关于指数函数与对数函数的教材分析

关于《指数函数和对数函数》的教学分析
函数是贯穿中学数学的核心内容,本章继第二章学习完函数概念和基本性质后,较为系统地研究最重要的两个基本初等函数：指数函数和对数函数.通过这些函数的研究,使学生进一步理解到函数是刻画现实世界变化规律的重要模型,是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型.并要求结合实际问题,感受使用函数概念建立模型的过程与方法.
一、课程标准要求
（1）指数函数
①通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。

②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。

④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型（参见例2）。

（2）对数函数
①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.
②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
③知道指数函数y=a x 与对数函数y=log a x互为反函数（a > 0, a≠1）.
二、教学目标
1．知识与技能
⑴理解有理指数幂的含义，了解无理指数幂及实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
⑵了解指数函数模型的实际背景.
⑶理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性和特殊点.
⑷在解决实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型.
⑸理解对数的概念及其性质,知道能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数.
⑹了解对数的发展历史以及简化运算的作用.
⑺了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型.
⑻能够画出具体的对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点.
⑼了解反函数的定义,知道指数函数x
y a =与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.
⑽掌握幂函数、指数函数和对数函数的变化特点，会区别它们变化的速度的不同.
2. 过程与方法
⑴在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，引入有理指数幂及其运算性质，进一步体会用“有理数逼近有理数”的思想，并且能够让学生利用计算器或计算机实行实际操作，感受“逼近”过程.
⑵通过具体的指数函数图象，由特殊到一般地研究指数函数的性质.
⑶通过对数与指数之间的关系，理解对数概念，并根据指数与对数的关系及指数的运算性质推出对数的运算性质.
⑷通过具体实例引入一类新的基本函数——对数函数，并由对数函数的图象研究对数函数的性质，并通过类比指数函数，加深对对数函数的理解.
⑸借助函数图象，研究直线上升、指数增长以及对数增长与实际生活的联系.
3.情感、态度、价值观
⑴在从整数指数幂到有理数指数幂再到实数指数幂的推广过程中，以及指数函数和对数函数等内容的学习过程中，体会事物从特殊到一般，从低级到高级的发展规律，树立辨证唯物主义观点，养成实事求是的科学态度，培养科学的思维方式.
⑵在利用本章知识在解决实际问题的过程中，理解到知识来源于生活并最终服务于生活，提升学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心.
⑶本章内容蕴涵了很多数学思想方法，如归纳的思想、数形结合的思想、类比的思想等，通过这些思想方法在具体问题中的使用，体会这些数学思想方法，培养学生更加开阔的数学视野，逐步理解数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义.
⑷通过实例，提升解决实际问题的水平，发挥个人的水平，构建数学模型，养成独立思考问题的水平.
三、 知识结构与教学安排
1. 知识结构与教学顺序
2. 课时安排
本章教学时间约需要16课时，具体分配如下：
§1 正整数指数函数 2课时
§2 指数扩充及其运算性质 3课时
2．1 指数概念的扩充
2．2 指数运算的性质
§3 指数函数 3课时
3．1指数函数的概念
3．2指数函数2x y =和1()2x
y =的图像和性质
3．3 指数函数的图像和性质
§4 对数 3课时
4．1 对数及其运算
4．2 换底公式
§5 对数函数 3课时
5．1 对数函数的概念
5．2 2log y x 的图像和性质
5．3 对数函数的图像和性质
§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 1课时
小结与复习 1课时
四、 教学重点和难点
1.教学重点
（1）分数指数幂的概念、指数的运算性质.
（2）对数的概念和运算性质.
（3）指数函数和对数函数的图象和性质.
2.教学难点
（1）分数指数幂的概念.
（2）底数a 对指数函数与对数函数的函数值变化的影响.
（3）指数函数、对数函数以及幂函数增长的比较.
五、 教学建议
1.注意与初中内容及选修内容的衔接
●与初中内容的衔接
本章内容是与初中数学最近的结合点。

如果初中的内容没有学习好或遗忘的过多，学习本章就有障碍。

本章很多内容都是在初中的基础上讲授的，如函数的概念、函数图象的描绘；又如指数概念的扩充，如果没有正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的基础知识，有理数指数幂就无法给出，运算性质也是如此，所以在本章教学中要注意与初中所学的相关内容的联系，做好初、高中数学的衔接和过渡工作。

●与选修的衔接
必修1是对函数概念的再理解阶段，即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，在此基础上研究了指数函数、对数函数，从而使学生获得较为系统的函数知识，并初步培养了函数的应用意识，为今后必修4学习三角函数、必修5学习数列选修中学习导数及其应用，概率 ，坐标系与参数方程，打下良好的基础,这些内容是函数及其应用研究的深化和提升，也是进一步学习、参加生产和实际生活中需要具备的基础知识．总体上，函数的学习经历了一个持续螺旋上升的过程。

所以，要注意必修与选修的的联系，也要注意联系物理、化学等学科的知识内容来丰富和巩固本章的内容。

2. 准确把握教学要求
与以往教材比较，本章在内容、要求以及处理方式上都发生了很多变化，归纳起来有如下几点：
●以往教材要求掌握有理指数幂的运算性质，不要求学生了解无理指数幂，不要求用有理指数幂逼近无理指数幂；本章要求通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算，并体会“用有理数逼近无理数”的思想。

●以往教材在对数换底公式上没有要求；这里要求学生知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。

●以往教材要求掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质；这里要求能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

●以往教材要求了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数；这里对反函数的处理，只要求以具体函数为例实行解释和直观理解，只通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数x
y a =和对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数，不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。

●以往教材对指数函数与对数函数的应用没有给出明确的要求；这里要求学生在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。

教学中要切实注重上述变化，把主要精力用在让学生通过具体实例了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景，通过实例体会、理解直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义，以及了解这些函数模型的广泛应用上，而不要过度地追求那些细枝末节（如求定义域、值域，讨论复合函数的单调性、奇偶性等）。

3.突出指数与对数函数是现实世界中的重要数学模型，强调它们的实际背景和应用价值
把指数函数、对数函数等作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，要求结合实际问题，感受使用函数概念建立模型的过程与方法，强调指数函数、对数函数、幂函数是三类不同的函数增长模型，这是本章学习要求的重要变化。

所以，要增强让学生通过具体实例了解指数函数、对数函数模型实际背景的教学；要利用适当的事例，让学生体会、理解直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义；另外，还能够要求学生通过收集现实生活中普遍使用的函数模型实例，去了解这些函数模型的广泛应用。

4. 引导学生体会数学知识结构的严谨性
本章中，指数幂概念及其运算性质的拓展内涵了数学研究中对数学知识发展的逻辑合理
性、严谨性的要求，教学中要引导学生认真体会。

指数幂的运算性质，是在整数指数幂的基础上，先将整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂的运算性质；然后在有理指数幂逼近无理指数幂的思想指导下，再将有理指数幂的运算性质推广到了实数范围。

能够让学生利用计算器或计算机实行实际操作，感受“逼近”过程。

指数幂的运算性质的每一次推广，都需要考虑严谨性的要求。

5.充分发挥函数图象的几何直观作用，增强数形结合思想教学
数形结合、几何直观等数学思想方法是本章学习中的重要思想方法，它们对于理解本章的几个基本初等函数的性质（例如增长模式）是十分重要的，同时信息技术又使得函数作图变得方便、快捷，并且能够构建一种动态环境，为学生利用图象直观研究函数性质提供了有力工具。

所以，本章内容是学习数形结合、几何直观等数学思想方法很好的数学载体.教学中应充分注意发挥函数图象的作用，让学生自己作出函数图像，通过观察图象变化规律来研究函数的性质。

6. 恰当使用信息技术
教科书虽然没有明确提示利用信息技术研究指数函数、对数函数和幂函数的图象与性质，但本章中有很多内容适合使用信息技术，例如指数、对数值的计算；借助计算工具，比较指数函数、对数函数与幂函数增长的差异；借助计算器或计算机画出具体的指数函数、对数函数的图象，探索并理解它们的单调性与特殊点，等等。

都体现了增强与信息技术整合的要求．所以，只要条件允许，教学中就理应充分使用信息技术。

当前数学课程改革的思路之一是课程设置应注重学生对社会的适合性，并将培养学生创新精神和实践水平摆到突出地位。

“数学的应用价值和思维价值正在相互交融。

数学对少数人有用的时代已经过去，它正在成为今日社会的一张‘通行证’”。

很明显，教材在这个单元内容的选择上非常注重贴近生活实际和和与其他学科间的沟通，如生物，物理、化学、考古、社会等大量的实际案例。

这是因为，综合水平的培养是建立在学科知识综合基础上实行的，是建立在与其他学科相关知识联系的基础上实行的。

所以，首先就要求教师有这种综合意识，并努力挖掘与本学科相关的其他学科的知识，启发引导学生主动参与这种迁移学习活动，并增强“综合实践活动”课的力度。