外文翻译(一维符合材料介质非稳态传热过程的分析方法)

An analytic approach to the unsteady heat conduction processes in one-dimensional composite media
一维符合材料介质非稳态传热过程的分析方法
摘要：
一维层叠体瞬态传热问题常采用基于Vodicka的传统方法解决，然而，如果把每一层的热扩散系数放在传热方程的一侧，在时间变量函数采集点处，采用分离变量法对传热方程进行修正，则修正传热方程自动成立，表示处于一种透明的物理状态。

这种自动的选择简化了对复合材料介质的非稳态传热分析，与传统方法比较，热效应计算简化成了一种相对简单的数学问题。

1、绪论：
一种实际应用于层叠系列复合材料的瞬态温度效应的闭式方法最初是由Vodicka提出的，他采用分离变量法解热传问题的偏微分方程，在变量分离时，Vodicka将热扩散系数保留在传热方程的一侧，在传热方程中建立空间变量函数。

这种选择使得时间变量函数独立于热扩散，因此，尽管这种方法可以给出正确的定量的结果，但并不能表示真实的物理问题，而且特征值和相应的本征函数的计算非常耗时且复杂。

在Vodicka之后，复合材料的非稳态传热问题的分析经过50多年的发展，其中包括一些个人的贡献，
2、M层非稳态传热数学建模
假定一复合材料有M层平板处于理想化热接触条件，如图1所示，k i和a i分别是第i层的热传到效率和热扩散效率（i=1,2……M），初始体（t=0），限制其变化范围x1≤x≤x M+1,具有特定的温度f（x）。

t=0时刻，固体复合材料两
界面受到对流热通量的作用，温度为T
，传热系数为ℎ1的流体流经x=x1的外表
∞
，传热系数为ℎM+1的流体流经另外一边的外表面面，另有一具有相同的温度T
∞
x=x M+1。

非稳态热传导过程的数学建模假设：
（a ） 自身不产热。

（b ） 热性能，如传导率、扩散率等，与温度无关，且M 层板材中层内均匀。

（c ） 介质周围，流体温度为T ∞，空间均匀，且时间t>0时保持恒定。

（d ） 层叠板在y 向和z 向相对于厚度x 方向局游戏足够大的尺寸。

（e ） 热转换效率ℎ1和ℎM+1均匀恒定。

因此，热传导问题可认为是线性的、一维的、均匀的。

设θi (x ，t)=T ∞−T i (x ，t)（i =1,2，……，M ），最终，通过整合系统（如矩形，圆柱或球形系统）的数学公式可以表示为：
∙热传导差分方程
1x q ððx (x q ðθi ðx )=1αi ðθi ðt
x ∈[x i ，x i+1](i =1,2，……，M) （1） q=0，1,2 分别代表平板、圆柱、球体
∙外部边界条件（x=x 1）
−k 1(ðθ1ðx )x 1
+ℎ1θ1(x 1，t)=0 （2） ∙ 内部边界条件（x=x i ）
θi−1(x i ，t)=θi (x i ，t)(i =2,3，……，M) （3）
k i−1(ðθi−1ðx )x i =k i (ðθi ðx )x i
(i =2,3，……M) （4） ∙ 外部边界条件（x=x M+1）
k M (ðθM ðx )X M+1
+ℎM+1θM (x M+1，t)=0 （5） ∙ 初始边界条件
θi(x，t=0)=F i(x) x∈[x i，x i+1](i=1,2，……，M) （6）公式（3）表明，x i相互独立的M层板材料表面两相邻区域的温度相等，公式（4）则相反，热通量连续，与内界面相对应，公式（1）—（6）可通过分析求解。

3.自然分析法解M层非稳态传热问题
公式（1）可通过工件假设法求解（分离变量法）定义为
θi(x，t)=X i(x)G i(t) t≥0,
x∈[x i，x i+1](i=1,2，……，M) （7）
由公式（7）替代（1），得到传热修正方程
1 x q 1
X i
d
dx
(x q
dX i
dx
)=
1
αi G i
dG i
dt
=−λi2
t≥0，x∈[x i，x i+1](i=1,2，……，M) ，（8）λi(i=1,2，……M)是分离常量，与各层相对应，且与物理约束条件相关联，分离变量时，热扩散率αi保留在公式（8）的左边，建立随时间变化的函数，自然分析法使得函数G i（t）明显依赖于相应的热扩散率，所以，问题的解析结果与瞬态热传导过程的物理事实保持一致。

公式（8）给出的自然分离产生从2到M 的通用型微分方程。

dG i dt +λi2αi G i=0， t≥0(i=1,2，……M)，（9）1
x q
d
dx
(x q
dX i
dx
)+λi2X i=0 , x
∈[x i，x i+1](i=1,2，……，M) （10）
可过公式（9）解时间变量函数，得：
G i(t)=e−λi2αi t， t≥0(i=1,2，……M) （11）空间变量函数的解则是通过解Helmholtz方程（10）得到，方程（10）只取决于空间坐标x，可以表示成：
X i(x)=αi Xα(λi，x)+b i X b(λi，x)，
x∈[x i，x i+1](i=1,2，……，M)，（12）Xα(λi，x)和X b(λi，x)是式子（10）的两个线性不相关的解，αi和b i是与第i层复合介质相关的整合常数。

表1表示矩形、圆柱和球形复合层的函数Xα(λi，x)和
X b(λi，x)。

3.1.边界条件的应用
根据条件，解θi(x，t)=X i(x)G i(t)（i=1,2，……M）满足边界条件（2）—（5），得到如下结果：
X i(x)=α1Φi(λ1，……，λi，x)，
x∈[x i，x i+1] (i=1,2，……，M) ，（13）λi=λ1√α1αi
⁄ (i=2,3，……M) （14）公式（14）约束了离散常数k i和热扩散效率αi，复合介质的不同区域，αi不
同，由于热扩散在各个分离层之间并不连续，因此它们是确保内部边界条件（3）和（4）得到验证的基础。

事实上，这些关系最初来自表[11]。

式子（13）中给定函数Φi和X i（i=1,2，……M）为：
Φ1(λ1)=1；Φi(λ1，……，λi)=Φi,i−1，Φi−1,i−2…Φ3,2Φ2,1
(i=1,2，……，M)，（15）
X ĩ(λ1，……，λi，x)=Xα(λi，x)+∏(λ1，……，λi)
i
X b(λi，x)，
x∈[x i，x i+1](i=1,2，……，M)，（16）
函数Φ
i，i−1
（i=2,3，……M）出现在式子（15）中，定义为：
Φi,i−1(λ1，……，λi)=X ĩ(λ1，……，λi−1，x i)
X ĩ(λ1，……，λi，x i)
，(i=2,3，…M) （17a）ΦM,M−1(λ1，……，λM)
=K M−1
K M
X̃M−1
‘(λ1，……，λM−1，x M)
X̃M’(λ1，……，λM，x M)
（17b）
可见函数ΦM ，M−1可以通过令式子（17a ）中i=M 和式子（17b ）求得，而给
定函数∏（i =1,2，……M ）i ，直接出现在式子（16）中，并以X
i ̃的形式间接的出现在式子（17a ）和（17b ）中，该函数表示为：
∏(λ1)1
=−ℎ1X α(λ1，x 1)−k 1X α‘(λ1，x 1)
ℎ1X b (λ1，x 1)−
k 1X b ‘(λ1，x 1)， （18a ） ∏(λ1，……，λi )I =−[k i X α‘(λi ，x i )X ̃i−1‘(λ1，……，λi−1，x i )
−k i−1X α(λi ，x i )X ̃i−1‘(λ1，……，λi−1，x i )]
/[k i X b ‘(λi ，x i )X ̃i−1‘(λ1，……，λi−1，x i )
−k i−1X b (λi ，x i )X ̃i−1‘(λ1，……，λi−1，x i )]
(i =2,3,……M )， （18b ） ∏(λM )M
=−ℎM+1X α(λM ，x M+1)+k M X α‘(λM ，x M+1)
ℎM+1X b (λM ，x M+1)+k M X b ‘(λM ，x M+1)， （18c ） 也可以看出，函数ПM 可以令i=M 由式子（18b ）和式子（18c ）求得，观察式子（14），这两个方程至于分离常数λi 有关（见下一部分）。

3.2.式子（14）的应用
考虑到M-1个与（14）相关联的设定λ1=λ和a 1=c ，对函数θi (x ，t)（i =1,2，……M ）的解做如下假设：
θi (x ，t)=cΦi (λ)X
̃i ‘(λ1，x)e −λ2αi t ， t ≥0， x ∈[x i ，x i+1](i =1,2，……，M)， （19）
函数X
̃i ‘(i =1,2，……M)则为： X ̃i ‘(λ，x)=X α(λ√a 1a i ⁄，x)+∏(λ1X b (λ√a 1a i ⁄，x))1
， x ∈[x i ，x i+1](i =1,2，……，M)， （20）
式子（10）的线性不相关解，即式子（20）中的X α(λ√a 1a i ⁄，x)和X b (λ√a 1a i ⁄，x)可通过在表1中简单设置λi =λ√a 1a i ⁄ （i =1,2，……M ）获得。

此外，函数Φi ，i−1（i =1,2，……M ）仍可由式子（15）确定，同时固有函数Φi ，i−1（i =1,2，……M ）可重新写成：
Φi ，i−1(λ)=X ̃i−1(λ，x i )X ̃i (λ，x i )
(i =2,3，……M)， （21a ）
ΦM ，M−1(λ)
=K M−1K M X ̃M−1‘(λ，x M )X ̃M ’(λ，x M )
， （21b ） 对于函数∏（i =1,2，……M ）i 而言：
∏(λ)1
=−ℎ1X α(λ，x 1)−k 1X α‘(λ，x 1)
ℎ1X b (λ，x 1)−k 1X b ‘(λ，x 1)， （22a ）
∏(λ)i
=−[k i X α‘(λ√a 1a i ⁄，x i )X ̃i−1‘(λ，x i ) −k i−1X α(λ√a 1a i ⁄，x i )X ̃i−1‘(λ，x i )]
/[k i X b ‘(λ√a 1a i ⁄，x i )X ̃i−1‘(λ，x i )
−k i−1X b (λ√a 1a i ⁄，x i )X ̃i−1‘(λ，x i )]
(i =2,3,……M )， （22b ）
∏(λ)M
=−[ℎM+1X α(λ√a 1a M ⁄，x M+1) +k M X α‘(λ√a 1a M ⁄，x M+1)]
/[ℎM+1X b (λ√a 1a M ⁄，x M+1)
+k M X b ‘(λ√a 1a M ⁄，x M+1)]， （22c ）
I=M 时，对比式子（21a ）和式子（21b ），同时对比i=M 时，式子（22b ）和式
子（22c ），服从如下代数方程组的设置：
X ̃M−1‘(λ，x M )X ̃M ’(λ，x M )−K M−1K M X ̃M−1‘(λ，x M )X ̃M ’(λ，x M )
=0， （23）
[
K M X α‘(λ√a 1a M ⁄，x M )X ̃M−1‘(λ，x M )−k M−1X α(λ√a 1a M ⁄，x M )X ̃M−1‘(λ，
x M )]
/[k M X b ‘(λ√a 1a M ⁄，x M )X ̃M−1‘(λ，x M )
−k M−1X b (λ√a 1a M ⁄，x M )X ̃M−1‘(λ，x M )]
−[ℎM+1X α(λ√a 1a M ⁄，x M+1)+k M X α‘(λ√a 1a M ⁄，x M+1)]
/[ℎM+1X b (λ√a 1a M ⁄，x M+1)+k M X b ‘(λ√a 1a M ⁄，x M+1)]=0 （24） 因此，式子（19）同辉满足（1）—（5），式子中c 是一常数，取决于条件
（6），λ是除0以外的任意实数（通常，圆柱大于0），满足超越方程（23）和
（24）。

然而，式子（24）表示非稳态热传导问题的特征条件，可计算相应的特征值λm （m =1,2,3，……）。

事实上，i=M 时，把式子（20）带入式子（23）中，结果，式子（23）并没有给出与特征值相关的有用信息。

因此，存在很多如式子（19）形式的解，与连续的特征值相对应，λ1<λ2<⋯<λm <⋯(m =1,2,3，……)：
θi,m (x ，t)=c m Φi,m (λ)X
̃i,m (x )e −λm 2αi t , t ≥0,x ∈[x i ，x i+1](i =1,2，……，M), （25）
式子中Φi,m =Φi (λm )；而Φi,i−1，m =Φi,i−1(λm )，函数X
̃i,m (x )=X ̃i (λm ，x)（i =1,2，……M ）是与特征值λm 相对应的特征函数，定义为：
X ̃i,m (x )=X α(λm √a 1a i ⁄，x)+∏X b (λm √a 1a i ⁄，x)i,m ，
x ∈[x i ，x i+1](i =1,2，……，M), （26）
式子中Пi ，m =∏(λm )i ，由此可证（附录A ）特征函数X ̃i ，m (x )（i =1,2，
……M ）在正交函数之前定义。

实际上，他们满足新的正交关系：
∑Φi,mΦi,n（k i
a i
）∫x q X̃i,m（x）dx
x i+1
x i
M
i=0={
0 for m≠n，
N m for m=n，
（27）
根据正交法选择分离变量，成为自然正交性，如修正传热方程（8）表示的那样。

式子（27）中的函数X̃i,m(x)和X̃i,n(x)分别代表与第i层特征值λm相对应的两个不同的特征函数。

常数称为N m标准积分，与λm相关，定义为：
N m=∑（Φi,m）2（k i
a i
）∫x q（X̃i,m）2dx
x i+1
x i
M
i=1
，（28）同时，通常，其固有积分可由下面计算（附录B）
∫x q(X̃i,m)2dx x i+1
X i =[
x q+1(X̃i,m)2
2
]
x i
x i+1
+[
x q+1(X̃i,m)2
2λm2(a1a i
⁄)
]
x i
x i+1
+(q−1)[
x q X̃i,m X̃i,m‘
2λm2（a1a i
⁄）
]x
i
x i+1
(i=2,3,……M)，（29）式子中q=0,1,2分别代表平板、圆柱、球形。

需要指出，复合材料为圆柱形时，式子（29）右侧最后一项为0（q=1）。

温度扩散函数θi,m(x，t)（i=1,2，……M）的完整的解由式子（25）的每一个解线性相加构成：
θi(x，t)=∑c mΦi,m
∞
m=1
X̃i,m(x)e−λm2αi t，
t≥0,x∈[x i，x i+1](i=1,2，……，M), （30）式子中的和是所有特征值的和。

最后解的一系列形式满足部分传热微分方程（1）及边界条件（2）—（5），但并不满足初始边界条件（6），可用于计算最后的位置系数c m。

3.3.初始条件的应用
我们对解（30）进行约束使其满足相应的初始条件（6），得：
F i(x)=∑c mΦi,m
∞
m=1
X̃i,m(x)，
x∈[x i，x i+1](i=1,2，……，M), （31）系数c m由正交关系式（27）确定，式子（31）的两端同时乘以
x q（k i a i
⁄Φi,n X̃i,n(x)，从x=x i到x=x i+1，可对结果的表达式进行整合，结果：
Φi,n (k i a i )∫x q F i (x )X ̃i,n (x )dx x i+1x i
=∑c m Φi,m ∞
m=1Φi,n （k i a i ）∫x q X ̃i,m (x )X ̃i,n (x )dx x i+1x i (i =1,2，……，M), （32） 总结生成的表达式（32），从i=1到M （即整个复合介质区域），可得：
∑Φi,n (k i a i )∫x q F i (x )X ̃i,n (x )dx x i+1x i M I=1
=∑c m [∑Φi,m Φi,n （k i a i ）∫x q X ̃i,m （x ）X ̃i,n （x ）dx x i+1x i M
i=1]∞m=1 （33） 从（27）正交性，m ≠n 时，式子（33）右侧方括号中的项为0，相当于式子（28）、（29）中m=n 时N m 。

因此，系数c m 表示为：
c m =1N m ∑Φi,m (k i a i )∫x q F i (x )X ̃i,m (x )dx x i+1x i M
I=1， （34） 将式子（34）中的系数c m 带入式子（30）中，给出M 层复合板各层温度场解的最终解的序列。

假设材料最初均有均匀温度为T 0，F i (x )=θ0（i =1,2，……，M ），则系数c m 为：
c m =θ0N m ∑Φi,m (k i a i )∫x q X ̃i,m (x )dx x i+1x i M
I=1， （35） 其中，右侧的积分通过前面的方程可以求得。

实际上，由式子（A.3），k=m 时，运用分部积分，可得：
∫x q X ̃I,m (x )dx x i+1
X i =−[x q X ̃I,m (x )λm 2(a 1a i ⁄)]
x i x i+1
(i =1,2，……，M), （36）
3.4.量纲组
根据式子（30）和（35）式和（36）式确定的c m ，与温度θi （x ，t ）（i =1,2，……M ）一样，取决于下面的物理参数（6+3M ）：
x ，t,k i , x i , x M+1, ℎ1, ℎM+1, a i , θ0(i=1,2,……M ）， （37）
Buckingham’s的‘pi’原理提到，根据四个基本量纲，质量[M]，长度[L]，时间[t]和温度[T]，这些物理变量足够用于描述非稳态热传导，缩减到四个参数，因此，应用‘pi’原理会导致共有2+4M个量纲组，可以选择一种代数方法来确定一个常用的分组[14,15]。

采用任意一种方法得到下述分组（或获得一个等效集组合）：
ξ，τ，k i，γi，γM+1，Bi1，Bi M+1，δi，Θ1，Θi
(i=2,3，……M)，（38）可见，尺寸集（38），除Θi(i=2,3，……M)之外，都是基于第一层得到的，如[16,17]。

之前的非量纲参数表会变成代数组合的形式，非相关量纲组的总数（2+4M）保持不变。

4.自然分析法的应用
这一部分我们来说明前面描述的自然分析法在复合介质包括初始温度为θ0的三个平行圆柱层的一维瞬态均匀热传导问题中的应用。

3.4中介绍了规范化变量，要解决的问题中，无量纲Θi(i=2,3，……M)可以表述为：
其中γ1=1，βm=λm x1表示下述本征条件下第m层无量纲特征值（根）：
式子（40）中的函数X̅2（γ3）和Λ2（γ3）可以分别与方程（41）和（45）联立得到，只需要使i=2，βm=β，ξ=γ3即可，对解（39）的特征方程X̅i，m （ξ）（i=1,2,3）做如下假设：
其中δ1=1。

通常，函数Пi ，m （i =1,2,3）算得：
其中X ̅1.m （γ2）和Λ1，m （γ2）的值可分别通过式子（41），（45）算得，设i=1，ξ=γ2.而式子（39）中的函数Φi ，m （i =1，2，3）变成：
其中，特征函数X
̅1.m (γ2)，X ̅2.m (γ2)，X ̅2.m （γ3）以及X ̅3.m （γ3）可以有式子（41）很容易的得到，设i=1或2或3，ξ等于γ2或γ3。

q=1时，观察式子（35）
和（36），式子（39）中的无量纲参数c m +=c m θ0⁄可通过下述表达式计算k 1=1：
其中N m +表示标准量纲N m ，定义N m +=a m N m （k 1x 12）⁄，给定规范函数Λi ，m
（ξ）：
应用3.4中定义的无量纲参数时，q=1时，式子（28）和（29）中的标准量纲N m 为：
4.1.数值结果
参考瞬态三维圆柱区域问题，我们假设前一部分中出现的无量纲值如下：
因此，可以解出超越方程（40）来确定该问题的特征值。

尽管代数运算很复杂，但运用先进的计算机技术可以很容易的解决该问题。

通常，可以通过令（p →∞），同时p为有限值时，可得到式子（39）中定义的解序列Θi(i=1，2，3)的特征值p，解的误差不超过3%，可以接受。

当然，τ=0时，可以得到与外界条件相对应的实际值之间的最大偏差和近似无量纲温度。

p=30，可以证明，ξ=γ4=6时，τ=0的偏差率低于2.8%，ξ=γ1=1时，τ=0的偏差率低于2%。

一般，本征条件（40）的前30个特征值见表2.
图2中所示，以三层圆柱复合材料的无量纲温度场作为自变量为τ的函数ξ，改变τ得到不同的参数ξ的值（图2（b）），如图2（b）所示，τ=0.3时，ξ=1曲线与ξ=5的曲线存在一个交点，因此，τ>0.3时，介质加热(θ0>0)或冷却(θ0<0)过程中，ξ=5的圆柱内表面比ξ=1的圆柱外表面温度变化速度快（ξ= 5曲线比ξ=1曲线变化平缓），这种变现说明也可以从图2（a）中看出，可以基于问题中给定的无量纲参数来判定，通常对比Bi4=2，Bi1=1，δ3=9.
5.结论
自然分析法可以用于解决多层瞬态问题，可以在无参考的的情况下应用于复合介质，即可以使矩形、圆柱形或者是球形。

与基于Vodicka’s法的瞬态法相比较，具有以下优点：
· Helmholtz方程中M层板的系数a i和b i的最终形式为i的指数形式（i=1,2，……M），因此，他们的代数表达式可以用于任意层数的复合材料。

·超越方程用于确定特征值，要具有明确的形式，对于任意层数的复合材料都是有效的。

·规范量纲N m的固有积分来自是假设积分数值q为一参数，q=0，1,2分别代表矩形、圆柱形、球形复合材料。

·积分系数c m的固有积分仍定义为通用形式，初始材料均有均匀温度时，q为其参数。

举一个关于三维平板材料的圆柱形复合介质的数学实例，初始温度均匀，验证所提出的自然分析法能够在整体简化的情况下，计算瞬态温度。

因此，很多用户可以用它来处理简单的任务。

附录A
下面我们证明自然法涉及到的特征函数（27）的正交性，即式子（26）中定义的X̅1.m(x)（i=1,2，……M），从下面的式子开始计算：
其中，给出积分I i：
解（30）中的特征函数X̅1.k(x)(i=1,2，……M，k=m，n)，定义域x i<x
⁄），k=m和n，且满足边界<x i+1,满足常微分方程（10），其中λi2=λk2（a1a i
条件（2）—（5）。

因此，由于这里对边界条件（3）的考虑是多余的，结果：
将式子（A.3）带入积分（A.2）中，然后应用分步积分，得到：
鉴于（A.4），i=1时，表达式（A.9）变为：
鉴于式子（A.5），i=2,3，……M时，表达式（A.9），可以写成：
鉴于（A.6），i=M时，表达式（A.8）变为：
鉴于式子（A.10）—（A.12），式子（A.7）中的积分I i（i=1,2，……M）可写为：
将积分（A.2）带入表达式（A.1）中，得到：
积分（A.13）—（A.15）带入表达式（A.1）中，表达式为0。

因此，结果可写为：
即可证明（27）的正交性。

附录B
用分步积分法，通过下述两种不同的积分方法解式子（28）中定义的规范化量纲N m的固有积分。

前一个方法包含两个函数x q和X̅1,m2的结果，函数x q作为一个积分，结果是：
K=m时，把式子（A.3）带入积分式子（B.1）右侧的第i重积分，然后运用分步积分，得到：
其中式子（B.2）右侧的第i重积分可由下面公式计算，实际上，k=m时，
‘两个函数结果，方设式子（A.3）的右侧导出的x q=x q−1x，区分x q−1和xX̅
i，m
程（A.3）写成：
现在，将式子（B,3）带入式子（B.2）右侧的第i重积分，得到：
鉴于式子前面提到的（B.4），式子（B.2）变为：
然后，将方程（B.5）代入方程（B.1），确定如下形式的最终结果：
后一种用来解决固有Nm范数的积分方法被认为是由函数x q X i，m和X i，m得出的结果，在这里x q X i，m 是被积函数。

之所以这样做是因为让方程（A.3）里k=m 会使函数x q X i，m 容易积分。

事实上，我们有
比较方程（B.6）和（B.7）能够得出如下结果：
把方程（B.8）代入方程（B.6）或（B.7），由于积分对范数N m是固有的，我们能够获得表达式（29），这对于矩形，圆柱形和球形的图层的复合体来说是有效的。