高等代数北大版1-8
高等代数【北大版】课件
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
高等代数北大版线性空间
引 入 我们懂得，在数域P上旳n维线性空间V中取定一组基后，
V中每一种向量 有唯一拟定旳坐标 (a1,a2 , ,an ), 向量旳
坐标是P上旳n元数组，所以属于Pn.
这么一来，取定了V旳一组基 1, 2 , , n , 对于V中每一种 向量 ，令 在这组基下旳坐标 (a1,a2 , ,an ) 与 相应，就 得到V到Pn旳一种单射 : V P n , (a1,a2 , ,an )
2）证明：复数域C看成R上旳线性空间与W同构，
并写出一种同构映射.
2023/12/29§6.8 线性空间旳
及线性有关性，而且同构映射把子空间映成子空间.
2023/12/29§6.8 线性空间旳
3、两个同构映射旳乘积还是同构映射.
证：设 ：V V , :V V 为线性空间旳同构
映射，则乘积 是 V到V 旳1－1相应. 任取 ， V , k P, 有
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间旳定义 §6 子空间旳交与和
与简朴性质
§7 子空间旳直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间旳同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2023/12/29
§6.8 线性空间旳同构
一、同构映射旳定义 二、同构旳有关结论
2023/12/29§6.8 线性空间旳
中分别取 k 0与k 1, 即得
0 0,
2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合旳成果.
3）因为由 k11 k22 krr 0 可得 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0
反过来，由 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0 可得 (k11 k22 krr ) 0.
北京大学高等代数基础习题答案八
第八章 λ-矩阵[自测题解答]§1 λ-矩阵一、填空1 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------131313322λλλλλλλ；2、λλλλλλλλλλ21,211,122--， 2 ；3、λ. 二、解答题1.0112≠=+λλλλ, 所以矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11λλλ的秩为2. 0100121232≠--=----λλλλλλ，所以矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ的秩为3.2．因为141212--=--λλλλλ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121λλλ不可逆. 110012121-=-----λλλλ，所以矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=10012121)(λλλλλA 可逆. 3． 答：设)(λA 为n 级λ-矩阵，)(λA 可逆时一定满秩，因为这是)(λA 的行列式为非零常数，为非零多项式；满秩时不一定可逆，因为满秩只说明行列式不是零多项式，但不一定是零次多项式（非零常数）.4．证明 因为A E -λ是一个n 次多项式，不是零次多项式.所以A E -λ不可逆.§2 λ-矩阵在初等变换下的标准形一、问答题1． 数字矩阵的初等变换是λ-矩阵的初等变换，但λ-矩阵的初等变换不一定是数字矩阵的初等变换. 2．初等λ-矩阵都是可逆的.3． 可逆的λ-矩阵标准型都是单位矩阵，因此等价，反之如果两个λ-矩阵等价，且其中一个可逆，那么另一个一定可逆.4． 一致.二、解答题1．(),(),()A D H λλλ是标准形，而2100()010001B λλλ⎛⎫ ⎪≅+ ⎪⎪-⎝⎭，100()00000C λλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，20()00000G λλλ⎛⎫⎪≅ ⎪ ⎪⎝⎭.2．10010*******()0000000100010100100B λλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=≅≅≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ §3 不变因子解答一、填空1．都是1，都是1；2.1，λ，2λλ-；3. 1，λ，2λλ+；4.,r r ；5.无穷 二、解答题解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1002)(λλλA 的行列式因子为1,(1)(2)λλ++，故不变因子为1,(1)(2)λλ++，所以标准形为100(1)(2)λλ⎛⎫⎪++⎝⎭；⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλ111)(B 的行列式因子44()D λλ=，而有一个三级子式等于1，故行列式因子321()1,()()1D D D λλλ===，所以不变因子为41,1,1,λ，所以标准形是4111λ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=10030011)(λλλλλλC 的行列式因子为1,1,(1)(1)(3)λλλ-+-，故不变因子为1,1,(1)(1)(3)λλλ-+-，所以标准形为10001000(1)(1)(3)λλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭.证明：因为)(1λ-n D 是1-n 次的，()n D λ是n 次的故不变因子.设A 为n 级数字矩阵，且A E -λ的第1-n 个行列式因子证明A E -λ的不变因子()n d λ是一次的，但12()()()()n n D d d d λλλλ=L ，并且1()|()i i d d λλ+，从而12(),(),,()n d d d λλλL 相等.3．证明 容易计算()()A f λλ=，而其中一个1n -级子式为101(1)11nλλλ--=---OO ，故行列式因子为1,1,,1()f ()n λL 个，，从而不变因子为)(,1,,1,1λf Λ.§4 矩阵相似的条件一、 填空1．n 个；2.相似；3.正确. 二判断题 1.（F ）；2.（T ）. 二、 解答题1．证明 容易知道,,A B C 的不变因子为n1,1,,1-a)λL ，(，故,,A B C 相似.2．解 容易计算A 的不变因子为11,1,,1,()ni i a λ=-∏L ；B 的不变因子为1,1,,1,()n a λ-L ；C 的不变因子为E C λ-的不变因子为4321,1,1,2345λλλλ++++.3.证明：因为多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变，所以B A ,在数域,K P 上的行列式因子相同，进而不变因子相同.故B A ,在P 上相似当且仅当在K 上相似.§5初等因子一、填空题1.21,1,1,(1)(1)λλλ-+；2.22,λλ.二、解答题1．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2121的初等因子为(1),(2),(1),(2);λλλλ--++不变因子为1,1,1,(1)(2)(1)(2);λλλλ--++.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200120012的不变因子为31,1,(2)λ-，初等因子为3(2)λ-.容易计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---422633211的特征多项式为2(28)λλλ-+，故行列式因子23()(28)D λλλλ=-+，由于存在E A λ-的互素的二级子式1112,3324λλλ--+-，故二级行列式因子2()1D λ=，从而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---422633211的不变因子为21,1,(28)λλλ-+，初等因子为,λλλ-+.3．解因为21110(1)010010010011(λλλλλλλ⎡⎤--⎛⎫⎢⎥-⎪⎢⎥- ⎪≅⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎪⎢⎥+⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以该矩阵的初等因子为211(1),(),()22λλλ-+--+.4．证明：因为E A λ-的初等因子()n D λ等于A E -λ，而()n D λ等于全部不变因子之积，而全部不变因子之积 等于全部初等因子之积.5．证明：设1()()()m h o A h o o λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O ， 1212()()()(),1,2,,,()ij i i ir kk k k i r j h p p p j m p λλλλλ==L L 为数域P 上的不可约因式.首先考虑1()p λ，若在λ-矩阵()A λ矩阵中相邻的1(),()i i h h λλ+中因式1()p λ的次数11,1i i k k +>，由北大教材的引理知道反复利用上述方法则λ-矩阵()A λ可化为等价的λ-矩阵其中112110m k k k '''≤≤≤L ，且是11211,,,m k k k L 的一个排列.然后用上述方法考虑()(2,,)i p i n λ=L ，则λ-矩阵()A λ可化为等价的λ-矩阵其中()ji k i p λ'是某一个()jik i p λ.并且当0ij k >时，他们是全部的初等因子.§5若当标准形的理论推导一、填空、1.2; 2.1000010001100000⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪⎝⎭; 3.2(1),1λλ--;4. 000000000000,000,100000010010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;5.100100100100010,110,110,110011001011011-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6. 000100000100100,000,010,110010010011011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 二、解答题1．解 容易计算矩阵1234501234001230001200001A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭一、二、三阶行列式因子为1，四阶行列式因子为1，而五阶行列式因子是5(1)λ-，所以其初等因子为4(1)λ-，故若当标准形为1111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 2．证明 由于A 的约当标准形为12k J J J ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O ，所以A 的最小多项式就是约当块12,,,k J J J L 的最小多项式的最小公倍式，而约当块的最小多项式是()(1,2,,)i d i k λ=L ，从而矩阵A 的最小多项式为()k d λ.3．因为A 的约当标准形是12k J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O，01010iJ ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O ，从而存在可逆的矩阵P ，使11A E P JP E J E -+=+=+=.4．证明 由于A 的特征值是m 此单位根，因此其约当标准形为12k J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O，其中11i ii i J εεε⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O，则1J P AP -=，于是11()m m m J P AP P A P E --===，从而(1,2,,)mi J E i s ==L ，因此i J 都是1级的，即J 为对角矩阵.测试题[解答]1．解 （1）由于E A λ-是A 的特征多项式，所以不为0，故E A λ-的秩等于3.（2）行列式因子为2123()1,()1,()(1)D D D λλλλλ===-，不变因子为2123()1,()1,()(1)d d d λλλλλ===-，初等因子为2,(1)λλ-，E A λ-的标准形为211(1)λλ⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭ （3）约当标准形为000010011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 2．证明 由于最小多项式是最后一个不变因子，而特征多项式是所有不变因子的乘积，在利用不变因子的关系，直接得到()|()nf g λλ.3．解 因为矩阵A 的秩是1因此其若当标准型为1000000000000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L L L，因此A 的不变因子与10000000000000λλλ-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L L L的不变因此完全相同，显然其不变因子为1,,,,(1)λλλλ-L ，故21n n D λ--=.E A λ-的标准形为1(1)λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭O4.证明：设A 的约当标准形为12k J J J J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O，其中11i i i i J λλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭O O O O ，且1J P AP -=，于是11()m m m J P AP P A P --==，即m mA J :.但是21k m mm m J J J J ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O，而i m i mi m i m J λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O ，即mJ 的特征值就是J 的特征值的m 次幂.但相似方阵具有相同的特征值，也即A 的特征值的m 次幂.5．证明 ,E A E B λλ--等价⇔,A B 相似⇔存在可逆矩阵P ，使1B P AP -=⇔,A PQ B QP ==数域上的同级方阵，求证的充分必要条件是,A B 有分解式：,,A PQ B QP ==其中1Q P A -=.。
高等代数习题北大第四版答案一到四章
从 而 ( f ( x), g( x))h( x) 是 f (x)h(x) 与 g( x)h( x) 的 一 个 最 大 公 因 式 ， 又 因 为
( f (x), g( x)) h( x) 的首项系数为１，所以 ( f (x)h(x), g(x)h(x)) = ( f ( x), g( x))h( x) 。
u1(x) f (x) + v1(x)g (x) = 1
（1）
u2 (x) f (x) + v2 (x)h(x) = 1
将（1）（2）两式相乘，得
（2）
[u1(x)u2(x) f (x) + v1(x)u2(x)g (x) + u1(x)v2(x)h(x)] f ( x) ， +[v1(x)v2 (x)]g( x)h( x) = 1 所以 ( f ( x), g( x) h( x)) =1 。
即[u(x) − v(x)] f ( x) + v( x)[ f ( x) + g( x)] = 1 ，
所以 ( f (x), f ( x) + g( x)) =1。
同理 ( g( x), f ( x) + g( x)) =1 。
再由 12 题结论，即证 ( f ( x) g( x), f ( x) + g( x)) =1。
2） f (x) = x3 − x2 − x, g( x) = x −1 + 2i 。
q(x) = 2x4 − 6x3 +13x2 − 39x +109
解 1）
；
r (x) = −327
2） q(x) = x2 − 2ix − (5 + 2i ) 。 r (x) = −9 + 8i
高等代数(北大版)第8章习题参考答案
第八章 —矩阵1. 化下列矩阵成标准形1） 2）3） 4）5）6）解 1）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。
2）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。
3）因为的行列式因子为1=1, 2 =, 3 = ，所以1 = 1,2 = = ,3 = = ，从而A= B，B即为所求。
4）因为的行列式因子为1=1, 2 =, 3 = , 4 = ，所以1 = 1,2 = = ,3 = = ,4 = = ，从而A= B，B即为所求。
5）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。
6）对矩阵作初等变换,有A，在最后一个行列式中3=1, 4 =, 5 = ，所以1 =2 =3 =1,4 = =,5 = =。
故所求标准形为B= 。
2.求下列矩阵的不变因子:1） 2）3） 4）5）解 1）所给矩阵的右上角的二阶子式为1,所以其行列式因子为1=1, 2 =1, 3 = ，故该矩阵的不变因子为1 =2 =1,3 =。
2）因为所给矩阵的右上角的三阶子式为-1,所以其行列式因子为3 =2 =1=1,4 =，故矩阵的不变因子为1 =2 =3 =1,4 =。
3）当时,有4 = = ，且在矩阵中有一个三阶子式= ，于是由,3 = 1，可得3 = 1，故该矩阵的不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。
当时,由1=1, 2 =1, 3 = , 4 = ，从而1 =2 =1,3 = ,4 = = 。
4）因为所给矩阵的左上角三阶子式为1,所以其行列式因子为1=1, 2 =1, 3 =1, 4 = ，从而所求不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。
5）因为所给矩阵的四个三阶行列式无公共非零因式,所以其行列式因子为3 =1,4 = ，故所求不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。
3.证明:的不变因子是，其中= 。
证因为n = ，按最后一列展开此行列式，得n == ，= ，因为矩阵左下角的阶子式= ,所以= 1,从而1=2 = … = = 1，故所给矩阵的不变因子为1 =2 = … = = 1，= = ，即证。
高等代数 北大 课件
拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若 干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足 交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵 与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描 述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。
将一个矩阵分解为一个下 三角矩阵和一个上三角矩 阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正 交矩阵和一个上三角矩阵 之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个 奇异值和若干个奇异向量 的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标 准形式，即一个平方项之和减去另一个平 方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有 的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并说明线性方程组的解的概念。
2. 线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则。
3. 线性方程组的解的性质：唯一性、存在性。
4. 线性方程组在实际应用中的例子。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，说明矩阵的元素、矩阵的行和列。
2. 矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法。
3. 矩阵的转置、共轭、伴随矩阵。
4. 矩阵的行列式、行列式的性质和计算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，说明线性空间的基、维数。
2. 线性变换的定义，线性变换的矩阵表示。
3. 线性变换的性质：线性、单调性、可逆性。
4. 线性变换的应用：线性映射、线性变换在几何上的意义。
四、特征值与特征向量1. 特征值、特征向量的定义。
2. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的计算方法。
3. 特征值和特征向量的性质：特征值的重数、特征向量的线性无关性。
4. 对称矩阵的特征值和特征向量。
五、二次型1. 二次型的定义，二次型的标准形。
2. 二次型的矩阵表示，矩阵的合同。
3. 二次型的性质：正定、负定、不定。
4. 二次型的判定方法，二次型的最小值和最大值。
六、向量空间与线性映射1. 向量空间的概念，包括基、维数和维度。
2. 线性映射的定义，线性映射的性质，如线性、单调性和可逆性。
3. 线性映射的表示方法，包括矩阵表示和坐标表示。
4. 线性映射的应用，如线性变换、线性映射在几何上的意义。
七、特征值和特征向量的应用1. 特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式和特征方程。
2. 特征值和特征向量的性质，如重数和线性无关性。
3. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质和计算。
4. 特征值和特征向量在实际问题中的应用，如振动系统、量子力学等。
八、二次型的定义和标准形1. 二次型的定义，包括二次型的标准形和矩阵表示。
2. 二次型的矩阵表示，包括矩阵的合同和相似。
3. 二次型的性质，如正定、负定和不定。
高等代数(北大版)第一章-多项式1.9
定理13 艾森斯坦因Eisenstein判别法
设 f ( x) an xn an1xn1 a1x a0 , 是一个整系数多项式，若有一个素数 p, 使得
1 p | an 2 p | an1,an2 , ,a0 3 p2 | a0 则 f ( x)在有理数域上是不可约的．
2．Gauss引理 定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式．
证： 设 f ( x) an xn an1xn1 g( x) bm xm bm1xm1
是两个本原多项式．
a0, b0
h( x) f ( x)g( x) dnm xnm dnm1xnm1 d0 反证法．若 h( x)不是本原的，则存在素数 p,
p | dr , r 0,1, , n m. 又 f ( x)是本原多项式，所以 p 不能整除 f ( x)的
每一个系数．
令ai 为 a0 ,a1, ,an 中第一个不能被 p 整除的数，即 p | a1, , p | ai1, p | ai .
同理，g( x) 本原，令 bj为 b0 , ,bm 中第一个不能被
p 整除的数，即 p | b0, p | b1, , p | bj1, p | bj .
又 di j aibj ai1bj1 , 在这里 p | di j , p | aibj , p | ai1bj1, 故 h( x)是本原的．
矛盾．
二、整系数多项式的因式分解
定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两 个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解 成两个次数较低的整系数多项式的乘积．
于是有， a f1( x) g( x)ch1( x) cg( x)h1( x)
高等代数北大编 第1章习题参考答案
第一章 多项式一 、习题及参考解答1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
&解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成—2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数北大编第1章习题参考答案
高等代数北大编第1章习题参考答案第一章多项式一、习题及参考解答1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当??+==10q p m 或=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+L 的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数【北大版】课件
多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解， 可以更好地理解多项式的结构，简化计算 和证明。此外，多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法 通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况， 提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情 况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用 的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限 个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的 基础概念，包括代数余子式、余子式、 转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数 式，按照一定规则排列，具有一些重 要的性质，如交换律、结合律、代数 余子式等。这些性质在后续章节中有 着广泛的应用。
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并了解线性方程组的基本性质。
2. 掌握高斯消元法求解线性方程组，并能够运用该方法解决实际问题。
3. 了解克莱姆法则，并能够运用该法则判断线性方程组的解的情况。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性方程组的求解方法。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，并了解矩阵的基本性质。
2. 掌握矩阵的运算，包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。
3. 了解逆矩阵的概念，并掌握逆矩阵的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握矩阵的运算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，并了解线性空间的基本性质。
2. 掌握线性变换的概念，并了解线性变换的基本性质。
3. 了解特征值和特征向量的概念，并掌握特征值和特征向量的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性空间和线性变换的相关知识。
四、二次型1. 定义二次型，并了解二次型的基本性质。
2. 掌握二次型的标准形以及惯性定理。
3. 了解二次型的正定性以及其判定方法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握二次型的相关知识。
五、向量空间与线性映射1. 定义向量空间，并了解向量空间的基本性质。
2. 掌握线性映射的概念，并了解线性映射的基本性质。
3. 了解核空间以及秩的概念，并掌握核空间和秩的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握向量空间和线性映射的相关知识。
六、特征值和特征向量1. 回顾特征值和特征向量的定义，理解它们在矩阵对角化中的作用。
2. 学习如何求解一个矩阵的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式等方法。
3. 掌握特征值和特征向量在简化矩阵表达式和解决实际问题中的应用。
4. 提供例题，展示如何将一般矩阵问题转化为特征值和特征向量的问题，并教会学生如何解这些问题。
七、二次型1. 复习二次型的基本概念，包括二次型的定义、标准形和惯性定理。
2. 学习如何将一般二次型转化为标准形，以及如何从标准形判断二次型的正定性。
高等代数【北大版】17PPT课件
即 h ( x ) 有 1 ,2 , n 1 , n 1 个根，
定理9
由定理８，若 h(x)0 的话，则 h(x)n.
矛盾．
所以，h(x)0, 即 f(x)g(x).
§1.7 多项式函数
11
例2 求 t 值，使 f(x )x 3 3 x 2 tx 1有重根．
解：
3 2
x
15 4
f ( x)
3x26xt
3x2
3 2
x
f (x)
x33x2tx 1
1 3
x
1 3
x32x21 3tx
15 2
x
t
125 x145
t15 4ຫໍສະໝຸດ x223tx1 x22x13t
( 2 3 t 2 ) x ( 1 1 3 t) r 1 ( x ) t 3 ,t 3 3 r 1 (x ) 2 x 1
f ( x ) 的 k 重根. 当 k 1 时，称 为 f ( x ) 的单根． 当 k 1时，称 为 f ( x ) 的重根．
§1.7 多项式函数
7
注：
① 是 f ( x ) 的重根 x 是 f ( x ) 的重因式．
② f ( x ) 有重根 f (x) 必有重因式． 反之不然，即 f ( x ) 有重因式未必 f ( x ) 有重根．
设 f ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n ,数 p,
将 f ( x )的表示式里的 x 用 代替，得到P中的数
a 0n a 1n 1 a n ,
称为当 x时 f ( x )的值，记作 f ( ).
这样，对P中的每一个数 ，由多项式 f ( x ) 确定P
高等代数 北大三版 第一章ppt课件
解、方程的根的情况 2 2 在有理数范围内不能分解，在实数范围内
就可以分解。
多
x2 1 0 在实数范围内没有根，在复数范围内就
项 有根。等等。
式
高 我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数 等 范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做 代 这样的限制。 数 在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减
形式表达式。
1
后来又把多项式定义为R上的函数：
fxa 0a 1 x L a nxn
多
但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中
当 d0 2cQ，也矛盾）。于是
d
多 项 式
c a d b2 2c a d b2 2c c d d2 2a 1b 1 2,a 1,b 1 Q
高 问题：8、一个数域必包含哪两个元素？
等
9、最小的数域是什么？
代 定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。
数 证明：设F是一个数域，则 aF,a0.
数 环，这是最小的数环，称为零环。
问题：3、一个数环是否一定包含0元？ 4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的
1
数环？
例2：证明 Z ia b ia ,b Z ,i2 1是一个数环。
多 问题：5、除了定义之外，判断一个集合是数环
项
有没有其他简单的方法？
式
高
定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充
则称S是一个数环。
例如：整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集 1 C都是数环。
问题：1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？
多
2、有没有最小的数环？
项
例1：设a是一个确定的整数。令 SnanZ
式
高 则S是一个数环。 等 特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。
高等代数课件(北大版)第一章_多项式§1.1
又对 x, y Q( 2), 设 x a b 2, y c d 2, a,b,c,d Q, 则有
x y (a c) (b d ) 2 Q( 2),
x y (ac 2bd ) (ad bc) 2 Q( 2)
设 a b 2 0, 于是 a b 2 也不为0．
第一章 多项式
§1 数域 §2 一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式
§7 多项式函数 §8 复、实系数多项式
的因式分解 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 §11 对称多项式
2020/2/9
数学科学学院
一、数域 二、数域性质定理
§1.1 2020/2/9 数域
ac a2
2bd 2b2
ad bc a2 2b2
2 Q.
Q( 2)为数域．
Gauss数域
类似可证 Q(i) a bi a,b Q, i 1 是数域.
§1.1 2020/2/9 数域
数学科学学院
例2．设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任 意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一
数学科学学院
作业
1．若 P1, P2为数域，证明：P1 I P2也为数域．
§1.1 2020/2/9 数域
数学科学学院
数学科学学院
一、数域
定义 设P是由一些复数组成的集合，其中包括
0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除 数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域．
常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q；
（注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．）
§1.1 2020/2/9 数域
高等代数【北大版】(8)_OK
§1 λ－矩阵 §2 λ－矩阵的
标准形
§3 不变因子
§4 矩阵相似的条件 §5 矩阵相似的条件
§6 若当(Jordan)标准形 的理论推导
小结与习题
1
§8.4 矩阵相似的条件
定理：
数字矩阵 A, B 相似 E A与 E B等价.
2021/9/5
2
引理1：
设P为数域 A, B P nn , 若有 P0, Q0 Pnn ，
从而，A有n个不变因子，这n个不变因子的乘积
n
等于 E A , 即， di ( ) E A .
i 1
2021/9/5
12
例1. 证明：下列三个矩阵彼此都不相似.
a 0 0
a 0 0
a 1 0
A
0 0
a 0
0 a
,
B
0 0
a 0
1 a
,
C
0 0
a 0
1 a
证： E A的不变因子是：
d1 a, d2 a, d3 a
比较两端，得
T U 1 E B R Pnn ⑦
T E A E BV0
⑧
2021/9/5
9
下证T可逆.
由⑦有， U T E U E B R . 即 E U T U E BR
U T E AV 1 R
E AQ U0 T E AV 1 R
使
E A P0 E BQ0
①
则A与B相似.
证：由 P0 E BQ0 P0EQ0 P0BQ0
P0Q0 P0BQ0 E A
得 P0Q0 E, P0BQ0 A 即 P0 Q01, A Q01BQ0 . ∴ A与B相似.
2021/9/5
(完整word版)高等代数教案北大版第八章
讲课内容教课时数教课目的教课要点教课难点教课方法与手段教学过程第八章λ－矩阵第一讲λ－矩阵2 学时讲课种类讲解法与练习法使学生认识-矩阵的观点，以及-矩阵和数字矩阵的关系，基本掌握-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。
-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。
求 -矩阵的逆矩阵启迪式讲解，议论，练习n 阶矩阵A与对角阵相像的充要条件是A有 n 个线性没关的特点向量.那么当只有 m( m n) 个线性没关的特点向量时, A与对角阵是不相像的.对这类情况 ,我们“退而求其次” ,找寻“几乎对角的”矩阵来与A相像 .这就引出了矩阵在相像下的各样标准型问题 .Jordan 标准型是最靠近对角的矩阵而且其相关的理论包括先前相关与对角阵相像的理论作为特例 .其他 , Jordan 标准型的宽泛应用波及到 Hamilton-Cayley 定理的证明 ,矩阵分解 ,线性微分方程组的求解等等 .因为Jordan 标准型的求解与特点多项式相关,而从函数的角度看,特点多项式其实是特别的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对-矩阵的研究 .一、- 矩阵及其标准型定义 1称矩阵 A() ( f ij ()) 为-矩阵 ,此中元素f ij ( )(i1,2,L, m; j 1,2,L , n)为数域 F 上对于的多项式 .定义 2称 n 阶-矩阵A() 是可逆的,假如有A B B A I n并称 B( ) 为A() 的逆矩阵.反之亦然.定理 1 矩阵A() 可逆的充要条件是其队列式为非零的常数,即det( A( )) c0 .证明：（ 1）充足性设A=d 是一个非零的数. A*表示A() 的伴随矩阵 ,则d1A*也是一个-矩阵 ,且有A d 1 A* d 1 A*A I所以,A( ) 是可逆的.(2) 必需性设A() 有可逆矩阵B() ,则A B I两边取队列式有A B I1因为 A与 B都是多项式 ,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式 ,即都是非零常数 .证毕 .例题 1判断-矩阵2 +121A=11能否可逆 .解固然2 +121A=1=201A( ) 是满秩的,但A不是非零常数 ,因此A() 是不行逆的.注意与数字矩阵不一样的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必要的 ,可逆的实质就是要保证变换的矩阵能够经过非零常数的倒数逆回去.定义3假如矩阵A() 经过有限次的初等变换化成矩阵B() ，则称矩阵A( ) 与B()等价,记为A B定理2矩阵A()与B() 等价的充要与条件是存在可逆矩阵P、Q,使得B P A Q证明因为 A B, 所以A() 能够经过有限次初等变换变为B() ,即存在初等矩阵P( ),P( ),L ,P( )12s与初等矩阵Q1 ( ), Q2 ( ),L ,Q t ( )使得B( ) P( )P( )L P( )A( )Q( )Q( )L Q( )12s12t令P( ) P1 ( )P2 ( )L P s () ,Q( ) Q1( )Q2 ( )L Q t ( )就是所要求的-矩阵 .它们都是初等矩阵的乘积,进而使可逆的 .证毕 .定义 4矩阵 A() 的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1）最大公因式 D k称为 A() 的k阶队列式因子.定理 2等价矩阵拥有同样的秩和同样的各级队列式因子.证明设-矩阵A( )经过一次行初等变换化为了B() ，f () 与 g( ) 分别是A( )与B() 的 k 阶队列式因子.需要证明f( )= g().分3种状况议论：（ 1）A( )i , j B( ),此时,B() 的每个 k 阶子式或许等于A( ) 的某个k 阶子式,或许与A( ) 的某个阶子式反号,所以 , f ()是B() 的k阶子式的公因子 ,进而f ()| g() .（2）A( )i(c)B( ) ,此时,B( )的每个k阶子式或许等于A( )的某个 k 阶子式,或许等于 A() 的某个 k 阶子式的c倍.所以,f()是B() 的 k 阶子式的公因式 ,进而f()|g( ) .（3）A( )i j( )行与 j行的阶子式和B( ) ,此时,B( )中那些包括i那些不包括 i 行的 k 阶子式都等于A() 中对应的 k 阶子式； B() 中那些包括 i 行但不包括 j 行的 k 阶子式,按 i 行分红两个部分,而等于A( )的一个k阶子式与另一个 k 阶子式的( ) 倍的和,,也就是A() 的两个 k 阶子式的线性组合,所以,f( ) 是的k阶子式公因式进而 f( )| g().,对于列变换, 能够同样地议论.总之 , A() 经过一系列的初等变换变为B() ，那么f()|g() .又因为初等变换的可逆性, B( )经过一系列的初等变换能够变为 A() ,进而也有g( )| f() .当 A( ) 所有的阶子式为零时, B() 所有的 k 阶子式也就等于零；反之亦然.故 A() 与 B( ) 又同样的各阶队列式因子,进而有同样的秩.证毕.既然初等变换不改变队列式因子,所以 ,每个-矩阵与它的标准型有完整相同的队列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的,因此 ,在求一个-矩阵的队列式因子时 ,只需求出它的标准型的队列式因子即可.议论、练习与作业课后反省讲课内容教课时数教课目的教课要点教课难点教课方法与手段教学过程第二将λ－矩阵在初等变换下的标准型2讲课种类讲解课认识- 矩阵的初等变换，掌握求标准型的方法，掌握最小多项式的观点和求最小多项式的方法。
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设 ( f ( x )) n，由代数基本定理, f ( x )有一复根 ．
若 为实数, 则 f ( x ) ( x ) f1 ( x )，其中 ( f1 ) n 1.
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解
若 不为实数，则 也是 f ( x ) 的复根，于是
第一章 多项式
§1 数域 §2 一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式
§7 多项式函数
§8 复、实系数多项式 的因式分解 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 §11 对称多项一、复系数多项式
1. 代数基本定理
f ( x ) C [ x ] , 若 ( f ( x )) 1 , 则 f ( x ) 在复数域
f ( x ) C [ x ], ( f ( x )) 1, 则 f ( x )可约．
2. 复系数多项式因式分解定理
f ( x ) C [ x ], 若 ( f ( x )) 1, 则 f ( x ) 在复数域
C 上可唯一分解成一次因式的乘积．
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解
n n1 f ( x ) a x a x a0 , ai R 证：设 n n1
若 为根，则
f ( ) an n an1 n1 a0 0
两边取共轭有
f ( ) an an1
n
n1
a0 0
推论1
f ( x ) C [ x ], 若 ( f ( x )) 1, 则 f ( x ) 在 C
上具有标准分解式
f ( x ) a( x 1 )r1 ( x 2 )r2 ( x s )rs
+ r , r , , r Z 其中 1 , 2 , , s 是不同的复数， 1 2 s
C上必有一根．
推论1
f ( x ) C [ x ] , 若 ( f ( x )) 1 , 则存在 x a C [ x ] ,
使
(x a ) | f ( x ) .
即， f ( x ) 在复数域上必有一个一次因式．
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解
推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即
∴ 也是为 f ( x ) 复根．
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解
实系数多项式因式分解定理
f ( x ) R[ x ]，若 ( f ( x )) 1， 则 f ( x ) 可唯一
地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．
证：对 f ( x ) 的次数作数学归纳． ① ( f ( x )) 1 时，结论显然成立. ② 假设对次数<n的多项式结论成立．
2
n1
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解
这里
k
2 2 cos i sin , n 1 n n k 1,2, , n
2 n1
2k 2k cos i sin , n n
∴ 2)
∵
x 1 ( x 1)( x )( x )( x
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解
推论1
f ( x ) R[ x ], f ( x ) 在R上具有标准分解式
f ( x ) an ( x c1 )k1 ( x c2 )k2 ( x cs )ks ( x 2 p1 x q1 )k1
( x 2 pr x qr )kr
]
[ x 2 (
n 2 2
2
n 2 2
)x
n 2 2
n 2 2
2 n2 2 ( x 1)( x 1)( x 2 x cos 1) [ x 2 x cos 1] n n
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解
n
)
在实数域范围内
k
n k
2k , , 2cos n
k k
k k 1
k 1, 2, , n
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解
∴
当n为奇数时
n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2
x n 1 ( x 1)[ x 2 ( n1 ) x n1 ]
推论2
f ( x ) C [ x ]，若 ( f ( x )) n ，则 f ( x ) 有n个
复根（重根按重数计算）．
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解
二、实系数多项式
命题：若 是实系数多项式 f ( x ) 的复根，则 的共轭复数 也是 f ( x ) 的复根．
[ x 2 (
2
)x
]
2 n1 2 ( x 1)( x 2 x cos 1) [ x 2 x cos 1] n n
当n为偶数时
x 1 ( x 1)( x 1)[ x (
n 2 n1
) x
]
n1
f ( x ) ( x )( x ) f 2 ( x ) ( x 2 ( ) x ) f 2 ( x )
设 a bi ，则
a bi ,
2a R , a 2 b 2 R
2
即在R上 x ( ) x 是 一个二次不可约多项式． 从而 ( f 2 ) n 2. 由归纳假设 f1 ( x ) 、 f 2 ( x )可分解成一次因式与二次 不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证．
2
R上的不可约多项式.
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
例1
求 x n 1 在 C 上与在 R 上的标准分解式. 在复数范围内 x n 1 有n个复根，
解： 1)
1, , , ,
其中 c1 , c2 , , cs , p1 , , pr , q1 , , qr R,
k1 , , ks , l1 , , l s Z ,
且 p 4q 0, i 1,2 r ，即 x pi x qi 为
2