +b i(a 、b ∈R )的形式，明确复数的实部与虚部，由复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，列出方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题之目的.。