2020-2021初中数学图形的相似技巧及练习题附答案

2020-2021初中数学图形的相似技巧及练习题附答案
一、选择题
1．如图，三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形，它们的相似比为2∶3，若三角尺的一边长为8 cm，则这条边在投影中的对应边长为()
A．8 cm
B．12 cm
C．16 cm
D．24 cm
【答案】B
【解析】
试题分析：利用相似比为2：3，可得出其对应边的比值为2：3，进而求出即可．
解：∵三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形，它们的相似比为2：3，三角尺的一边长为8cm，
∴设这条边在投影中的对应边长为：x，则=，解得：x=12．
故选B．
考点：位似变换．
2．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）
A 2
3
5
B
2
3
3
C
3
3
4
D
4
3
5
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．
【详解】
如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，∴3
连接DE，
∵∠BDC=90°，点D是BC中点，
∴DE=BE=CE=1
2
BC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴DF DE BF AB
＝，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，3，∴AB=3，
∴
2
3 DF
BF
＝，
∴
2
5 DF
BD
＝，
∴DF=2243
3
555 BD=⨯=
故选D．
【点睛】
此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE∥是解本题的关键．
3．如图，点A在双曲线y═k
x
（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O
和点A为圆心，大于1
2
OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于
点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（）
A．2 B．32
25
C．
43
D．
252
+
【答案】B
【解析】
分析：如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；
详解：如图，设OA交CF于K．
由作图可知，CF垂直平分线段OA，
∴OC=CA=1，OK=AK，
在Rt△OFC中，22=5
OF OC
+
∴
25
5
，
∴OA=45
5
，
由△FOC∽△OBA，可得OF OC CF
OB AB OA
==，
∴
215
45 OB AB
==
，
∴OB=8
5
，AB=
4
5
，
∴A（8
5
，
4
5
），
∴k=3225
． 故选B ． 点睛：本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 和CD 相交于点F ，且S △EFC ＝3S △EFD ，则S △ADE ：S △ABC 的值为（ ）
A ．1：3
B ．1：8
C ．1：9
D ．1：4
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意，易证△DEF ∽△CBF ，同理可证△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．
【详解】
∵S △EFC ＝3S △DEF ，
∴DF ：FC ＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），
∵DE ∥BC ，
∴△DEF ∽△CBF ，
∴DE ：BC ＝DF ：FC ＝1：3
同理△ADE ∽△ABC ，
∴S △ADE ：S △ABC ＝1：9，
故选：C ．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．
5．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，在BC 上取一点E ，沿AE 将ABE ∆向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为( )
A ．2
B ．3
C ．15±
D ．152
+ 【答案】D
【解析】
【分析】 可设AD=x ，由四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【详解】
解：∵1AB =，
设AD=x ，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，
∴EF AD DF AB
=，即111x x =-， 解得：1152x +=，2152
x -=（不合题意，舍去） 经检验152x +=
，是原方程的解． ∴15AD +=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC 与矩形ABCD 相似得到比例式．
6．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）
A ．16
B ．15
C ．12
D ．11
【答案】B
【解析】
【分析】 过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积
与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．
【详解】
解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，
∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，
∴△FEH ∽△EBA ， ∴ ,HF HE EF AE AB BE == G Q 为
BE 的中点，
1,2
FE GE BE ∴== ∴ 1,2
HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==
∴HF 1,4,2
x EH =
= ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-
11111(8)8(4)422222x x x x =
++⨯--⨯• 2141644x x x x =
+--- 2116,4
x x =-+ ∴当12124
x -=-
=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选：B ．
【点睛】
本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中，把△ABC 的各顶点的横坐标都除以14，纵坐标都乘13，得到△DEF ，把△DEF 与△ABC 相比，下列说法中正确的是( )
A ．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的
13 B ．横向缩小为原来的14
，纵向扩大为原来的3倍 C ．△DEF 的面积为△ABC 面积的12倍
D ．△DEF 的面积为△ABC 面积的
112 【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：△DEF 与△ABC 相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的
13；△DEF 的面积为△ABC 面积的
169
， 故选A.
8．如图，O 是AC 的中点，将面积为216cm 的菱形ABCD 沿AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．28cm
B ．26cm
C ．24cm
D ．22cm
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO=OC=12
AC ，故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积的14
【详解】
解：如图，
由平移的性质得，▱ABCD∽▱OECF，且AO=OC=1
2 AC
故四边形OECF的面积是▱ABCD面积1 4
即图中阴影部分的面积为4cm2．
故选：C
【点睛】
此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是应用相似多边形的性质解答问题.
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）
A．3
2
B．
9
2
C．
33
2
D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∵AC=3，AB=6，∴AD=3
2
．故选A．
考点：相似三角形的判定与性质．
10．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是
A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【答案】D
【解析】
试题分析：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2,1），然后求在另一侧为（2，-1）．
故选D
考点：位似变换
11．把Rt ABC
∆三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）
A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的1
3
C．扩大为原来的9倍D．不变
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质解答．
【详解】
三边的长度都扩大为原来的3倍，
则所得的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A的余弦值不变，
故选：D．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
12．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则DG
CF
=（）
A ．23
B ．22
C ．33
D ．32
【答案】B
【解析】
【分析】
连接AC 和AF ，证明△DAG ∽△CAF 可得
DG CF
的值． 【详解】
连接AC 和AF ，
则22
AD AG AC AF ==， ∵∠DAG=45°-∠GAC ，∠CAF=45°-GAC ，
∴∠DAG=∠CAF ．
∴△DAG ∽△CAF ．
∴22
DG AD CF AC ==． 故答案为：B.
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．
13．如图，在ABC V 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）
A ．4
B ．23
C ．33
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF ．
【详解】
解：∵//DE BC ，
∴ADE ~ABC V V ，
∵2DE BC =，
∴点D 是AB 的中点，
∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF =，
∴∠B ＝30°，
∴AB 6cos30BF ==︒
， ∴DF=3，
故选：D ． 【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．
14．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，△AOB 的两边分别与函数12,y y x x
=-
=的图象交于B 、A 两点，则等于（ ）
A ．22
B ．12
C ．14
D ．33
【答案】A
【解析】
【分析】
过点A,B 作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足分别为C,D.根据条件得到△ACO ∽△ODB.根据反比例函
数比例系数k 的几何意义得出2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆＝121
＝12利用相似三角形面积比等于相似比
的平方得出22OB OA = 【详解】 ∵∠AOB ＝90°， ∴∠AOC +∠BOD ＝∠AOC +∠CAO ＝90°，
∠CAO ＝∠BOD ，
∴△ACO ∽△BDO ，
∴2()S OBD OB S AOC OA
∆=∆ , ∵S △AOC ＝12 ×2＝1，S △BOD ＝12×1＝12
， ∴2()OB OA ＝121
＝12 ， ∴22
OB OA =， 故选A ．
【点睛】
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线，然后得到相似三角形再进行求解
15．如图，菱形ABCD 中，点P 是CD 的中点，∠BCD=60°，射线AP 交BC 的延长线于点E ，射线BP 交DE 于点K ，点O 是线段BK 的中点，作BM ⊥AE 于点M ，作KN ⊥AE 于点N ，连结MO 、NO ，以下四个结论：①△OMN 是等腰三角形；②tan ∠OMN=
33
；③BP=4PK ；④PM•PA=3PD 2，其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得到AD ∥BC ，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP ≌△ECP ，由相似三角形的性质得到AD=CE ，作PI ∥CE 交DE 于I ，根据点P 是CD 的中点证明CE=2PI ，BE=4PI ，根据相似三角形的性质得到1=4
KP PI KB BE =，得到BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ，根据平行线等分线段定理得到MG=NG ，又OG ⊥MN ，证明△MON 是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠
OMN=
3
，故②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD 2，故④正确．
【详解】
解：作PI ∥CE 交DE 于I ，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD ∥BC ，
∴∠DAP=∠CEP ，∠ADP=∠ECP ，
在△ADP 和△ECP 中， DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADP ≌△ECP ，
∴AD=CE ， 则
PI PD CE DC =，又点P 是CD 的中点， ∴1=2
PI CE ， ∵AD=CE ， ∴
1=4
KP PI KB BE =， ∴BP=3PK ，
故③错误；
作OG ⊥AE 于G ， ∵BM 丄AE 于M ，KN 丄AE 于N ，
∴BM ∥OG ∥KN ，
∵点O 是线段BK 的中点，
∴MG=NG ，又OG ⊥MN ，
∴OM=ON ，
即△MON 是等腰三角形，故①正确；
由题意得，△BPC ，△AMB ，△ABP 为直角三角形，
设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=3， 则AP=7，
根据三角形面积公式，BM=
2217， ∵点O 是线段BK 的中点，
∴PB=3PO ，
∴OG=
13BM=22121， MG=23
MP=27， tan ∠OMN=
3=OG MG ，故②正确； ∵∠ABP=90°，BM ⊥AP ，
∴PB 2=PM•PA ，
∵∠BCD=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠PBC=30°，
∴∠BPC=90°，
∴PB=3PC ，
∵PD=PC ，
∴PB 2=3PD ，
∴PM •PA=3PD 2，故④正确．
故选B ．
【点睛】
本题考查相似形综合题．
16．如图，Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，3AO BO =，点B 在反比例函数2y x =
的图象上，OA 交反比例函数()0k y k x
=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
【答案】D
【解析】
【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212
BOF S ==V ，从而求得4COE S =V ，从而求得k 的值．
【详解】
解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴
∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°
∵90AOB ∠=︒
∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°
∴∠ECO=∠FOB
∴△COE ∽△OBF ∽△AOD
又∵3AO BO =，2OC CA = ∴13OB OA =，23
OC OA = ∴21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9
COE AOD S OC S OA ==V V ∴4COE BOF
S S =V V ∵点B 在反比例函数2y x =
的图象上 ∴212
BOF S ==V ∴4COE S =V
∴42
k ，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限，
∴k=-8
故选：D ．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．
17．下列图形中，一定相似的是（ ）
A ．两个正方形
B ．两个菱形
C ．两个直角三角形
D ．两个等腰三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】
A 、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；
B 、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
C 、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
D 、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．
故选A ．
【点睛】
本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．
18．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果AD ：DF ＝3：1，BE ＝10，那么CE 等于( )
A ．103
B ．203
C ．52
D ．152
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得到
3AD BC DF CE ==，得到BC=3CE ，然后利用BC+CE=BE=10可计算出CE 的长，即可．
【详解】
解：∵AB ∥CD ∥EF ，
∴3AD BC DF CE
==， ∴BC=3CE ，
∵BC+CE=BE ，
∴3CE+CE=10，
∴CE=
52
． 故选C ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
19．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A ．∠ABD=∠C
B ．∠ADB=∠AB
C C ．AB CB B
D CD = D ．AD AB AB AC
= 【答案】C
【解析】
【分析】
由∠A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A 与B 正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D 正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】
∵∠A 是公共角，
∴当∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC 时，△ADB ∽△ABC （有两角对应相等的三角形相似），故A 与B 正确，不符合题意要求；
当AB ：AD=AC ：AB 时，△ADB ∽△ABC （两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D 正确，不符合题意要求；
AB ：BD=CB ：AC 时，∠A 不是夹角，故不能判定△ADB 与△ABC 相似，故C 错误，符合题意要求，
故选C ．
20．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C ∆相似的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】 根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：因为111A B C ∆中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B ．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．。