数学模型 汽车厂生产计划

约束 条件
原油供应
x11 + x12 ≤ 500 + x
购买x↓ 购买 ↓ 库存500吨 A 库存 吨
x21 + x 22 ≤ 1000
x ≤ 1500
x21
x11 x12
库存1000吨 B x22 吨 库存
约束 条件
汽油含原油A 汽油含原油 的比例限制
A B
x11 ≥ 0.5 ⇔ x11 ≥ x21 x11 + x21
利润： 购买原油A的支出 问题 • 利润：销售汽油的收入 - 购买原油 的支出 分析 • 难点：原油 的购价与购买量的关系较复杂 难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂 原油A的购买量 原油A, 生产汽油甲 乙的数量 的购买量, 生产汽油 决策 原油 的购买量,原油 B生产汽油甲,乙的数量 x11 变量 4.8千元 吨 千元/吨 购买x→ 购买 → A
汽车厂生产计划 模型建立
钢材 小型 1.5 中型 3 250 3 大型 5 400 4 现有量 600 60000
设每月生产小、 设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x 汽车的数量分别为 1, x2, x3
时间 280 利润 2
Max z = 2 x1 + 3x 2 + 4 x3
s. t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3 ≤ 600
模型求解
方法1 方法
x1 , x2 , x3 ~以价格 以价格10, 8, 6(千元/吨)采购 的吨数 千元/ 采购A的吨数 以价格 千元 x= x1+x2+x3, c(x) = 10x1+8x2+6x3 目标 Max z = 4.8( x11 + x21) + 5.6( x12 + x22 ) − (10x1 + 8x2 + 6x3 ) 函数 • 500吨≤ x≤ 1000吨，超过 吨的8千 吨 ≤ 吨 超过500吨的 千元/吨 吨的 增加约束 只有当以10千元 吨的价格购买x 千元/吨的价格购买 只有当以 千元 吨的价格购买 1=500(吨)，才能以 ( 8千元 吨的价格购买 2 千元/吨的价格购买 千元 吨的价格购买x
非线性规划（ 非线性规划（Non- Linear Programming，简记 ，简记NLP） ） NLP 虽 然 可 用 现 成 的 数 学 软 件 求 解 ( 如 LINGO, , MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。 ) 但是其结果常依赖于初值的选择。 实践表明， 本例仅当初值非常接近上面方法算出 实践表明 ， 的最优解时，才能得到正确的结果。 的最优解时，才能得到正确的结果。
用库存的500吨原油 、500吨原油 吨原油A、 吨原油 吨原油B 用库存的 吨原油 生产汽油甲，不购买新的原油A， 生产汽油甲，不购买新的原油 ， 利润为4,800千元。 利润为 千 LINGO得到的是局部最优解，还 得到的是局部最优解， 得到的是局部最优解 能得到更好的解吗？ 能得到更好的解吗？
方法1： 方法 ：LINGO求解 求解
Objective value: 4800.000 Variable Value Reduced Cost X11 500.0000 0.0000000E+00 X21 500.0000 0.0000000E+00 X12 0.0000000E+00 0.0000000E+00 X22 0.0000000E+00 0.0000000E+00 X1 0.1021405E-13 10.00000 X2 0.0000000E+00 8.000000 X3 0.0000000E+00 6.000000 X 0.0000000E+00 0.0000000E+00
IP 的最优解 1=64，x2=168，x3=0，最优值 的最优解x ， ， ，最优值z=632
汽车厂生产计划
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。 若生产某类汽车，则至少生产80辆 求生产计划。 80
s. t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3 ≤ 600
Max z = 2 x1 + 3 x 2 + 4 x3
x21 x12
甲(A≥50%) ≥
千元 吨
B x 22
千元/吨 千元 乙(A≥60%) 5.6千元 吨 ≥ c(x) ~ 购买原油 的支出 购买原油A的支出
目标 函数
利润(千元 利润 千元) 千元
Max z = 4.8( x11 + x21 ) + 5.6( x12 + x22 ) − c( x)
c(x)如何表述？ 如何表述？ 如何表述
模型求解
整数规划( 整数规划(Integer Programming,简记 ) ,简记IP) IP可用 可用LINDO直接求解 可用 直接求解
max 2x1+3x2+4x3 st 1.5x1+3x2+5x3<600 280x1+250x2+400x3<60000 end gin 3 “gin 3”表示“前3个变量为 表示“ 表示 个变量为 整数” 等价于： 整数”，等价于： gin x1 gin x2 gin x3
LINDO 中 对 01变量的限定： 变量的限定： 变量的限定 int y1 int y2 int y3
x1 ≤ My1 , x1 ≥ 80 y1 , y1 ∈{0,1} M为大的正数， 为大的正数， 为大的正数 可取1000 x2 ≤ My2 , x2 ≥ 80 y2 , y2 ∈{0,1} 可取
280x1 + 250x2 + 400x3 ≤ 60000
x1 , x 2 , x3 ≥ 0
线性 规划 模型 (LP)
模型 求解
结果为小数， 结果为小数， 怎么办？ 怎么办？
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.2581 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.731183 3) 0.000000 0.003226
x1 = 0, x 2 = 0, x3 ≥ 80
x1 = 0, x 2 ≥ 80, x 3 = 0
280x1 + 250x2 + 400x3 ≤ 60000 x1 = 0, x2 ≥ 80, x3 ≥ 80 × x1,x2,, x3=0 或 ≥80 x1 ≥ 80, x 2 = 0, x3 = 0
方法1：分解为 个 子模型 方法 ：分解为8个LP子模型 其中3个子模型应去掉， 其中 个子模型应去掉，然后 去掉 逐一求解，比较目标函数值， 逐一求解，比较目标函数值， 再加上整数约束，得最优解： 再加上整数约束，得最优解：
x1 ≥ 80, x2 ≥ 80, x3 = 0
x1 ≥ 80, x2 = 0, x3 ≥ 80
x1 ≥ 80, x2 ≥ 80, x3 ≥ 80
x1 , x 2 , x 3 = 0
× ×
x1=80，x2= 150，x3=0，最优值 ， ， ，最优值z=610
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。 若生产某类汽车，则至少生产80辆 求生产计划。 80 方法2：引入 变量 变量， 方法 ：引入0-1变量，化为整数规划 x1=0 或 ≥80 x2=0 或 ≥80 x3=0 或 ≥80
例2 原油采购与加工
库存500吨 原油 吨 原油A 库存 库存1000吨 原油 吨 原油B 库存 汽油甲 售价 售价4800元/吨 元吨 (A≥50%) ≥ 汽油乙 售价 售价5600元/吨 元吨 (A≥60%) ≥
市场上可买到不超过1500吨的原油 ： 吨的原油A： 市场上可买到不超过 吨的原油 • 购买量不超过 购买量不超过500吨时的单价为 吨时的单价为10000元/吨； 吨时的单价为 元 • 购买量超过 购买量超过500吨但不超过 吨但不超过1000吨时，超过 吨时， 吨但不超过 吨时 超过500吨的 吨的 部分8000元/吨； 部分 元 • 购买量超过 购买量超过1000吨时，超过 吨时， 吨的部分6000元/吨。 吨时 超过1000吨的部分 吨的部分 元 应如何安排原油的采购和加工 ？
x12 ≥ 0.6 ⇔ 2x12 ≥ 3x22 x12 + x22
x21 x22
x11 x12
甲(A≥50%) ≥ 乙(A≥60%) ≥
目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划； 不是线性函数，是非线性规划； 目标函数中 不是线性函数 对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软 ， 对于用分段函数定义的 件也难以输入和求解； 件也难以输入和求解； 想办法将模型化简，用现成的软件求解。 想办法将模型化简，用现成的软件求解。
1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值 ）舍去小数： ， ，算出目标函数值z=629，与 ， LP最优值 最优值632.2581相差不大。 相差不大。 最优值 相差不大 2）试探：如取 1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数 ）试探：如取x ， ； ， 等 值z，通过比较可能得到更优的解。 ，通过比较可能得到更优的解。 • 但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？ 但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？ 3） 模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解。 均为整数，重新求解。 ） 模型中增加条件：
( x 2 − 500) x3 = 0
( x1 − 500) x 2 = 0
0 ≤ x1 , x2 , x3 ≤ 500
非线性规划模型，可以用 非线性规划模型，可以用LINGO求解 求解