(必考题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测题(含答案解析)(5)

一、选择题
1．把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有（ ）种． A ．60
B ．72
C ．96
D ．150
2．已知（x x ﹣a x
）5
的展开式中，常数项为10，则a ＝（ ） A ．﹣1
B ．1
C ．﹣2
D ．2
3．在10
3
2x x ⎛
- ⎪⎝
⎭的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．105
32
B ．5
6638x -
C ．531058
x
D ．
5
215x -
4．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（ ）种 A ．27
B ．81
C ．54
D ．108
5．212n
x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭-的展开式中二项式系数之和是64，含6x 项的系数为a ，含3x 项系数为b ，则a b -=（ ） A ．200 B ．400 C ．-200
D ．-400
6．设5n
x x ⎛
- ⎪⎝
⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若
M N -=240，则展开式中x 的系数为（ ）
A ．300
B ．150
C ．－150
D ．－300
7．如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D 四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )
A ．400
B ．460
C ．480
D ．496
8．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种
B ．150种
C ．96种
D ．114种
9．设40
cos2t xdx π
=
⎰
,若2018
2012(1)
x a a x a x t
-=++20182018a x ++,则
1232018a a a a +++
=( )
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．256
10．()
6
232x x ++展开式中x 的系数为（ ） A ．92
B ．576
C ．192
D ．384
11．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．240种
B ．288种
C ．192种
D ．216种
12．1231261823n n
n n n n C C C C -+++⋯+⨯=（ ）
A ．
2123
n + B ．
()2413
n
- C ．123n -⨯ D ．
()
2313
n
- 二、填空题
13．若变量x ，y 满足约束条件202020x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩，22n x y =+-，则n 取最大值时，
12n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
二项展开式中的常数项为______．
14．若()*212n
x n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝
⎭N 的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常
数项是__________.
15．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）
16．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.（用数字作答）.
17．若()5
23450123452x a a x a x a x a x a x -=+++++，则
012345a a a a a a -+-+-=_________.
18．()()4
2x y x y ++的展开式中32x y 的系数为______________.
19．()6
221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为______． 20．将A ，B ，C ，D 四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A ，B 不能放入同一个盒子中，则不同的放法有______种．
三、解答题
21．
已知n
x ⎛
⎝
的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于128. （1）求展开式中所有项的系数和； （2）求展开式中所有的有理项.
22．求值：（1）3333
64530C C C C +++⋅⋅⋅+；
（2）12330
303030302330C C C C +++⋅⋅⋅+.
23．
已知2n
x ⎛
⎝
展开式前三项的二项式系数和为22.
（1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 24．设()5
2501252x 1a a x a x a x -=++++，求：
（1）015a a a +++；
（2）015a a a ++
+；
（3）135a a a ++；
（4）()()2
2
024135a a a a a a ++-++．
25．已知5n
x ⎛
⎝
.
（1）当6n =时，求： ①展开式中的中间一项； ②展开式中常数项的值；
（2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，求展开式中含x 项的系数.
26．若2012112n
n n x a a x a x a x ⎛⎫-=+++
+ ⎪⎝⎭
，且27a =.
（1）求112n
x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中二项式系数最大的项； （2）求2
3
112342222n n a a a a a -++++
+的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D
【分析】
先把5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，再将他们分配下去即可求出． 【详解】
5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，故共有12354
5
2
2
25C C C A +=种分组方式，再将他们分配到图书馆、食堂、学生活动中心有3
36A =种方式，根据分步乘法计数原理可
知，不同的安排方法共有256150⨯=种． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查有限制条件的排列组合问题的解法应用，解题关键是对“至少”的处理，属于中档题．方法点睛：常见排列问题的求法有： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．
2．A
解析：A 【分析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项为10，求得a 的值． 【详解】
5()a x x x -的展开式中，通项公式为15552155()()()r
r r r r r
r a T C x x C a x x
--+==--，
令
15502
r
-=，求得3r =， 可得常数项为3
35
()10C a -=，求得1a =-. 故选：A 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，考查根据展开式的某一项求参数的值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．D
解析：D 【分析】
根据最大的系数绝对值大于等于其前一个系数绝对值；同时大于等于其后一个系数绝对值；列出不等式求出系数绝对值最大的项； 【详解】
10
∴二项式展开式为：
(10)1
1
3
2
110
1
2
k
k
k
k
T C x x
-
-+
⎛⎫
⎛⎫
=-
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
设系数绝对值最大的项是第1
k+项，
可得
1
1
1010
1
1
1010
11
22
11
22
k k k k
k k k k
C C
C C
-
-
+
+
⎧⎛⎫⎛⎫
≥
⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨
⎛⎫⎛⎫⎪
≥
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
可得
111
1
2
101
1
12
k
k
k
k
-
⎧
≥
⎪⎪
⎨
-
⎪≥⋅
⎪+
⎩
，解得
811
33
k
≤≤
*
k N
∈
∴3
k=
在
10
的展开式中，
系数的绝对值最大的项为：
3
71
1
3
10
5
2
3
2
4
1
2
15
x x
T C x-
⎛⎫
⎛⎫
=-=
⎪
⎭
-
⎪
⎝⎭⎝
故选：D.
【点睛】
本题考查二项展开式中绝对值系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．
4．B
解析：B
【分析】
以特殊元素甲为主体，根据分类计数原理，计算出所有可能的情况，求得结果.
【详解】
甲在五楼有33种情况，
甲不在五楼且不在二楼有112
32
354
C C⨯=种情况，
由分类加法计数原理知共有542781
+=种不同的情况，
故选B.
【点睛】
该题主要考查排列组合的有关知识，需要理解排列组合的概念，根据题目要求分情况计数，属于简单题目.
5．B
解析：B
【分析】
由展开式二项式系数和得n ＝6，写出展开式的通项公式，令r=2和r=3分别可计算出a 和b 的值，从而得到答案. 【详解】
由题意可得二项式系数和2n ＝64，解得n ＝6．
∴212n
x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭-的通项公式为：()()6261231661212r
r r r r r r
r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∴当r=2时，含x 6项的系数为()2
262612240C a --==， 当r=3时，含x 3项的系数为()3
363612160C b --=-=，
则400a b -=, 故选B ． 【点睛】
本题考查二项式定理的通项公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
6．B
解析：B 【分析】
分别求得二项式展开式各项系数之和以及二项式系数之和，代入240M N -=，解出n 的值，进而求得展开式中x 的系数. 【详解】
令1x =，得4n M =，故42240n n M N -=-=，解得4n =.二项式为4
5x
⎛ ⎝
，展
开式的通项公式为()()13
44422
44515r
r r r r r r C x x C x ----⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
，令3412r -=，解得
2r
，故x 的系数为()2
422
4
15150C --⋅⋅=.故选B. 【点睛】
本小题主要考查二项式展开式系数之和、二项式展开式的二项式系数之和，考查求指定项的系数，属于中档题.
7．C
解析：C 【解析】
分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有3
1
1
1
6321C C C C 种方法，用四种颜色涂色时，有4
1
1
2
6322C C C A 种方法，根据分类计数原理得到结果.
详解：只用三种颜色涂色时，有3111
6321120C C C C =种方法， 用四种颜色涂色时，有4112
6432360C C C A =种方法，
根据分类计数原理得不同涂法的种数为120+360=480. 故答案为C.
点睛：（1）本题主要考查计数原理，考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用的方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.
8．D
解析：D 【解析】
分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.
详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：
①三个路口人数情况3，1，1，共有33
5360C A =种情况；
②三个路口人数情况2，2，1，共有223
5332
2
90C C A A ⋅=种情况. 若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路
口，则有23
4336C A =种，
故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有609036114+-=种. 故选：D.
点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.
9．B
解析：B 【解析】
分析：先求定积分，再求()()()()12320181,010f f a a a a f f +++
=-，
详解：4
40
111cos22|02222
t xdx sin x sin π
π
π===-=⎰
，故设()(f x =1-2x 2018
)，所以
()()11,01f f ==，()()1232018100a a a a f f +++
=-=，故选B
点睛：求复合函数的定积分要注意系数能够还原，二项式定理求系数和的问题，采用赋值
法．
10．B
解析：B 【解析】
()
6
2
32x
x ++展开式中含x 的项为155
65(3)26332576C x C x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为
576；故选B.
点睛：本题考查二项式定理的应用；求三项展开式的某项系数时，往往有两种思路： （1）利用组合数公式和多项式乘法法则，如本题中解法；
（2）将三项式转化成二项式，如本题中，可将26(32)x x ++化成66(1)(2)x x ++，再利用两次二项式定理进行求解.
11．D
解析：D 【详解】
最前排甲，共有5
5A 120=种；最前排乙，最后不能排甲，有
种，根据加法原
理可得，共有种，故选D ．
考点：排列及计数原理的应用．
12．B
解析：B 【解析】
1212618323n n
n n n C C C C -+++
+⨯=
12
20012
222(333)(33331)3
3
n n n n n n n n n n n C C C C C C C =
⨯+⨯+⨯=
⨯+⨯+⨯+⨯-
22
[(13)1](41)33
n n =+-=-选B. 二、填空题
13．240【分析】首先利用约束条件得到可行域结合的几何意义求出其最大值然后对二项式的通项求常数项【详解】作出可行域如图：由变形为当此直线经过图中时直线在轴的截距最大最大所以的最大值为所以二项展开式中的通
解析：240 【分析】
首先利用约束条件得到可行域，结合z 的几何意义求出其最大值，然后对二项式的通项求常数项． 【详解】 作出可行域如图：
由22n x y =+-变形为22y x n =-++，
当此直线经过图中(2,4)B 时，直线在y 轴的截距最大，n 最大，
所以n 的最大值为22426⨯+-=，
所以1n x ⎛⎫ ⎪⎝⎭二项展开式中的通项为636266
12r
r r
r r
r C C x
x --⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，
当4r =此项为常数项，
所以常数项为4
4
62240C =； 故答案为：240． 【点睛】
本题考查了简单线性规划问题与二项式定理的运用；关键是利用数形结合正确求出n ，然后由二项展开式通项求常数项．
14．240【解析】分析：利用二项式系数的性质求得n 的值再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的常数项详解：的展开式中所有二项式系数和为则；则展开式的通项公式为令求得可得展开式中的常数项是故答案为240点
解析：240 【解析】
分析：利用二项式系数的性质求得n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．
详解：212n
x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式系数和为264n =，，则6n = ；
则6
221122n x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭展开式的通项公式为626631661212r r r r r r
r r r T C x x C x ----+=⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅（）（）（），
令630r -=，求得2r ，可得展开式中的常数项是22
4612240C ⋅-⋅=（
）， 故答案为240．
点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
15．8【解析】当在最右边位置时由种排法符合条件；当在从右数第二个位置时由种排法符合条件把件不同的产品摆成一排若其中的产品与产品都摆在产品的左侧则不同的摆法有种故答案为
解析：8 【解析】
当C 在最右边位置时，由3
36A = 种排法符合条件；当C 在从右数第二个位置时，由
222A =种排法符合条件，把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在
产品C 的左侧，则不同的摆法有6+2=8种，故答案为8.
16．【分析】根据题意假设正五角星的区域依此为分析6个区域的涂色方案数再根据分步计数原理计算即可【详解】根据题意假设正五角星的区域依此为如
图所示：要将每个区域都涂色才做完这件事由分步计数原理先对区域涂色有 解析：96
【分析】
根据题意，假设正五角星的区域依此为A 、B 、C 、D 、E 、F ，分析6个区域的涂色方案数，再根据分步计数原理计算即可. 【详解】
根据题意，假设正五角星的区域依此为A 、B 、C 、D 、E 、F ，如图所示：
要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对A 区域涂色有3种方法，
B 、
C 、
D 、
E 、
F 这5个区域都与A 相邻，每个区域都有2种涂色方法，
所以共有32222296⨯⨯⨯⨯⨯=种涂色方案. 故答案为：96 【点睛】
方法点睛：涂色问题常用方法：
(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法； (2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；
(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.
17．【分析】根据二项式定理知为正数为负数然后令可得出所求代数式的值【详解】展开式通项为当为偶数时即为正数；当为奇数时即为负数故答案为：【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算解题时要结合二项 解析：1
【分析】
根据二项式定理知0a 、2a 、4a 为正数，1a 、3a 、5a 为负数，然后令1x =可得出所求代数式的值. 【详解】
展开式通项为()5
515
2
r
r r
r r r r T C x a x -+==⋅⋅-=∑，
当r 为偶数时，0r a >，即0a 、2a 、4a 为正数；当r 为奇数时，0r a <，即1a 、3a 、5a 为负数.
()5
012345012345211a a a a a a a a a a a a ∴-+-+-=+++++=-=.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算，解题时要结合二项展开式通项确定各系数的正负，便于去绝对值，考查计算能力，属于中等题.
18．14【分析】针对部分由二项式定理知通项为结合整个代数式有的项组成为即可求其系数【详解】对于由二项式通项知：∴含项的组成为：∴的系数为14故答案为：14【点睛】本题考查二项式定理根据已知代数式形式求指
解析：14 【分析】
针对4
()x y +部分由二项式定理知通项为414r r
r r T C x
y -+=，结合整个代数式有32x y 的项组
成为22213
442x C x y y C x y ⋅+⋅即可求其系数. 【详解】
对于4
()x y +，由二项式通项知：414r r
r r T C x
y -+=，
∴含32x y 项的组成为：22213
2
1
3
2
44442(2)x C x y y C x y C C x y ⋅+⋅=+， ∴32x y 的系数为14. 故答案为：14. 【点睛】
本题考查二项式定理，根据已知代数式形式求指定项的系数，属于基础题.
19．80【分析】先求出展开式中的常数项与含的系数再求展开式中的常数项【详解】展开式的通项公式为: 令解得 令解得 展开式中常数项为: 故答案为：80【点睛】本题考查二项展开式常数项的求解属于基础题
解析：80 【分析】
先求出6
2x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中的常数项与含21x 的系数,再求(
)6
221x x x ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭展开式中的常数
项. 【详解】
6
2x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为: 662166(2)2r
r r r r
r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭
, 令620r -=，解得3r =,
33
316(2)160T C +∴=-⋅=-，
令622r -=-，解得4r =,
444162211
(2)240T C x x
+∴=-⋅⋅
=⋅， ()6
212x x x ⎛
⎫∴+- ⎪⎝
⎭展开式中常数项为: (160)24080-+=.
故答案为：80. 【点睛】
本题考查二项展开式常数项的求解，属于基础题.
20．30【分析】先假设可放入一个盒里那么方法有种减去在一个盒子的情况就有5种把2个球的组合考虑成一个元素就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子从而可得到结果【详解】解：由题意知有一个盒子至少要放入2球
解析：30 【分析】
先假设,A B 可放入一个盒里，那么方法有24C 种，减去,A B 在一个盒子的情况，就有5种，把2个球的组合考虑成一个元素，就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子，从而可得到结果． 【详解】
解：由题意知有一个盒子至少要放入2球，先假设,A B 可放入一个盒里，那么方法有246C =.
再减去,A B 在一起的情况，就是615-=种．把2个球的组合考虑成一个元素，
就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子，那么共有3
36A =种．
∴根据分步计数原理知共有5630⨯=种． 故选：C ． 【点睛】
本题考查分步计数原理，考查带有限制条件的元素的排列问题.两个元素不能同时放在一起，或两个元素不能相邻，这都是常见的问题，需要掌握方法．
三、解答题
21．（1）1256；（2）716
. 【分析】
（1）先利用二项式系数的性质，求出n 的值，然后令1x =，即可求出展开式中所有项系数的和.
（2）求出通项，然后令x 的指数为整数，即可求出所有的有理项. 【详解】
解：（1）由已知得024
12128n n n n C C C -+++
==，故8n =.
在n
x ⎛ ⎝中，令1x =可得展开式中各项系数的和为8
112256⎛⎫= ⎪⎝⎭
. （2）展开式的通项为4831812k
k k k T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，
∵08k ≤≤，k ∈N ，令0k =，3，6，得4883
r
-
=，4，0.
所以有理项为：81T x =，4
47T x =-，7716
T =. 【点睛】
本题考查利用二项展开式的通项研究系数、特定项的问题，同时考查学生运用转化思想解决问题的意识及计算能力.属于中档题. 22．（1）31464；（2）29302⋅. 【分析】
（1）根据组合数性质11m m m
n n n C C C -++=即可得结果； （2）根据组合数性质012
2n n n n n n C C C C +++
+=即可得结果；
【详解】
（1）333343333
456304456301C C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+-
4311C =-31464=
（2）(
)
12330
01229
3030303029292929233030C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+
29302=⋅ 【点睛】
本题主要考查了通过组合数的性质计算式子的值，熟练掌握运算性质是解题的关键，属于中档题.
23．（1）60（2）3
2160x 【分析】
（1）根据2n
x
⎛ ⎝
展开式前三项的二项式系数和为22，由012
22n n n C C C ++=，解得6n =，再得到2n
x
⎛+ ⎝
展开式的通项1r T +366262r
r r C x --=，令3602r -=求解. （2）根据6n =，得到展开式中二项式系数最大的项为第四项，再利用通项公式求解.. 【详解】
（1）因为2n
x
⎛
⎝
展开式前三项的二项式系数和为22，
所以012
22n n n C C C ++=，
即(1)
1222
n n n -++
=， 所以2420n n +-=， 解得6n =或7n =-（舍去）.
所以2n
x
⎛+ ⎝展开式的通项为：16216(2)r
r r r T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭
366262r r r C x --=，
令3
602
r -
=，得4r =， 所以展开式中的常数项为41T +=420
6260C x =.
（2）因为6n =，
所以展开式中二项式系数最大的项为第四项，
即3
13332
2316(2)160T C x x x -+⎛⎫== ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的通项公式，二项式系数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
24．（1）1；（2）243；（3）122；（4）243- 【分析】
（1）令x=1即得015a a a +++的值；（2）在521x +（）
中，令1x =得解；（3） 先求出f(1)－f(-1)即得解；（4）求f(1)·
f(-1)即得解. 【详解】
∵()5
2501232x 1a a x a x a x -=+++
+， （1）令1x =，可得015a a a 1++
+=；
（2）在5
21x +（）中，令1x =，可得015a a a 243+++=；
（3）令f(x)=()5
250125 2x 1a a x a x a x -=+++
+,
f(1)=015 a a a 1+++=,
所以f(-1)=012345243a a a a a a -+-+-=-， 所以f(1)-f(-1)=2135()244a a a ++=, 所以135122a a a ++=．
（4）22
024135a a a a a a ++-++（）（）
012345012345a a a a a a a a a a a a =+++++-+-+-
()()1?11243243f f =-=⨯-=-．
【点睛】
本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
25．（1）①32
2500x -；②375；（2）150.
【分析】
（1）当6n =时，利用二项式定理，二项展开式的通项公式，可求出特定的项以及常数项的值；
（2）根据展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于240求出n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含x 项的系数． 【详解】
（1）①当6n =时，6
5x
⎛
- ⎝
的展开式共有7项，
展开式中的中间一项为()3
33
33
322
465201252500T C x x x -⎛=⋅⋅=-⨯=- ⎝
；
②展开式的通项公式为()
()3
6662
166515r
r r
r r
r r r T C x C x
---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎝， 令3602
r -
=，得4r =，所求常数项的值为()44
2615375C ⋅-⋅=； （2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于240，
而展开式中各项系数之和为4n ，各二项式系数之和为2n ， 则42240n
n
，即()()2152160n n
+-=，解得4n =.
所以，展开式通项为()
()3
4442
144515r
r r
r r
r r r T C x C x
---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎝
， 令3
412r -=，解得2r ，因此，展开式中含x 项的系数为()2
2
24
15150C ⋅-⨯=. 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档
题． 26．（1）4
358
x （2）12-
【分析】
（1）由二项展开式通项公式得出2a ，然后由27a =求出n ，根据二项式系数的性质得出最大项的项数，再求出该项即可；
（2）在展开式中令0x =可得0a ，令2x =再结合0a 可得结论． 【详解】
（1）因为2
2222321124
n n T C x C x a x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，且27a =， 所以
21(1)7(8)(7)048
n n n C n n -==⇒-+=，解得8n =或7n =-（舍），
故112n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项为第5项，为454
4813528T C x x ⎛⎫=-=
⎪⎝⎭
； （2）令0x =，可知01a =，
令2x =，得2
3
4
01234022222n n a a a a a a =++++++，
所以2
3
4
1234222221n n a a a a a +++++=-，
故()2
3
1234123412341
1
2222222222
2
n n n n a a a a a a a a a a -+++++=
+++++=-
. 【点睛】
本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，考查赋值法求系数的和．属于基本题型．。