求矩阵基础解系自由项

求矩阵基础解系自由项
在线性代数中，矩阵基础解系是指一个线性方程组中所有解的线
性组合。

在求解矩阵基础解系之前，需要先解决一个问题：如何将增广矩
阵化为阶梯形矩阵？
步骤一：将增广矩阵的第一行作为起始行。

如果第一个元素为0，则交换与本行任意一行不为0的元素所在的行，使得第一个元素不为0。

步骤二：如果第一行第一个元素不为1，则将第一行所有元素除
以第一个元素，将第一个元素变为1。

否则，什么也不做。

步骤三：使用行加或行减运算，将第一列下面所有元素都变为0。

对于行加和行减运算，需要将第i行上面的第j列元素乘以一个系数k，然后再将第i行加到第j行上。

具体可见下面的公式：
Ri+ = Ri + kRj （j<i）
Ri- = Ri - kRj （j>i）
步骤四：将下一行作为新的起始行，重复上述步骤。

直到所有行
都变成0、1组成的阶梯形矩阵。

一旦将矩阵化为阶梯形，就可以求解矩阵基础解系的自由项了。

自由项是指未知变量中可以取任意实数的变量。

步骤一：找到每个非零行的主元素位置，主元素是指第一个非零
元素。

步骤二：将每个非零行的主元素对应的未知量设为自由项，其他
未知量均为主元。

步骤三：用自由项表示主元，得到所有解的通解形式。

例如，对于下面的线性方程组：
\begin{cases}
x_1 -x_2 + x_3 + x_4 = 1\\
2x_1 -2x_2 + 2x_3 + x_4 = 2\\
x_2 + x_3 = 0\\
\end{cases}
首先将增广矩阵化为阶梯形矩阵：
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & -2 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
对于第一行，第一个元素不为1，将其除以第一个元素除以1：
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & -2 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
使用行减运算，将第二行第一个元素变为0：
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
再使用行减运算，将第三行第二个元素变为0：
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
此时矩阵已经化为阶梯形，主元素位置分别为第一列、第四列和第三列。

将对应未知量设为自由项：
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
\end{pmatrix}
得到以下通解形式：
\begin{pmatrix} x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
\end{pmatrix}
x_2
+
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
\end{pmatrix}
x_4
+
\begin{pmatrix}
-1 \\
0 \\
-1 \\
1 \\
\end{pmatrix}
x_3
+
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
\end{pmatrix}
最终得到这个线性方程组所有解的通解形式。

总之，求解矩阵基础解系自由项分为两个步骤：将增广矩阵化为阶梯形，确定非零行的自由项。

通过这个方法，可以计算出所有线性方程组的解。