模型32 平行四边形：对角互补模型(学生版)
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由⑴得，BD=DE，∴ 四边形 侘੬觸＝ BD·DE＝ BD2 ⑶ 由⑴得，△BDE 是等腰直角三角形，∴∠DBC=45º，∴BD 是角平分线.
◎结论 2：如图，∠ABC=60º，∠ADC=120°，AD=DC， 则①BC+AB= BD，② 四边形 侘੬觸= BD2，③BD 是角平分线
【证明】⑴满足对角互补，邻边相等
2．（2021·重庆·西南大学银翔实验中学八年级阶段练习）如图，在四边形 ABCD 中，
AB BC, ABC CDA 90, BE AD 于 E, S四边形ABCD 10 ，则 BE 的长为__________.
1．（2019·江苏南京·八年级期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A,B 两点分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，且 OA=OB，点 C 在第一象限，OC=3，连接 BC，AC，若∠BCA=90°，则 BC+AC 的值为_________．
平行四边形 模型（三十二）——对角互补模型
◎结论 1：如图，∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC， 则①BC+AB= BD，② 四边形 侘੬觸= BD2， ③BD 是角平分线
【证明】【关键：把互补转化成相等，看到互补的条件，找其中一角的邻补角，转化成相等】 旋转相等边的夹角 ⑴ AD.CD 夹角 90°,旋转 90°,延长 BC 至 E，使 CE＝AB,连接 DE， ∵∠DAB＋∠DCB＝180°， ∠DCE＋∠DCB＝180° ，∴∠DAB＝∠DCE 在△DAB 和△DCE 中，DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE ∴△DAB≌△DCE ∴BD＝ED，∠1＝∠2 ∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°∴△BED 是等腰直角三角形 BE＝ BD,BC＋CE＝ BD，BC＋AB＝ BD ⑵ 四边形 侘੬觸= △ 侘觸 ＋ △侘੬觸＝ △੬t觸＋ △侘੬觸＝ △侘t觸＝ BD·DE
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2．（2021·全国·八年级专题练习）如图，四边形 ABCD 中，已知 AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边 形 ABCD 的面积为 4 3 ，则 AC＝_____．
3．（2021·陕西·交大附中分校八年级开学考试）问题探究 （（1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD 的大小为___________； （2）如图②，在四边形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线 BD=6．求四边形 ABCD 的面积；小明 这样来计算．延长 DC，使得 CE=AD，连接 BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形 ABCD 的面积．请 你将小明的方法完善．并计算四边形 ABCD 的面积； 问题解决 （3）如图③，四边形 ABCD 是正在建设的城市花园，其中 AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40 米，AD=30 米．请计算出对角线 BD 的长度．
AD,CD 夹角 180－a,旋转 180－a , 延长 BC 至点 E，使 CE＝AB，连接 DE ∵∠DAB＋∠DCB＝180°, ∠DCE＋∠DCB＝180° ,∴∠DAB＝∠DCE 在△DAB 和△DCE 中 , DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE ∴△DAB≌△DCE ,∴BD＝ED，∠1＝∠2 ∵∠1＋∠3＝180－a ,∴∠2＋∠3＝180－a
过 D 作 DM⊥BE 于 M，∴∠BDM＝60°，BM＝ME ，∴sin60°＝侘 ， ∴侘 ＝
侘觸
侘觸
∴ 侘 ＝ ，即 BE＝ BD，∴BC＋AB＝ BD
侘觸
⑵ 由⑴得 DM= BD，BE= BD
四边形 Ⳡ ＝ △ Ⳡ ＋ △Ⳡ ＝ △t ＋ △Ⳡ ＝ △Ⳡt ＝ BE·DM＝ · ⑶由⑴得 BD＝DE，∠BDE＝120º，∴∠B＝∠E＝30º，∴BD 是角平分线
（把图形抽离出来）由①过程可知 BE＝2BDcos a ,DM＝BD sin a
∴ △侘觸t＝ BE DM＝2BDcos a BD sin a＝ BD2 ∴ 四边形 侘੬觸＝ BD2 ③∵BD＝ED ∴∠E＝∠DBE ∵△DAB≌△DCE ∴∠ABD＝∠E ∴∠ABD＝∠DBE ∴BD 为角平分线。
（把图形抽离出来） 过 D 作 DM⊥BE 于 M，∴∠BDM＝90°－ a， ∴∠DBM＝ a，BE＝2BM，cos a＝侘
侘觸
∴2cos a＝2侘 ＝侘t , BE＝2BDcos a
侘觸 侘觸
∴BC＋AB＝2BD COS a
②【证明】由上可知△DAB≌△DCE，所以△DAB 的面积＝△DCE 的面积 ∴ 四边形 侘੬觸＝ △侘觸t
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AD.CD 夹角 120°，旋转 120°延长 BC 至点 E，使 CE＝AB，连接 DE ∵∠DAB＋∠DCB＝180°，∠DCE＋∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE 在△DAB 和△DCE 中，DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE ，∴△DAB≌△DCE ，∴BD＝ED，∠1＝∠2 ∵∠1＋∠3＝120°，∴∠2＋∠3＝120°
②∵△CDO≌△CEF ，∴DO＝EF，∴OD＋OE＝OE＋EF＝OF ，∴OD＋OE＝OC ◎结论 3：如图，∠ABC=α，∠ADC=180º－α，AD=DC，则①BC+AB=2BDcos α，②
四边形 侘੬觸= BD2，③BD 是角平分线
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①【证明】满足对角互补，邻边相等
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1．（2021·全国·八年级专题练习）如图， ABC 为等边三角形，以 AB 为边向外作△ABD ，使 ADB 120 ，再 以点 C 为旋转中心把 CBD 旋转到V CAE ，则给出下列结论：①D，A，E 三点共线；② DC 平分 BDA ； ③ E BAC ；④ DC DB DA ．其中正确的有（ ）．
BD· BD＝ BD2
补充：图形如果是下图这样，结论会稍有不同
【结论】∠AOB=120º，∠DCE＝60º，OC 平分∠AOB，D、E 在 OA、OB 上，则①CD=CE ②
OD+OE=OC
①在 OB 上取一点 F，连结 CF，使△OCF 为等边三角形，
∵∠FCE＋∠OCE＝∠DCO＋OCE＝∠DCE＝60°∴∠FCE＝∠DCO ∵△OCF 为等边三角形∴∠CFE＝∠COD，且 CF＝CO，易证△CDO≌△CEF∴CD＝CE
◎结论 2：如图，∠ABC=60º，∠ADC=120°，AD=DC， 则①BC+AB= BD，② 四边形 侘੬觸= BD2，③BD 是角平分线
【证明】⑴满足对角互补，邻边相等
2．（2021·重庆·西南大学银翔实验中学八年级阶段练习）如图，在四边形 ABCD 中，
AB BC, ABC CDA 90, BE AD 于 E, S四边形ABCD 10 ，则 BE 的长为__________.
1．（2019·江苏南京·八年级期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A,B 两点分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，且 OA=OB，点 C 在第一象限，OC=3，连接 BC，AC，若∠BCA=90°，则 BC+AC 的值为_________．
平行四边形 模型（三十二）——对角互补模型
◎结论 1：如图，∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC， 则①BC+AB= BD，② 四边形 侘੬觸= BD2， ③BD 是角平分线
【证明】【关键：把互补转化成相等，看到互补的条件，找其中一角的邻补角，转化成相等】 旋转相等边的夹角 ⑴ AD.CD 夹角 90°,旋转 90°,延长 BC 至 E，使 CE＝AB,连接 DE， ∵∠DAB＋∠DCB＝180°， ∠DCE＋∠DCB＝180° ，∴∠DAB＝∠DCE 在△DAB 和△DCE 中，DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE ∴△DAB≌△DCE ∴BD＝ED，∠1＝∠2 ∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°∴△BED 是等腰直角三角形 BE＝ BD,BC＋CE＝ BD，BC＋AB＝ BD ⑵ 四边形 侘੬觸= △ 侘觸 ＋ △侘੬觸＝ △੬t觸＋ △侘੬觸＝ △侘t觸＝ BD·DE
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2．（2021·全国·八年级专题练习）如图，四边形 ABCD 中，已知 AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边 形 ABCD 的面积为 4 3 ，则 AC＝_____．
3．（2021·陕西·交大附中分校八年级开学考试）问题探究 （（1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD 的大小为___________； （2）如图②，在四边形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线 BD=6．求四边形 ABCD 的面积；小明 这样来计算．延长 DC，使得 CE=AD，连接 BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形 ABCD 的面积．请 你将小明的方法完善．并计算四边形 ABCD 的面积； 问题解决 （3）如图③，四边形 ABCD 是正在建设的城市花园，其中 AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40 米，AD=30 米．请计算出对角线 BD 的长度．
AD,CD 夹角 180－a,旋转 180－a , 延长 BC 至点 E，使 CE＝AB，连接 DE ∵∠DAB＋∠DCB＝180°, ∠DCE＋∠DCB＝180° ,∴∠DAB＝∠DCE 在△DAB 和△DCE 中 , DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE ∴△DAB≌△DCE ,∴BD＝ED，∠1＝∠2 ∵∠1＋∠3＝180－a ,∴∠2＋∠3＝180－a
过 D 作 DM⊥BE 于 M，∴∠BDM＝60°，BM＝ME ，∴sin60°＝侘 ， ∴侘 ＝
侘觸
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∴ 侘 ＝ ，即 BE＝ BD，∴BC＋AB＝ BD
侘觸
⑵ 由⑴得 DM= BD，BE= BD
四边形 Ⳡ ＝ △ Ⳡ ＋ △Ⳡ ＝ △t ＋ △Ⳡ ＝ △Ⳡt ＝ BE·DM＝ · ⑶由⑴得 BD＝DE，∠BDE＝120º，∴∠B＝∠E＝30º，∴BD 是角平分线
（把图形抽离出来）由①过程可知 BE＝2BDcos a ,DM＝BD sin a
∴ △侘觸t＝ BE DM＝2BDcos a BD sin a＝ BD2 ∴ 四边形 侘੬觸＝ BD2 ③∵BD＝ED ∴∠E＝∠DBE ∵△DAB≌△DCE ∴∠ABD＝∠E ∴∠ABD＝∠DBE ∴BD 为角平分线。
（把图形抽离出来） 过 D 作 DM⊥BE 于 M，∴∠BDM＝90°－ a， ∴∠DBM＝ a，BE＝2BM，cos a＝侘
侘觸
∴2cos a＝2侘 ＝侘t , BE＝2BDcos a
侘觸 侘觸
∴BC＋AB＝2BD COS a
②【证明】由上可知△DAB≌△DCE，所以△DAB 的面积＝△DCE 的面积 ∴ 四边形 侘੬觸＝ △侘觸t
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AD.CD 夹角 120°，旋转 120°延长 BC 至点 E，使 CE＝AB，连接 DE ∵∠DAB＋∠DCB＝180°，∠DCE＋∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE 在△DAB 和△DCE 中，DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE ，∴△DAB≌△DCE ，∴BD＝ED，∠1＝∠2 ∵∠1＋∠3＝120°，∴∠2＋∠3＝120°
②∵△CDO≌△CEF ，∴DO＝EF，∴OD＋OE＝OE＋EF＝OF ，∴OD＋OE＝OC ◎结论 3：如图，∠ABC=α，∠ADC=180º－α，AD=DC，则①BC+AB=2BDcos α，②
四边形 侘੬觸= BD2，③BD 是角平分线
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①【证明】满足对角互补，邻边相等
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1．（2021·全国·八年级专题练习）如图， ABC 为等边三角形，以 AB 为边向外作△ABD ，使 ADB 120 ，再 以点 C 为旋转中心把 CBD 旋转到V CAE ，则给出下列结论：①D，A，E 三点共线；② DC 平分 BDA ； ③ E BAC ；④ DC DB DA ．其中正确的有（ ）．
BD· BD＝ BD2
补充：图形如果是下图这样，结论会稍有不同
【结论】∠AOB=120º，∠DCE＝60º，OC 平分∠AOB，D、E 在 OA、OB 上，则①CD=CE ②
OD+OE=OC
①在 OB 上取一点 F，连结 CF，使△OCF 为等边三角形，
∵∠FCE＋∠OCE＝∠DCO＋OCE＝∠DCE＝60°∴∠FCE＝∠DCO ∵△OCF 为等边三角形∴∠CFE＝∠COD，且 CF＝CO，易证△CDO≌△CEF∴CD＝CE