飞机起降过程中机场道面的动力响应

4 mn
(m=2)
PYn ( y0 ) {i 2 exp[−0.5( z1 + z4 + i2ωmnt )][exp( z1 )[erfi ( r1 + r5t ) − erfi ( r1 )] 8ωmn M m DA1n r6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
+ exp( z2 )[erf (r2 + r5t ) − erf ( r2 )] − exp( z3 + i2ωmnt )[erfi (r2 + r5t ) − erfi (r2 )] − exp( z4 + i2ωmn t )[erf (r1 + r5t ) − erf ( r1 )]] + 4[cos(ωmn t − r7 )[ S (r4 + r6t ) − S (r4 )] − cos(ωmnt + r8 )[ S (r3 + r6t ) − S (r3 )] + sin(ωmnt − r7 )[C (r4 + r6t ) − C (r4 )] + sin(ωmn t + r8 )[C (r3 + r6t ) − C (r3 )]] − i 2Cm exp[ −0.5( z1 + z4 + i2ωij t )] [exp( z1 )[erfi (r1 + r5t ) − erfi (r1 )] − exp( z2 )[erf (r2 + r5t ) − erf (r2 )] − exp( z3 + i2ωmn t )[erfi (r2 + r5t ) − erfi (r2 )] + exp( z4 + i2ωmnt )[erf ( r1 + r5t ) − erf (r1 )]] −4Cm [sin(ωmn t − r7 )[ S (r4 + r6t ) − S (r4 )] + sin(ωmnt + r8 )[ S (r3 + r6t ) − S (r3 )] − cos(ωmnt − r7 )[C (r4 + r6t ) − C (r4 )] + cos(ωmn t + r8 )[C (r3 + r6t ) − C (r3 )]]}
所以
(11-a)
( n > 2)
(11-b) (11-c) (12)
Cn = (chanb − cos anb) /( shanb − sin anb) ， anb = (2n − 3)π / 2 .
δ wn ( x, y, t ) = Yn ( y )δ u ( x, t )
+ u ′′′′ − 2 Bnu′′ + Cnu = PYn ( y0 ) /( DA1n )δ [ x − (vt + 1/ 2at 2 )] ( ρ h / D)u
m =1
∞
(14) (15-a)
其中 X 1 ( x) = 1 , X 2 ( x) =
3(1 − 2 x / l ) ,
( m > 2)
X m ( x) = (cham x + cos am x) − Cm ( sham x + sin am x) ,
(15-b) (15-c)
Cm = (chaml − cos aml ) /( shaml − sin aml ) ， aml = (2m − 3)π / 2 。
1 T = 2
⎛ ∂w ⎞ ρh⎜ ⎟ d xd y ∫ ∫ ∂ t ⎝ ⎠ 0 0 l b 1 W = ∫ ∫ Pδ [ x − (vt + at 2 )]δ ( y − y0 ) wdxdy 0 0 2
l b
2
(2) (3)
其中：D=Eh3/12(1-m2)为板的抗弯刚度；E, m, h 分别为板的弹性模量、泊松比和厚度；K 为
∞ ∞
∫ sin[ω
0
t
mn
(21)
把式（11）、（15）代入式（21）进行积分，所得结果与式（14）一起代入式（10）可得
w( x, y, t ) = ∑∑ X m ( x)Yn ( y )ψ mn (t )
m =1 n =1
(0<t<a/c)
(22)
其中
ψ 1n (t ) =
ψ 2 n (t ) =
Vy = ∂ 3 w / ∂y 3 + (2 − μ )(∂ 3 w / ∂y∂x 2 ) .
(6-9)
3. 振动方程求解
把薄板上(x, y)点在时刻 t 的挠度 w(x ,y, t)用下式表示
w( x, y, t ) = ∑ wn ( x, y, t ) = ∑ [u ( x, t )Yn ( y )]
ψ mn (t ) =
PYn ( y0 )
ω M m DA1n
2 mn
(1 − cos ωmn t )
2 2 [(2 a + lω mn )(1 − cos(ω mn t )) + 2vωmn sin(ω mn t ) − ωmn (2vt + at 2 )]
(m=1)
3PYn ( y0 ) lω M m DA1n
b b A2 n = ∫ Yn′′Yn dy , A3n = ∫ Yn′′′′Yn dy , a1n = ⎡YnYn′ ⎤ , a2 n = ⎡Yn′′Yn′ ⎤ , a3n = ⎡Yn′′′Yn ⎤ . 0 0 ⎣ ⎦0 ⎣ ⎦0 ⎣ ⎦0
b
b
b
再令
u ( x, t ) = ∑ X m ( x)ψ mn (t )
2 mn (t ) + ω mn ψ ψ mn (t ) = Qmn (t )
将式（14）、（15）代入式（13）并两边同乘以 Xj(x)再对 x 从[0,a]积分，考虑正交性可得 (16)
l l 0 0
式中 M m = ρ h / D
∫
l
0
2 ′′′′ ′′ Xmdx + Cn ∫ Xm Xmdx ; Xm ( x)dx ； kmn = ∫ Xm Xmdx − 2Bn ∫ Xm 0
-1-

地基的基床系数；r, l，b 分别为矩形薄板的密度、长和宽；x0=vt+1/2at2，y0 为荷载所处位置 的坐标，d(.)是 Dirac-delta 函数。 根据弹性力学中的哈密尔顿原理
∫
t1
t0
δ (U − T − W )dt = 0
(4)
图 1 移动荷载作用下 Winkler 地基上四边自由矩形薄板 将式(1)、(2)、(3)代入式(4)，化简整理可得
l
(17-18) (19-20)
ωmn = kmn / M m ；
Qmn (t ) =
PYn ( y0 ) 1 X m (vt + at 2 ) . M m DA1n 2
1 (t − τ )]X m (vτ + aτ 2 )dτ 2
由结构动力响应的 Duhamel 积分得
ψ mn (t ) =
PYn ( y0 ) ωmn M m DA1n
把式（11）和式（12）代入式（5）后，对 y 在[0,b]范围内积分并整理可得 (13)
式 中 Bn = [ A2 n + ( μ − 1)a1n ] / A1n , Cn = [ A3n − a3n + a2 n ] / A1n + K / D , A1n =
-2-
∫
b
0
Yn 2 dy ,


飞机起降过程中机场道面的动力响应
曹长勇，钟阳
大连理工大学土木水利学院，辽宁 大连（116024） E-mail: changyongcao@ 摘 要： 本文利用改进的 Kantorovich 法分析了飞机起降过程中机场道面板的动力响应问
题。在分析中把机场道面板简化成 Winkler 地基上四边自由的矩形弹性薄板。通过引入两端 自由的梁函数， 采用改进的 Kantorovich 法将机场道面板的动力微分方程化简成为常微分方 程，然后利用 Duhamel 积分求得问题的精确解。文中还通过具体算例分析了载荷的移动速 度、加速度、道面板厚度和地基基床系数对板的动力响应的影响。计算结果表明：移动载荷 速度、 道面板厚度和地基基床系数对机场道面板的动力响应有较大影响； 而飞机起降时的加 速度、减速度大小对机场道面动力响应的影响不大。 关键词： 机场道面板；动力响应；四边自由；加速度；改进的 Kantorovich 法 中图分类号：U441
z4 = v(vam + i2ωmn ) / a
,
r1 = (vam + iωmn ) / 2aam
,
r2 = (vam − iωmn ) / 2aam
,
-3-

r3 = (vam + ωmn ) / π aam , r4 = (vam − ωmn ) / π aam , r5 = aam / 2 , r6 = aam / π , r7 = (vam + ωmn ) / 2aam , r8 = (vam − ωmn ) / 2aam .
2. 基本控制方程
如图 1.所示，假设飞机荷载 P 沿道面板上 x 方向运动，x-y 坐标系固定在矩形薄板的中 性面上，x 轴方向为飞机行进方向。飞机的初速度为 v，加速度为 a，板上任一点的动挠度 为 w(x ,y, t)，则矩形薄板的形变势能 U、动能 T 及移动集中荷载做功 W 分别为：
2 2 2 l b l b ⎛ ∂2w ⎞ ⎤ D ⎡⎛ ∂ 2 w ⎞ ⎛ ∂ 2 w ⎞ 1 ∂2w ∂2w 2 U = ∫∫ ⎢⎜ 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + 2μ 2 2 + 2(1 − μ ) ⎜ ⎟ ⎥dxdy + ∫∫ Kw dxdy (1) 2 0 0 ⎢⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ 200 ∂x ∂y ⎝ ∂x∂y ⎠ ⎥ ⎣ ⎦