云南省昆明市禄劝县第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

高二数学试卷
（考试时间150分钟，满分150分）
第Ⅰ卷（80分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合{}
}2
42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=
A ．}{43x x -<<
B ．}{42x x -<<-
C ．}{22x x -<<
D ．}{23x x <<
2．“()20a a -<”是“2
1a
>”成立的（） A.充要条件
B.充分非必要条件
C.必要非充分条件
D.既非充分也非必要条件
3．设变量x ，y 满足约束条件12300x x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≥⎩
，则目标函数2z x y =-的最小值为（）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．3
4．已知向量(),1a x =r ，()1,2b =-r
，若a b ⊥，则a b +=（）
A.（2，0）
B.（3，－1）
C.（3，1）
D.（－1，3）
5．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a ，b 分别为2，8，则输出的a 等于（）
A ．4
B ．0
C ．2
D ．14
6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若144a a +=，258a a +=，则2019
2019
S = A ．2016 B ．2017 C ．2018
D ．2019
7．设40.48,8a log b log ==,0.42c =,则( )
A.b c a <<
B.c b a <<
C.c a b <<
D.b a c << 8．直线3y kx =+与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，则OAB ∆面积的最大值为（ ） A.1
B.
1
2
9．已知4
cos(),45
π
α+=则sin 2α=（） A ．725
B ．
9
25
C ．925
-
D ．725
-
10．已知函数()2
22f x x ax =++在区间(),4-∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A.[)4,+∞
B.(],4-∞
C.(),4-∞-
D.(],4-∞-
11．如图，三棱柱A 1B 1C 1 - ABC 中，侧棱AA 1丄底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是
1与B 1E 是异面直线
B.AC 丄平面ABB 1A 1
C.A 1C 1∥平面AB 1E
D.AE 与B 1C 1为异面直线，且AE 丄B 1C 1
12．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，
2()f x x =，则关于x 的方程1
()||2
f x x =
在[1,2]-上根的个数是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设正方形ABCD 的边长是2，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点A 的距离大于2的概率是_____．
14．在△ABC 中sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C = ___________.
15．已知正数y x ,满足12=+y x ，则
y
x 1
1+的最小值____________． 16．以下说法中正确的是______.①函数()1
f x x
=在区间()(),00,-∞⋃+∞上单调递减；
②函数的图象过定点()1,2-；③若1x 是函数()f x 的零点，且1m x n <<，则
1
1+=+x a y
()()0f m f n ⋅<；④方程3log 124
x =
的解是19x =.
第Ⅱ卷（70分）
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17（10分）. 已知圆C 的方程为034222
=-+-+y x y x ，直线0:=+-t y x l .
(1)若直线l 与圆C 相切，求实数t 的值；
(2)过点（1,0）且倾斜角为060的直线l 与圆C 相交于M,N 两点，求弦长MN .
18．（12分）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图． 试利用频率分布直方图求：
（1）这50名学生成绩的众数与中位数． （2）这50名学生的平均成绩．
19．（12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且
c A b B a =+sin cos .
（1）求角A ； （2）若2=a ，ABC ∆的周长为6，求ABC ∆的面积.
20．（12分）已知等差数列}{n
a 的前n 项和是n a 若123=s ，84=a .
(1)求数列}{n
a 的通项公式；
(2)记n n n a b ⋅=3的前n 项和是n T ，求n T .
21．（12分）在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为的菱形，060=∠BAD
，
平面ABCD ，3=
PA ，E ，F 分别为BC ，PA 的中点.
（1）求证：PDE BF 平面∥； （2）求点C 到面PDE 的距离.
22．（12分）某开发商用900万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为200平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米0.4万元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层多增加2万元． (1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数)(x f y =的表达式(总开发费用=
总建筑费用+购地费用)；
(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层?
高二数学试卷答案
一、选择题
1.C
2.A
3.C
4.B
5.C
6.B
7.A
8.B
9.D 10.D 11.D 12.B 二、填空题 13.
44π- 14. 4
1
- 15. 223+ 16.②④ 三、解答题
17、（10分）.(1) 圆C 的标准方程：
，圆心为
，半径
.
∵直线l 与圆C 相切，∴圆心C 到直线l 的距离等于圆的半径，
即，整理得
，解得
或
.
(2) 由题意得：圆心到直线l 的距离2=d ，
又 22=r
∴
62=MN
18、（12分）【解析】（1）众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，所以众数应为75．
由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求． ∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，
∴前三个小矩形面积的和为0.3．而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3，0.3＋0.3>0.5， ∴中位数应位于第四个小矩形内． 设其底边为x ，高为0.03，
∴令0.03x ＝0.2得x ≈6.7，故中位数约为70＋6.7＝76.7．
（2）样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．∴平均成绩为：45×(0.004×10)+55×(0.006×10)+65×(0.02×10)+75×(0.03×10)+85×(0.021×10)+95×(0.016×10)≈74．
19、（12分）（1）由已知及正弦定理得：，。